2024年暑假新八年级数学自学预习精品讲义
第06讲 等腰三角形的性质与判定（3种题型）
了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
一．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
二．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
三．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
一．等腰三角形的性质（共9小题）
1．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．70° C．65° D．50°
2．一个等腰三角形的两边长分别为2cm，4cm，则它的周长是（ ）
A．8cm B．8cm或10cm C．10cm D．6cm或8cm
3．如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE．若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
4．已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝50°，点P在线段AC上且不与A、C重合，则∠BPC的度数可能是（ ）
A．60° B．65° C．80° D．130°
6．已知等腰三角形底边上的中线长为5，则这个等腰三角形的腰长可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．3cm或9cm
8．已知△ABC是等腰三角形，若∠A＝50°，则△ABC的顶角度数是（ ）
A．50° B．50°或80° C．80° D．50°或65°
9．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．
二．等腰三角形的判定（共9小题）
10．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝________时，△ABC是等腰三角形．
12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B均在格点上，在图中给出的C1、C2、C3、C4四个格点中，能与点A、B构成等腰三角形，且面积为2的是（ ）
A．C1 B．C2 C．C3 D．C4
13．如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BD＝4，则AD长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
15．用一条长为21cm的铁丝围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长是5cm的等腰三角形吗？
16．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
17．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
18．如图所示，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以3cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝________s时，△POQ是等腰三角形．
三．等腰三角形的判定与性质（共9小题）
19．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为（ ）
A．3 B．4 C．3.5 D．2
20．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点．D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③BC＝BD+CE；④△ADE的周长＝AB+AC；⑤BF＝CF．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤
21．如图，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线，分别交AB，AC于E，F，则△AEF的周长是________．
22．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若DE＝7，EC＝3，则DB＝________．
23．如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是________．
24．如图，已知S△ABC＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC________m2．
25．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝4，ED＝8，求EB+DC＝________．
26．如图，在△ABC中，∠A＝80°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝5，AC＝7．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求∠AMN的周长．
27．如图，点E是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACF的两条角平分线的交点，过点E作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N，若BM﹣CN＝6，则线段MN的长度为________．
一．选择题（共5小题）
1．（2022秋•灌南县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2022秋•溧水区期中）已知一个等腰三角形的两边长分别是2cm，4cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm
3．（2023春•洪泽区期中）等腰三角形有两条边的长分别为3和4，则该三角形的周长为（ ）
A．10 B．10或11 C．11 D．7或11
4．（2022秋•淮安区期中）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，AB＝15，AC＝18，则△AMN的周长为（ ）
A．15 B．18 C．30 D．33
5．（2022秋•泗阳县期中）如图是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转当A端落地时，∠OAC＝25°，跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A‘OA）是（ ）
A．25° B．50° C．60° D．80°
二．填空题（共5小题）
6．（2022秋•大丰区期中）如图，直线a，b交于点O，∠α＝40°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，且始终位于直线a的上方，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB＝________°．
7．（2022秋•姑苏区期中）在△ABC中，∠A＝70°，当∠B＝________时，△ABC为等腰三角形．
8．（2022秋•沭阳县期中）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，AB＝5，AC＝7，则△AMN的周长为________．
9．（2022秋•鼓楼区校级期中）如图，线段AB的长度为2，AB所在直线上方存在点C，使得△ABC为等腰三角形，设△ABC的面积为S．当S＝________时，满足条件的点C恰有三个．
10．（2022秋•泗洪县期中）如图，已知直线OM垂直于直线ON，点A在直线OM上，且∠OAB＝30°，点B在直线ON上，在直线OM或直线ON上找一点C（与A、B不重合），使△ABC成为一个等腰三角形，这样的点C能找到________个．
三．解答题（共3小题）
11．（2022秋•邗江区期中）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE，过D作DG∥AC交BC于G．求证：△ABC是等腰三角形．
12．（2022秋•东海县期中）用一条长为16cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么底边长为________；
（2）能围成腰长是4cm的等腰三角形吗？为什么？
13．（2022秋•淮安区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）BP＝ （用t的代数式表示）
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
一．选择题（共6小题）
1．若等腰三角形边长别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
2．等腰三角形的周长为21cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．5cm B．11cm C．8cm或5cm D．11cm或5cm
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（ ）
A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16cm
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的高．若∠CBD＝20°，则∠BAC的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，2，3 D．2，2，4
6．已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．不确定
二．填空题（共3小题）
7．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，MN经过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，MN＝5cm，则CN＝ cm．
8．如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P=1/2∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°-1/2∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是 （直接填写序号）．
9．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝5，则FG的长为 ．
三．解答题（共3小题）
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，求∠DBC的度数．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．
12．如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，试求∠MPB+∠NPC的度数（用含∠A的代数式表示）；
（3）将（2）中的直线MN绕点P旋转，分别交线段AB于点M（不与A、B重合），交直线AC于N，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明理由．
