2024年暑假新八年级数学自学预习精品讲义
第05讲 线段、角的轴对称性
1、理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。
2、了解线段的垂直平分线和角平分线的概念,探索并掌握其性质与判定方法。
1.角平分线的性质
角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
注意:①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长;②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,有时不必证明全等;③使用该结论的前提条件是图中有角平分线,有垂直角平分线的性质语言:如图,∵C在∠AOB的平分线上,CD⊥OA,CE⊥OB∴CD=CE
2.线段垂直平分线的性质
(1)定义:经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)垂直平分线,简称“中垂线”.
(2)性质:
①垂直平分线垂直且平分其所在线段.
②垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相等.
一.角平分线的性质(共15小题)
1.△ABC是一个任意三角形,用直尺和圆规作出∠A、∠B的平分线,如果两条平分线交于点O,那么下列选项中不正确的是( )
A.点O一定在△ABC的内部
B.∠C的平分线一定经过点O
C.点O到△ABC的三边距离一定相等
D.点O到△ABC三顶点的距离一定相等
2.∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5,Q是OB上任一点,则( )
A.PQ>5 B.PQ≥5 C.PQ<5 D.PQ≤5
3.如图,BO平分∠ABC,OD⊥BC于点D,点E为射线BA上一动点,若OD=5,则OE的最小值为________.
4.如图,AD是△ABC的角平分线.若∠B=90°,BD=,则点D到AC的距离是________.
5.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB,交AB于点E,DF⊥AC,交AC于点F,若DE=2,AC=4,则△ADC的面积是( )
A.4 B.6 C.8 D.10
6.如图,已知BG是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,DE=5,则DF的长度是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,AC=5,DE=2,△ACD面积为________.
8.如图,有三条道路围成Rt△ABC,其中BC=1000m,一个人从B处出发沿着BC行走了800m,到达D处,AD恰为∠CAB的平分线,则此时这个人到AB的最短距离为________m.
9.如图,射线OQ平分∠MON,点P是射线OQ上一点,且PA⊥ON于点A,若PA=3,则点P到射线OM的距离等于________.
10.如图,在△ABC中,∠ACB、∠ABC的平分线l1、l2相交于点O.
(1)求证:点O在∠BAC的平分线上;
(2)连接OA,若AB=AC=5,BO=4,AO=2,则点O到三角形三条边的距离是________.
11.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E,已知,BC=8,DE=2,则△BCE的面积等于( )
A.4 B.6 C.8 D.10
12.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=9,DE=2,AB=5,则AC的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
13.如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E,BF交AC于F,过点O作OD⊥BC于D,若AB=8,OD=1,则△AOB的面积为________.
14.如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=12,BC=18,CD=8,则四边形ABCD的面积是________.
15.如图,△ABC中,D为BC的中点,DE⊥BC交∠BAC的平分线于E,EF⊥AB,交AB于F,EG⊥AC,交AC的延长线于G,试问:BF与CG的大小如何?证明你的结论.
二.线段垂直平分线的性质(共12小题)
16.如图,△ABC中,∠B=50°,∠C=20°,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,连接AE,则∠EAG=________.
17.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,连接AE,若AE=4,EC=2,则BC的长________.
18.如图,在△ABC中,边AB、AC的垂直平分线交于点O,若∠BOC=80°,则∠A=________.
19.如图,△ABC中,边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E,AE=3cm,△ADC的周长为9cm,则△ABC的周长是________cm.
20.如图,在△ABC中,边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E.
(1)若BC=10,求△ADE的周长;
(2)若∠BAC=128°,求∠DAE的度数.
21.如图,在△ABC中,AB、AC边的垂直平分线相交于点O,分别交BC边于点M、N,连接AM,AN.
(1)若△AMN的周长为6,求BC的长;
(2)若∠MON=30°,求∠MAN的度数;
(3)若∠MON=45°,BM=3,BC=12,求MN的长度.
22.如图,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于1/2AB长为半径画弧,两弧相交于点E,F,连接AE,BE,作直线EF交AB于点M,连接CM,则下列判断不正确的是( )
A.AB=2CM B.EF⊥AB C.AE=BE D.AM=BM
23.如图,AC=AD,BC=BD,则下列判断正确的是( )
A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB
24.如图,在△ABC中,BC=8,∠B=2∠C,点D为边AC的垂直平分线与边BC的交点,且BD=AB﹣2.
(1)求证AB=AD;
(2)求CD长.
25.如图,在△ABC中,E是BC上一点,AE=AB,EF垂直平分AC,AD⊥BC于点D,△ABC的周长为18cm,AC=7cm,则DC的长为( )
A.4.5 B.5 C.5.5 D.6
26.在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G,若∠EAG=20°,则∠BAC=________°.
27.如图,在△ABC中,AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,△BCN的周长是7cm,则BC的长为________cm.