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第04讲 轴对称图形的概念、性质、设计-2024年暑假新八年级数学自学预习精品讲义(苏科版)

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2024年暑假新八年级数学自学预习精品讲义

04 轴对称图形的概念、性质、设计

1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形,探索轴对称的基本性质。

一.生活中的轴对称现象

(1)轴对称的概念:把一个图形沿某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,也称轴对称;这条直线叫做对称轴.

(2)轴对称包含两层含义:

①有两个图形,且这两个图形能够完全重合,即形状大小完全相同;

②对重合的方式有限制,只能是把它们沿一条直线对折后能够重合.

二.轴对称的性质

(1)如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

由轴对称的性质得到一下结论:

①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称;

②如果两个图形成轴对称,我们只要找到一对对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴.

(2)轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

三.轴对称图形

(1)轴对称图形的概念:

如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,这时,我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称.

(2)轴对称图形是针对一个图形而言的,是一种具有特殊性质图形,被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时,互相重合;轴对称图形的对称轴可以是一条,也可以是多条甚至无数条.

(3)常见的轴对称图形:

等腰三角形,矩形,正方形,等腰梯形,圆等等.

四.镜面对称

1、镜面对称:

有时我们把轴对称也称为镜面(镜子、镜像)对称,如果沿着图形的对称轴上放一面镜子,那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的(和原来的图形一样).

2、镜面实质上是无数对对应点的对称,连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分,即镜面上有每一对对应点的对称轴.

3、关于镜面问题动手实验是最好的办法,如手头没有镜面,可以写在透明纸上,从反面看到的结果就是镜面反射的结果.

五.作图轴对称变换

几何图形都可看做是由点组成,我们在画一个图形的轴对称图形时,也是先从确定一些特殊的对称点开始的,一般的方法是:

①由已知点出发向所给直线作垂线,并确定垂足;

②直线的另一侧,以垂足为一端点,作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长,得到线段的另一端点,即为对称点;

③连接这些对称点,就得到原图形的轴对称图形.

六.利用轴对称设计图案

利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质,利用轴对称的作图方法来作图,通过变换对称轴来得到不同的图案.

七.剪纸问题

一张纸经过折和剪的过程,会形成一个轴对称图案.解决这类问题要熟知轴对称图形的特点,关键是准确的找到对称轴.一般方法是动手操作,拿张纸按照题目的要求剪出图案,展开即可得到正确的图案.

八.翻折变换(折叠问题)

1、翻折变换(折叠问题)实质上就是轴对称变换.

2、折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.

3、在解决实际问题时,对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠,这样便于找到图形间的关系.

首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时,我们常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程解决时,应认真审题,设出正确的未知数.

一.生活中的轴对称现象(共4小题)

1.如图是一个台球桌面的示意图,图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔,若一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射),则该球最后落入的球袋是(  )

A.1号袋                  B.2号袋                    C.3号袋                  D.4号袋

2.有一个英语单词,其四个字母都关于直线l对称,如图是该单词各字母的一部分,请写出补全后的单词所指的物品      

3.如图,桌面上有MN两球,若要将M球射向桌面的任意一边,使一次反弹后击中N球,则4个点中,可以瞄准的是     点.

4.如图是一台球桌面示意图,图中小正方形的边长均相等,黑球放在如图所示的位置,经白球撞击后沿箭头方向运动,经桌边反弹最后进入球洞的序号是(  )

A.①                        B.②                          C.⑤                        D.⑥

二.轴对称的性质(共2小题)

5.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=50°,ADBC,垂足为D,△ADB与△ADB‘关于直线AD对称,点B的对称点是点B‘,则∠CAB‘的度数为(  )

A.10°                       B.20°                        C.30°                       D.40°

6.如图,四边形ABCD中,∠A=120°,∠C=60°.若将四边形ABCD沿BD折叠后,顶点A恰好落在边BC上的点E处(EC不重合),则∠CDE的度数为__________.

三.轴对称图形(共3小题)

7.“嫦娥”奔月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰…在浩瀚的宇宙中谱写着中华民族飞天梦想的乐章.下列航天图标(不考虑字符与颜色)为轴对称图形的是(  )

8.我市积极普及科学防控知识,下面是科学防控知识的图片,图片上有图案和文字说明,其中的图案是轴对称图形的是(  )

A.防控疫情我们在一起  B.有症状早就医      C.打喷嚏捂口鼻  D.勤洗手勤通风

9.微信已成为人们的重要交流平台,以下微信表情中,不是轴对称图形的是(  )

四.镜面对称(共3小题)

10.从镜子中看到汽车正面的车辆的号码如图所示,则该汽车的号码是__________.

11.从镜子里看黑板上写着18502,那么实际上黑板写的是__________.

12.如图是小明从镜子中看到电子钟的时间,此时实际时间是__________.

五.作图轴对称变换(共4小题)

13.如图,平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0),B(2,﹣3),C(4,﹣2).

(1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1

(2)画出△A1B1C1向左平移4个单位长度后得到的△A2B2C2

(3)如果AC上有一点Pmn)经过上述两次变换,那么对应A2C2上的点P2的坐标是__________.

14.如图△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(2,1),C(4,2).

(1)点ABC关于x轴对称点的坐标分别为A1__________,B1__________,C1__________,在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1

(2)△ABC面积等于__________.

15.如图,已知在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(1,2),B(3,1),C(4,3).

(1)请在平面直角坐标系中画出△ABC

(2)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,请直接写出点B1C1的坐标;

(3)求出△A1B1C1的面积.

16.△ABC在直角坐标系中的位置如图所示,其中A(﹣3,5),B(﹣5,2),C(﹣1,3),直线l经过点(0,1),并且与x轴平行,△ABC′与△ABC关于线1对称.

(1)画出△ABC′,并写出△ABC′三个顶点的坐标:__________;

(2)观察图中对应点坐标之间的关系,写出点Pab)关于直线l的对称点P′的坐标:__________;

(3)若直线l′经过点(0,m),并且与x轴平行,根据上面研究的经验,写出点Qcd)关于直线l′的对称点Q′的坐标:__________.

六.利用轴对称设计图案(共3小题)

17.如图是由三个阴影的小正方形组成的图形,请你在网格图中补画一个有阴影的小正方形,使四个阴影的小正方形组成的图形为轴对称图形.

18.在“3×3”的网格中,可以用有序数对(ab)表示这9个小方格的位置.如图,小方格①用(2,3)表示,小方格②用(3,2)表示.则下列有序数对表示的小方格不可以和小方格①、②组成轴对称图形的是(  )

A.(1,1)                B.(1,2)                 C.(2,2)                D.(3,1)

19.如图是由9个小等边三角形构成的图形,其中已有两个被涂黑,若再涂黑一个,则整个被涂黑的图案构成轴对称图形的方法有__________种.

七.剪纸问题(共3小题)

20.如图(1),小强拿一张正方形的纸,沿虚线对折一次得图(2),再对折一次得图(3),然后用剪刀沿图(3)中的虚线剪去一个角,再打开后的形状是(  )

21.如图,将一张长方形纸对折,再对折,然后沿图中虚线剪下,剪下的图形展开后可得到(  )

A.三角形                 B.梯形                      C.正方形                 D.五边形

22.把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,要得到一个正方形,剪口与折痕应形成的角度是__________度.

八.翻折变换(折叠问题)(共3小题)

23.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点EF在斜边AB上,将边AC沿CE翻折,使点A落在AB上的点D处,再将边BC沿CF翻折,使点B落在CD延长线上的点B‘处,则线段BF的长为__________.

24.小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸,折完后,发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合,那么A4纸的长AB与宽AD的比值为__________.

25.如图,在三角形纸片ABC中,ACBC.把△ABC沿着AC翻折,点B落在点D处,连接BD.如果∠BAC=35°,则∠CBD的度数是__________.

一.选择题(共9小题)

1.下列常见的微信表情包中,属于轴对称图形的是(  )

2.如图的2×4的正方形网格中,△ABC的顶点都在小正方形的格点上,这样的三角形称为格点三角形,在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有(  )

A.2个                      B.3个                       C.4个                      D.5个

3.把一张长方形纸片按如图①、图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③,再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔,则重新展开后得到的图形是(  )

4.下列图形不一定是轴对称图形的是(  )

A.线段                     B.圆                          C.角                        D.直角三角形

5.如图,直线ab相交于点OP为这两直线外一点,且OP=1.7,若点P关于直线ab的对称点分别是点P1P2,则P1P2之间的距离可能是(  )

A.0                          B.3                            C.4                          D.5

6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,将边BC沿CE翻折,点B落在点F处,连接CFAB于点D,则FD的最大值为(  )

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第04讲 轴对称图形的概念、性质、设计-2024年暑假新八年级数学自学预习精品讲义(苏科版)

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