2024年暑假新八年级数学自学预习精品讲义
第03讲 探索三角形全等的条件（7种题型）
1．理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”“HL”定理。
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等。
一、全等三角形判定1——“边角边”
1．全等三角形判定1——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB＝A’B’，∠A＝∠A’，AC＝A’C’，则△ABC≌△A’B’C’．注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角。
2．有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
二、全等三角形判定2——“角边角”
全等三角形判定2——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠A’，AB＝A’B’，∠B＝∠B’，则△ABC≌△A’B’C’
三、全等三角形判定3——“角角边”
1．全等三角形判定3——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2．三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
四、全等三角形判定4——“边边边”
全等三角形判定4——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果A’B’＝AB，A’C’＝AC，B’C’＝BC，则△ABC≌△A’B’C’．
五．直角三角形全等的判定——“HL”
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件。
六、判定方法的选择
1．选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
2．如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，
可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
七、全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
八、全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
题型一、全等三角形的判定1——“边角边”
例1、已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．
【变式】如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．
例2、如图，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD．
例3、已知，如图：在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，求证：AB＝CD－BD．
【变式】已知，如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，并且AE＝1/2（AB＋AD），
求证：∠B＋∠D＝180°.
题型二、全等三角形的判定2——“角边角”
例4、已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求证：AE＝CF．
【变式】已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．
例5、如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF.
【变式】已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.
题型三、全等三角形的判定3——“角角边”
例6．如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求证：△ADE≌△CAB．
例7、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．
题型四、全等三角形的判定4——“边边边”
例8、已知：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．
【变式】已知：如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：∠CAD＝∠DBC.
例9、如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠BAD＝∠CAE.
题型五、直角三角形全等的判定“HL”
例10、如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（ ）
A．HL B．ASA C．SAS D．SSS
【变式1】．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件 ，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．
【变式2】如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
题型六．全等三角形的判定与性质
例11、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分别为D，E，BD，CE相交于点O，且∠BAE＝∠CAD．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠BOC＝140°，求∠OBC的度数．
【变式1】．如图，已知AB＝CB，AD＝CD．求证：∠A＝∠C．
【变式2】如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：∠ABD＝∠ACE．
题型7．全等三角形的应用
例12．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D．（DE≠CD）
（1）线段 的长度就是A、B两点间的距离
（2）请说明（1）成立的理由．
【变式】为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可．
乙：如图②，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？
（2）请说明方案可行的理由．
一、选择题（共8小题）
1．已知：如图，AC＝DF，BC＝EF，下列条件中，不能证明△ABC≌DEF的是（ ）
A．AC∥DF B．AD＝BE C．∠CBA＝∠FED＝90° D．∠C＝∠F
2．不能判定两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．两个锐角对应相等
B．两条直角边对应相等
C．斜边和一锐角对应相等
D．斜边和一条直角边对应相等
3．如图，已知∠ABC＝∠BAD，再添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC＝BD B．∠C＝∠D C．AD＝BC D．∠ABD＝∠BAC
4．如图，已知AB＝AD．下列条件中，不能作为判定△ABC≌△ADC条件的是（ ）
A．BC＝DC B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．∠ACB＝∠ACD
5．一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）
A．带其中的任意两块去都可以
B．带1、2或2、3去就可以了
C．带1、4或3、4去就可以了
D．带1、4或2、3或3、4去均可
6．如图，小明和小丽用下面的方法测量位于池塘两端的A、B两点的距离；先取一个可以直接到达点A的点C，量得AC的长度，再沿AC方向走到点D处，使得CD＝AC；然后从点D处沿着由点B到点A的方向，到达点E处，使得点E、B、C在一条直线上，量得的DE的长度就是A、B两点的距离．在解决这个问题中，关键是利用了△DCE≌△ACB，其数学依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．ASA或AAS
7．如图，已知∠1＝∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件（ ）
A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．∠DAB＝∠CBA
8．如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，补充一个条件后，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC
二、填空题（共4小题）
9．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件 ，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．
10．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边直角边（H．L．）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充条件： ．
11．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是 ，理由是 （填简称）．
12．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD是边BC上的中线，AD＝2，则△ACB的面积是 ．
三、解答题（共5小题）
13．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求两堵木墙之间的距离．
14．如图，点B、C、E、F在同一条直线上，AF、DE相交于点G，∠B＝∠C＝∠AGD＝90°，BF＝CD．
求证：AF＝DE．
15．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．
16．如图，在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）过点D作DE∥AC交AB于点E，求证：AE＝DE．
17．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝CD．试说明BE＝CF．
