2024年暑假新九年级上册数学预习精品讲义
第06讲 实际问题与一元二次方程
1．能运用一元二次方程解决实际问题。（重点）
2．正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型。（难点）
知识点1：列一元二次方程解应用题
1．利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2．解决应用题的一般步骤：
审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等）；
设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量）；
列（根据题目中的等量关系，列出方程）；
解（解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰）；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答（写出答案，切忌答非所问）.
要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.
知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法
题型1：增长率问题
列一元二次方程解决增长（降低）率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
（1）增长率问题：
平均增长率公式为a（1+x）n=b（a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.）
（2）降低率问题：
平均降低率公式为a（1+x）n=b（a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.）
题型2：面积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
题型3：比赛统计问题
比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．
题型4：传播问题
传播问题：
a（1+x）n=A，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数．
题型5：销售利润问题
利息问题
（1）概念：
本金：顾客存入银行的钱叫本金.
利息：银行付给顾客的酬金叫利息.
本息和：本金和利息的和叫本息和.
期数：存入银行的时间叫期数.
利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
（2）公式:
利息=本金×利率×期数
利息税=利息×税率
本金×（1+利率×期数）=本息和
本金×[1+利率×期数×（1-税率）]=本息和（收利息税时）
利润（销售）问题
利润（销售）问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价（成本）
总利润=每件的利润×总件数
考点剖析
题型1：增长率问题
例1．李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（ ）
A．10.5% B．10% C．20% D．21%
【分析】设该超市的月平均增长率为x，根据等量关系：1月份盈利额×（1+增长率）2＝3月份的盈利额列出方程求解即可．
【解答】解：设从1月到3月，每月盈利的平均增长率为x，由题意可得：
3000（1+x）2＝3630，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去），
答：每月盈利的平均增长率为10%．
故答案为：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
例2．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 ．
【分析】可先表示出第一年的产量，那么第二年的产量×（1+增长率）＝363，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：第一年的产量为300×（1+x），
第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为300×（1+x）×（1+x），
则列出的方程是300（1+x）2＝363．
故答案是：300（1+x）2＝363．
【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
题型2：面积问题
例3．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为 ．
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x﹣12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
