2024-2025学年八年级数学上册同步培优讲义及知识清单
第1章《全等三角形》
【知识清单】
知识点1．全等形的定义
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
【例1】下列各组中的两个图形属于全等图形的是
【答案】B
【详解】解：A．两个图形不能完全重合，故此选项不符合题意；
B．两个图形能够完全重合，故此选项符合题意；
C．两个图形不能完全重合，故此选项不符合题意；
D．两个图形不能完全重合，故此选项不符合题意．
【变式】找出下列各组图中的全等图形（ ）
【答案】C
【详解】解：∵图形②和图形⑥不能够完全重合，故A选项不符合题意；
∵图形②和图形⑦不能够完全重合，故B选项不符合题意；
∵图形③和图形④能够完全重合，故C选项符合题意；
∵图形⑥和图形⑦不能够完全重合，故D选项不符合题意；
知识点2.全等三角形定义
1．定义
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
2．对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
要点诠释：
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
3．找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
【例2】下图中全等的三角形是（ ）
A．①和② B．②和④ C．②和③ D．①和③
【答案】D
【详解】A、①和②，SA，角的另一条邻边不相等，两个三角形不全等，不符合题意；
B、②和④，5cm分别是图②和图④30°的邻边和对边，两个三角形不全等，不符合题意；
C、②和③，SA，角的另一条邻边不相等，两个三角形不全等，不符合题意；
D、①和③，SAS，两个三角形全等，符合题意；
【变式】下列各组图形中，一定全等的是（ ）
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B．两个等边三角形
C．各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形
D．腰和顶角对应相等的两个等腰三角形
【答案】D；
解析：A、两个等腰三角形的45°不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；
B、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C、40°角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；
D、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．
【例3】如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，写出其他对应边和对应角。
【答案与解析】对应边：AN与AM，BN与CM
对应角：∠BAN与∠CAM， ∠ANB与∠AMC
【总结】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角.
【变式】如图，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是对应边．写出其他对应边及对应角．
【答案】其他对应边：AC和CA．对应角：∠BAC和∠DCA，∠B和∠D，∠ACB和∠CAD．
【详解】解：∵△ABC≌△CDA，
∴其他对应边：AC和CA．对应角：∠BAC和∠DCA，∠B和∠D，∠ACB和∠CAD．
知识点3．全等三角形性质
全等三角形的对应边相等；
全等三角形的对应角相等.
要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具。
【例4】如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．
（1）当DE＝8，BC＝5时，求线段AE的长；
（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC与∠AFD的度数．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5，
∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，
∴AE＝AB＝BE＝8﹣5＝3；
（2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝35°，∠C＝60°，
∴∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，∠ABC＝∠DEB，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°，
∵∠ABC＝85°，∴∠DEB＝85°，∴∠AED＝95°，
∴∠AFD＝∠A+∠AED＝35°+95°＝130°．
【变式】如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠AFE＝_______°．
【答案】85
【详解】解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠ACB＝105°，
∴∠BAC＝25°，
∵∠CAD＝10°，∠B＝50°，
∴∠AFE＝∠BAD+∠B＝∠BAC+∠CAD+∠B＝25°+10°+50°＝85°，
故答案为：85．
知识点4：三角形全等的判定:
1． “边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）
要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△．注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角。
2．有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。
