2024-2025学年八年级数学上册同步培优讲义及知识清单
第2章《轴对称图形》
【知识清单】
考点一、轴对称
1．轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2．线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
【例1】山东省第二十七届运动会将于2024年8月25日在日照市开幕，“全民健身与省运同行”成为日照市当前的运动主题．在下列给出的运动图片中，是轴对称图形的是（ ）
【答案】D
解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式1】如图，△ABC与△AED关于直线l对称，若∠B=30°，∠C=95°，则∠DAE=（ ）
- 30° B．95° C．55° D．65°
【答案】C
【变式2】如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C；
【解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数．△HEC与△ABC关于CD对称；△FDB与△ABC关于BE对称；△GED与△ABC关于HF对称；关于AG对称的是它本身．所以共3个．
【例2】如图所示，∠AOB内有一点P，P1，P2分别是点P关于OA，OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N，若P1P2=5cm，求△PMN的周长．
【答案】5cm
解：∵P与P1关于OA对称，∴OA为线段PP1的垂直平分线，∴MP=MP1，
同理，P与P2关于OB对称，∴OB为线段PP2的垂直平分线，∴NP=NP2
∴△PMN的周长为5cm．
【变式】如图，点E是△ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE＝∠A＋∠ACB，求证：点E在BC的垂直平分线上．
证明：∵∠BCE=∠A+∠ACB，∠EBC=∠A+∠ACB，∴∠BCE=∠EBC，∴BE=CE，
∴点E在BC的垂直平分线上．
【例3】如图所示，P为△BOA内任一点，在OB上找一点M，在OA上找一点N，使得△PMN的周长最短．
解：如图．作点P关于OA、OB的对称点P”、P‘，连接P‘P”，分别交OA、OB于点N、M，即M、N为所求．此时△PMN的周长为PM+PN+MN＝P”N+MN+P‘M≥P‘P”，即最小值为P‘P”的长度．
【变式】 如图，在所给的平面直角坐标系中，正方形网格单位长是1，△ABC的顶点都在格点上．
（1）已知A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（﹣3，2），作出△ABC关于y轴对称的△A‘B‘C，并写出点A‘，B‘，C′的坐标．
（2）在y轴上向出点P，使PA+PC最小．
（3）在（1）的条件，在y轴上画出点M，使|MB‘﹣MC′|最大．
【答案】（1）图见分析，A‘（5，0），B‘（1，0），C′（3，2）．（2）见分析（3）见分析
（1）解：如图，△A‘B‘C，A‘（5，0），B‘（1，0），C′（3，2）．
（2）如图，点P即为所求；
（3）点M即为所求．
考点二、作轴对称图形
1．作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
2．用坐标表示轴对称
点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）.
【例4】如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．
（1）过直线m作四边形ABCD的对称图形；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见分析；（2）8
解：（1）如图所示：
【变式1】已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：
- 画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1；并写出B1的坐标；
- 将△ABC向右平移8个单位，画出平移后的△A1B2C2，并写出B2的坐标；
- 在（1）、（2）的基础上，写出△AB1C1与△A1B2C2有怎样的位置关系？
- 在y轴上有一点P，使得PB+PC最小，请画出点P；（用虚线保留画图的痕迹）
- 在y轴上有一点Q，使得QB－QC最大，请画出点Q．（用虚线保留画图的痕迹）
【答案】（1）作图见分析，B1（3，2）（2）作图见分析，B2（5，2）；
（3）由图可知△AB1C1与△A1B2C2关于直线x＝4对称；（4）作图见分析（5）作图见分析
解：（1）作图见分析，B1（3，2）
（2）作图见分析，B2（5，2）；
（3）由图可知△AB1C1与△A1B2C2关于直线x＝4对称；
（4）作图见分析
连接BC1，交y轴于点P，连接BC，
∵PC1=PC，PC+PB=PC1+PB≥BC1
当B，P，C1三点共线时，PB+PC最小
（5）作图见分析
延长BC交y轴于点Q，∵QB–QC≤BC
当B，C，Q三点共线时，取得最大值
【例5】如图，△ABC关于平行于x轴的一条直线对称，已知A点坐标是（1，2），C点坐标是（1，－4），则这条平行于x轴的直线是（ ）
A．直线x＝－1 B．直线x＝－3 C．直线y＝－1 D．直线y＝－3
【答案】C；
【解析】
解：由题意可知，该条直线垂直平分线段AC
又A点坐标是（1，2），C点坐标是（1，－4），∴AC＝6，∴点A，C到该直线的距离都为3，即可得直线为y＝－1
【变式1】如图，若直线m经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，Rt△AOB与Rt△A’OB’关于直线m对称，已知A（1，2），则点A’的坐标为（ ）
A．（－1，2） B．（1，－2） C．（－1，－2） D．（－2，－1）
【答案】D；
提示：因为Rt△AOB与Rt△A’OB’关于直线m对称，所以通过作图可知，A’的坐标是（－2，－1）．
【变式2】如图，ΔABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使ΔABD与ΔABC全等，求点D的坐标．
【答案】
解：满足条件的点D的坐标有3个（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）.
考点三、等腰三角形
1．等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
2．等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
3．直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【例6】如图，已知∠B=∠C，DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F，且BE=CF．求证：
（1）AD是∠BAC的平分线；
（2）AE=AF．
（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，
在△BDE与△CDF中，∠B=∠C，BE=CF，∠DEB=∠DFC，
∴△BDE≌△CDF（ASA），∴BD=CD，∴AD是△ABC的中线，
∵∠B=∠C，∴AB=AC，∴AD是∠BAC的平分线；
（2）证明：∵∠B=∠C，∴AB=AC，
∵BE=CF，∴AB–BE=AC–CF，即AE=AF．
