2024-2025学年八年级数学上册同步培优讲义及知识清单
第4章《实数》
【知识清单】
一、平方根
1．算术平方根
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。
规定：0的算术平方根是0。
2．平方根
（1）平方根的相关概念
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.如2和-2是4的平方根，简记为±2是4的平方根。
（2）平方根的性质
正数有两个平方根，它们互为相反数。
0的平方根是0.
负数没有平方根，
（3）平方根的表示方法
正数a的算术平方根可以用表示；正数a的负的平方根，可以用，符号“-”表示，故正数a的平方根可以用符号“”表示，读作“正、负根号a””.如 =±5。
3．开平方
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中数a叫做被开方数。
平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系。
如±4的平方为（±4）2=16，反过来16的平方根为=±4.
4．平方根的估算
要估算“ （a≥0）”的近似值，第一步先确定估算数的整数范围，如.22<7<32，所以2< <3；第二步以较小整数为基础，开始逐步加0.1（或以较大整数为基础，开始逐步减0.1），并求其平方，确定被估算数的十分位；如此继续下去，可按要求估算“”的近似值，即用“夹逼法”
二、立方根
1．立方根和开立方
（1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方与立方互为逆运算，可以通过这种关系求一个数的立方根.
2．立方根的表示方法
一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a””，其中a是被开方数，3是根指数.如表示8的立方根， =2;表示-8的立方根， =-2，中的根指数3不能省略，
3．立方根的性质
（1）正数的立方根是正数.
（2）负数的立方根是负数.
（3）0的立方根是0.
4平方根与立方根的联系与区别
（1）联系
都与相应的乘方运算互为逆运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算.
0的平方根和立方根都是它本身.
（2）区别
在用符号表示平方根时，根指数2可以省略不写;而用符号表示立方根时，根指数3不能省略.
平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有.
正数的平方根有两个，而正数的立方根只有1个.
互为相反数的两个数的立方根也互为相反数.如:-8和8互为相反数，它们的立方根-2和2也互为相反数。
三、实数
1．无理数
（1）无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数，如0.808 008 000 8…都是无理数.
（2）常见的无理数
所有开方开不尽的方根，如.
化简后含有π的数，如-
无限不循环小数，如0.320 030 250…
2．实数的定义:有理数和无理数统称为实数.
3．实数与数轴上的点的对应关系
我们知道，任何一个有理数，在数轴上都有唯一确定的点与之对应，但是数轴，上的点并不都表示有理数，而有理数和无理数合在一起，才.能填满整个数轴，所以实数与数轴上的点是一一对应的，也就是说，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反之，数轴上的每一个点都表示一个实数.
4．实数的运算
（1）实数的运算
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
（2）实数运算的顺序
5．先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号的要先算括号里面的.实数的运算顺序与有理数相同，有理数范围内的加法运算律、乘法运算律和去（添）括号法则同样适用于实数.
