2024年暑假新八年级数学自学预习精品讲义
第02讲 全等三角形
1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素。
2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题。
一、全等三角形
1．定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2．三角形全等的符号：“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上。
3．三角形对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角。
二、全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
题型一：全等三角形概念
例1．能够完全重合的两个三角形叫做_______．
【变式1】把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做_________，重合的边叫做_________，重合的角叫做_________．记两个三角形全等时，通常把表示_________的字母写在对应位置上．
【变式2】如图，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是对应边．写出其他对应边及对应角．
例2．关于全等三角形，下列说法正确的是（ ）
A．大小相等的三角形是全等三角形
B．面积相等的三角形是全等三角形
C．三个角对应相等的三角形是全等三角形
D．两个三角形全等，它们的形状一定相同
例3．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠AFE＝_______°．
例4．如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上的一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上的两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上的三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第5个图形中有全等三角形的对数是_____．
题型二：全等三角形性质
例5、如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=6cm，
（1）求DE的长．
（2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？
【变式】下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
例6、 如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.
【变式】如图，在△ABC中，∠A:∠ABC:∠BCA ＝3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（ ）
A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4
一、选择题（共10小题）
1．如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8，则DF长为（ ）
A．5 B．8 C．5或8 D．7
3．如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠A′CB＝20°，则∠BCB′的度数为（ ）
A．20° B．40° C．70° D．90°
4．如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC＝5cm，BF＝7cm，则EC长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
5．如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE＝1，CD＝3，则BD的长是（ ）
A．1.5 B．2 C．4 D．6
6．如图，△ABC≌△EFD，则下列说法错误的是（ ）
A．FC＝BD B．EF平行且等于AB C．AC平行且等于DE D．CD＝ED
7．若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（ ）
A．30 B．27 C．35 D．40
8．如图，△ABC≌△AMN，点M在BC上，连接CN，下列结论：
①AM平分∠BMN； ②∠CMN＝∠BAM； ③∠MAC＝∠MNC
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
9．如图，△ABD≌△ACE，若AE＝3，AB＝6，则CD的长度为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．2
10．已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
二、填空题（共5小题）
11．如图，已知△ABC≌△ADC，∠B＝30°，∠BAC＝23°，则∠ACD的度数为 ．
12．已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周长为12，若AB＝5，BC＝4，AC＝ ．
13．如图，△ABC≌△EDF，则AC的长为 ．
14．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于 ．
15．如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是 ．
三、解答题（共13小题）
16．如图，△ACF≌△ADE，AC＝11，AF＝5，求DF的长．
17．如图，已知△ABF≌△CDE．
（1）若∠B＝45°，∠DCF＝25°，求∠EFC的度数；
（2）若BD＝10，EF＝5，求BF的长．
18．如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝30°，∠CGF＝88°，求∠E的度数．
19．如图，△ABC≌△DBE，点A、D、C在同一条直线上，且∠A＝60°，∠C＝35°，求∠DBC的度数．
20．如图，点A、D、C、B在同一条直线上，△ADF≌△BCE，∠B＝33°，∠F＝27°，BC＝5cm，CD＝2cm．求：
（1）∠1的度数．
（2）AC的长．
21．如图，已知△ABC≌△DEF，且∠A＝75°，∠B＝35°，ED＝10cm，求∠F的度数与AB的长．
22．如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
23．如图，△ABO≌△CDO，点E、F在线段AC上，且AF＝CE．试判断FB与ED的关系，并说明理由．
24．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．
（1）当DE＝8，BC＝5时，求线段AE的长；
（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC与∠AFD的度数．
25．如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
（1）线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．
26．已知：如图，△ABC≌△DCB，AC、DB相交于点E．求证：AE＝DE．
27．如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC≌△BAD．
求证：（1）OA＝OB； （2）AB∥CD．
28．如图，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
一、单选题
1．下列结论中正确的有（ ）
①全等三角形对应边相等；②全等三角形对应角相等；③全等三角形周长相等；
④全等三角形面积相等．⑤全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等；
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
