2024年暑假新八年级数学自学预习精品讲义
第1章 全等三角形全章复习与测试
1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；
2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；
一、全等三角形的判定与性质
全等三角形对应边相等，对应角相等.
全等三角形判定1——“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
全等三角形判定4——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
直角三角形全等的判定——“HL”
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
二、判定方法的选择
1．选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
2．如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，
可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
一．全等图形（共4小题）
1．关于全等图形的描述，下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的图形 B．面积相等的图形 C．能够完全重合的图形 D．周长相等的图形
2．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠1﹣∠2﹣∠3的度数为（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
3．如图，在四边形ABCD与A‘B‘C′D‘中，AB＝A‘B‘，∠B＝∠B‘，BC＝B‘C‘．下列条件中：①∠A＝∠A′，AD＝A′D′；②∠A＝∠A‘，CD＝C‘D‘；③∠A＝∠A′，∠D＝∠D′；④AD＝A′D′，CD＝C′D′．添加上述条件中的其中一个，可使四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，上述条件中符合要求的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②③④
4．如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝__________．
二．全等三角形的性质（共3小题）
5．如图，已知△ABC≌△DEF，且∠A＝70°，∠B＝40°，则∠F的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
6．如图，已知△CAD≌△CBE，若∠A＝20°，∠C＝60°，则∠CEB的度数为（ ）
A．80° B．90 C．100° D．110
7．如图，△ABC≌△AMN，点M在BC上，连接CN，下列结论：
①AM平分∠BMN； ②∠CMN＝∠BAM； ③∠MAC＝∠MNC
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
三．全等三角形的判定（共3小题）
8．根据下列条件，能确定△ABC（存在且唯一）的是（ ）
A．AB＝2，BC＝3，AC＝6
B．AC＝4，BC＝3，∠A＝60°
C．AB＝5，BC＝3，∠B＝30°
D．∠A＝45°，∠B＝45°，∠C＝90°
9．如图，若BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，则添加不能使△ABC≌△DEC的条件是（ ）
A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．AC＝DC D．∠A＝∠D
10．已知：如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOD≌△BOC．
四．直角三角形全等的判定（共2小题）
11．下列说法：①斜边和斜边上的高线分别相等的两个直角三角形全等；②两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；③斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形全等；④斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①④ C．③④ D．①③④
12．如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°．
五．全等三角形的判定与性质（共10小题）
13．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE，下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE．其中正确的是（ ）
A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
14．如图，在△ABC中，，直线l经过边AB的中点D，与BC交于点M，分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为E，F，则AE+CF的最大值为__________．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝∠B，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE＝CF．求证：DE＝DF．
16．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2．求证OB＝OC．
17．如图，在△ABC和△BAD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：AC＝BD．
18．如图，在△ABC中，∠A＝45°，点D在AB边上，BC＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△DCE≌△CBF；
（2）若AB＝AC，求证：DE＝1/2DB．
19．如图，点A、C、D在同一直线上，BC⊥AD，垂足为C，BC＝CD，点E在BC上，AC＝EC，连接AB，DE．
（1）求证：△ABC≌△EDC；
（2）写出AB与DE的位置关系，并说明理由．
20．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B＝∠D＝90°，AC＝AE，BC＝DE，延长BC，DE交于点M．
（1）求证：点A在∠M的平分线上；
（2）若AC∥DM，AB＝12，BM＝18，求BC的长．
21．如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）如果∠ABC＝70°，∠ABE＝25°，求∠D的度数．
22．已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AC＝BD，且AE＝BF．
求证：（1）△ADE≌△BCF；
（2）AE∥BF．
六．全等三角形的应用（共4小题）
23．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求两堵木墙之间的距离．
24．如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的度数和为__________，并证明你的结论．
25．如图，两根旗杆相距12m，某人从B点沿BA走向A点，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为1m/s，求：这个人从B点到M点运动了多长时间？
26．为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可．
乙：如图②，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？
（2）请说明方案可行的理由．
一．选择题（共7小题，满分21分，每小题3分）
1．（3分）如图是两个全等三角形，则∠1＝（ ）
A．62° B．72° C．76° D．66°
2．（3分）如图，△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，那么下列结论错误的是（ ）
A．∠BAC＝∠DAC B．∠D＝∠B C．AD∥BC D．AB∥CD
3．（3分）如图，点B，E，C，F共线，∠A＝∠D，AB＝DE，添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠DEF B．AC＝DF C．AC∥DF D．BE＝CF
4．（3分）如图，E是线段AB的中点，∠AEC＝∠DEB，再添加一个条件，使得△AED≌△BEC，所添加的条件不正确的是（ ）
A．AD＝BC B．DE＝CE C．∠A＝∠B D．∠C＝∠D
5．（3分）下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．有两条边对应相等
C．一条边和一锐角对应相等
D．一条边和一个角对应相等
6．（3分）根据下列条件能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝8
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．AB＝5，AC＝6，∠A＝45°
D．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
7．（3分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AB＝AC+CD，若∠BAC＝81°，则∠ACB的大小为（ ）
A．36° B．66° C．79° D．89°
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
8．（3分）如图，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB＝30°，∠A′CB′＝70°，则∠ACA′的度数是__________．
9．（3分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要测量工件内槽宽AB．只要测量CD的长度即可，该做法的依据是__________．
10．（3分）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝__________．
11．（3分）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE＝∠CDF，请你添加一个条件，使DE＝DF成立．你添加的条件是__________．（不再添加辅助线和字母）
12．（3分）如图，△ABC≌△BAD，如果AB＝6，BD＝5，AD＝4，那么AC＝__________．
13．（3分）如图，AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠DBC，请你再补充一个条件，使得△ACB≌△DBC，这个条件可以是__________，理由是__________；这个条件也可以是__________，理由是__________；这个条件还可以是__________，理由是__________．
14．（3分）三角形在日常生活和生产中有很多应用，如图房屋支架、起重机的臂膀中都有三角形结构，这是利用了三角形的__________性．
15．（3分）如图所示，AD、A1D1分别是锐角△ABC和△A1B1C1中边BC、B1C1的高，且AB＝A1B1，AD＝A1D1，若要使△ABC≌△A1B1C1，可补充的条件是__________（只需要填写一个你认为适当的条件即可）
三．解答题（共8小题）
16．如图，把一个三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角板的三个顶点A、B、C分别槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论．
17．如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__________，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．并写出证明过程．
18．如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠AED＝105°，∠CAD＝15°，∠B＝50°，求∠DGF的度数．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E在AD上，连接BE、CE．
（1）图中有________对全等三角形；
（2）请选一对加以证明．
20．如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过B作BE⊥AD，垂足为E，求证：AD＝2BE．
21．如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．小明测得C，D间的距离为90m，求在A点处小明与游艇的距离．
22．沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．
23．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD＝CD，求证：AB＝AC．
小明解决上面问题的思路是，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，从而完成此题，请按照小明的思路将此题补充完整并证明AB＝AC．
