2024年暑假新八年级数学自学预习精品讲义
第08讲 含30°角的直角三角形与斜边上的中线
重难点：含30度角的直角三角形的性质定理和直角三角形斜边上中线的发现与证明
一．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
二．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
一．含30度角的直角三角形（共13小题）
1．如图，小明沿倾斜角∠ABC＝30°的山坡从山脚B点步行到山顶A，共走了500m，则山的高度AC是_________．
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，CD是AB边上的高．若AB＝10，则CD＝_________．
5．证明：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，_________．
求证：___________________________．
证明：___________________________．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为_________．
8．如图，△ABC是边长为8的等边三角形，D是BC上一点，BD＝3，DE⊥BC交AB于点E，则线段AE＝_________．
9．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝2cm，点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABP为直角三角形时，则运动的时间为（ ）
A．3s B．3s或4s C．1s或4s D．2s或3s
10．如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（ ）
11．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝16，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝4，则OM＝_________．
12．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝_________．
13．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝12cm，点EF在边OB上，且PE＝PF，若EF＝2cm，则OE＝_________cm．
二．直角三角形斜边上的中线（共10小题）
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，D是AB的中点，则∠BCD＝_________°．
15．若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是_________．
16．直角三角形的两条直角边长为5和12，则斜边上的中线长是_________．
17．如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．
（1）求证：△MEF是等腰三角形；
（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的长度．
18．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．
（1）求证：DE⊥CF；
（2）求证：∠B＝2∠BCF．
19．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，则∠BED的度数为（ ）
A．118° B．108° C．120° D．116°
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB的中点，若CD＝2cm，则AB＝_________cm．
21．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，连接BE、BD、DE．
（1）求证：△BED是等腰三角形；
（2）当∠BAD＝_________°时，△BED是等边三角形．
22．如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点．
（1）求证：DE＝CE；
（2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，F是AC的中点连接DF、EF．
（1）求证：DF＝EF；
（2）连接DE，若AC＝2，ED＝1．
①判断△DEF的形状，并说明理由；
一．选择题（共7小题）
1．（2022春•清江浦区校级期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．（2021秋•惠山区校级月考）如图，在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB，若CD＝5，CE＝6，则△ABC的面积是（ ）
A．24 B．25 C．30 D．36
3．（2022秋•玄武区校级月考）如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
4．（2023秋•宿城区期中）如图所示，公路AC、BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C、M两点间的距离，若测得AB的长为6km，则M、C两点间的距离为（ ）
A．2.5km B．4.5km C．5km D．3km
5．（2022秋•工业园区校级期中）如图∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分别是AB、CD的中点，若AB＝26，CD＝24，则△DEF的周长为（ ）
A．12 B．30 C．27 D．32
6．（2022秋•淮安区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，若CD＝2.5，AB的长为（ ）
A．2.5 B．4 C．5 D．6
7．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，木杆AB斜靠在墙壁上，P是AB的中点，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动，则下滑过程中OP的长度变化情况是（ ）
A．逐渐变大 B．不断变小 C．不变 D．先变大再变小
二．填空题（共7小题）
8．（2022秋•通州区校级月考）如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝_________．
9．（2022秋•大丰区期中）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4cm．以点A为圆心、AB长为半径画弧，交BC边的延长线于点D，则AD长为 _________cm．
10．（2022秋•兴化市月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝8，则AB＝_________．
11．（2023秋•盐都区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，若AB＝10，则CD＝_________．
12．（2021秋•沭阳县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝1，则BC的长为_________．
13．（2022秋•玄武区校级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t是_________秒时，△ABC是直角三角形．
14．（2022秋•海安市期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，则BD＝_________．
三．解答题（共7小题）
15．（2022秋•扬州期中）如图，在等边△ABC中，点E在线段AB的延长线上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝3，求CD的长．
16．（2022秋•泗阳县期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的中线，DG垂直平分CE．
（1）求证：CD＝AE；
（2）若∠B＝50°，求∠BCE的度数．
17．（2022秋•淮阴区期中）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于E，D为垂足，连接BE．
（1）若∠ABC＝75°，求∠AED的度数；
（2）若AB＝6cm，△BCE的周长是11cm，求BC的长度．
18．（2022秋•秦淮区校级月考）证明：直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半．
19．（2022秋•江都区校级月考）如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，连结DM、ME，求∠DME的度数；
（3）猜想∠DME与∠A之间的关系，并证明你的猜想．
20．（2022秋•建邺区校级期中）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求证：BC＝AB．
21．（2022秋•鼓楼区期中）证明命题：直角三角形30°角所对的边是斜边的一半，请写已知，求证，并证明．
已知：___________________________；
求证：___________________________；
证明过程：___________________________．
一．选择题
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°．首先以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于1/2DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若BG＝1，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．无法确定 B．1/2 C．1 D．2
2．如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，则BD的长为（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1
3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交边AC于点D，E为BD的中点，若BC＝2，则CE的长为（ ）
4．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AC边上的动点（点E与点C、A不重合），设点M为线段BE的中点，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，连接MC、MF．若∠CBA＝50°，则在点E运动过程中∠CMF的大小为（ ）
A．80° B．100° C．130° D．发生变化，无法确定
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3，则BD的长是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
8．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为3.6km，则M、C两点间的距离为（ ）
A．1.8km B．3.6km C．3km D．2km
二．填空题
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD＝5，BE＝4，则AC＝_________．
10．一副三角板按如图所示的位置摆放，△BDE的直角边BD恰好经过Rt△ABC斜边AC的中点M，BE交AC于点F，则∠BFM＝_________°．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，CD＝6，则AB＝_________．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN＝_________．
13．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，延长AB到点D，使BD＝BC，连接CD，若AC＝2，则CD的长为_________．
三．解答题
14．在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论．
15．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．
（1）求证：△MEF是等腰三角形；
（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．
16．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12．
（1）求证：BD⊥BC．
（2）求DB的长．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE三等分∠ACB，且CD是AB边的中线，CE是BD边的中线，当DE＝2时，求AC的长．
18．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，O为BD的中点．
（1）∠OAC和∠OCA相等吗？请说明理由；
（2）若P为AC中点，试判断OP与AC的关系．
