2024年暑假新八年级数学自学预习精品讲义
第2章 轴对称图形全章复习与测试
1．通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质。
2．对应点连线被对称轴垂直平分的性质。
3．线段的垂直平分线和角平分线的概念，探索并掌握其性质与判定方法。
4．了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
5．了解等边三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
一．生活中的轴对称现象
（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．
（2）轴对称包含两层含义：
①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；
②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．
二．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
三．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
四．镜面对称
1、镜面对称：
有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）．
2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．
3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果．
五．作图–轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
六．利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
七．剪纸问题
一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
八．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
九角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
十线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：
①垂直平分线垂直且平分其所在线段．
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
十一等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
十二等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
十三等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
十四等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
十五等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
十六等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
一．角平分线的性质（共3小题）
1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E．若△ACD的面积为16，AC＝8，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F，若DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．（2022秋•秦淮区期末）如图，在△ABC中，∠ACB、∠ABC的平分线l1、l2相交于点O．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）连接OA，若AB＝AC＝5，BO＝4，AO＝2，则点O到三角形三条边的距离是_________．
二．线段垂直平分线的性质（共4小题）
4．如图，在Rt△ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB，且AE＝BE，若∠CAD＝4∠B，BD＝6，则AC＝（ ）
A．3 B．3 C．4 D．5
5．如图，AC＝AD，BC＝BD，则下列判断正确的是（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
6．如图，在△ABC中，BC＝8，∠B＝2∠C，点D为边AC的垂直平分线与边BC的交点，且BD＝AB﹣2．
（1）求证AB＝AD；
（2）求CD长．
7．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长；
（2）若∠BAC＝128°，求∠DAE的度数．
三．等腰三角形的性质（共3小题）
8．已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝50°，点P在线段AC上且不与A、C重合，则∠BPC的度数可能是（ ）
A．60° B．65° C．80° D．130°
10．如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE．若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
四．等腰三角形的判定（共3小题）
11．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．4个 B．5个 C．3个 D．2个
13．在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝_________时，△ABC是等腰三角形．
五．等腰三角形的判定与性质（共2小题）
14．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点．D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③BC＝BD+CE；④△ADE的周长＝AB+AC；⑤BF＝CF．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤
15．如图，在△ABC中，∠A＝80°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝5，AC＝7．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求∠AMN的周长．
六．等边三角形的性质（共3小题）
16．如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠ADE的度数为（ ）
A．60° B．105° C．75° D．15°
17．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F，连接CF，若△AFC是等边三角形，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
18．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．
（1）求证：CE＝2CF；
（2）若CF＝2，求△ABC的周长．
七．等边三角形的判定（共3小题）
19．若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形
20．在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？
21．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，AF为BC的中线，D为AF上的一点，且BD的垂直平分线过点C并交BD于E．
求证：△BCD是等边三角形．
八．等边三角形的判定与性质（共3小题）
22．已知等边△ABC的边长为5，点D为直线BC上一点，BD＝1，DE∥AB交直线AC于点E，则DE的长为_________．
23．（2022秋•玄武区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：△ADE是等边三角形．
（2）求证：AE＝AB．
24．如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：DC＝CF．
九．含30度角的直角三角形（共4小题）
25．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝2cm，点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABP为直角三角形时，则运动的时间为（ ）
A．3s B．3s或4s C．1s或4s D．2s或3s
26．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，CD是AB边上的高．若AB＝10，则CD＝_________．
27．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝ ．
28．证明：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，_________．
求证：___________________________．
证明：___________________________．
一十．直角三角形斜边上的中线（共10小题）
29．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，则∠BED的度数为（ ）
A．118° B．108° C．120° D．116°
30．如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是（ ）
A．20 B．12 C．16 D．13
31．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，D是AB的中点，则∠BCD＝_________°．
32．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB的中点，若CD＝2cm，则AB＝_________cm．
33．若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是_________．
34．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，F是AC的中点连接DF、EF．
（1）求证：DF＝EF；
（2）连接DE，若AC＝2，ED＝1．
①判断△DEF的形状，并说明理由；
②＝__________________．
35．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，连接BE、BD、DE．
（1）求证：△BED是等腰三角形；
（2）当∠BAD＝_________°时，△BED是等边三角形．
36．如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点．
（1）求证：DE＝CE；
（2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC．
37．如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．
（1）求证：△MEF是等腰三角形；
（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的长度．
38．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的中线，DG垂直平分CE．
（1）求证：CD＝AE；
（2）若∠B＝50°，求∠BCE的度数．
十一．生活中的轴对称现象（共2小题）
39．如图是一个经过改造的规格为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
40．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是_________点．
十二．轴对称的性质（共3小题）
41．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
42．如图，四边形ABCD中，∠A＝120°，∠C＝60°．若将四边形ABCD沿BD折叠后，顶点A恰好落在边BC上的点E处（E与C不重合），则∠CDE的度数为_________．
43．如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝65°，∠B＝80°，则∠F＝_________．
十三．轴对称图形（共1小题）
44．如图，下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
十四．镜面对称（共2小题）
45．从镜子里看黑板上写着，那么实际上黑板写的是_________．
46．从镜子中看到汽车正面的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是_________．
十五．作图–轴对称变换（共2小题）
47．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5）、（﹣1，3）．
（1）请在图中正确画出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A‘B‘C‘；
（3）点B‘的坐标为_________．
48．在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1的位置如图所示．
（1）△A1B1C1可以看作是△ABC向下平移_________个单位得到；
（2）若△A2B2C2与△A1B1C1关于y轴对称，请画出△A2B2C2；
（3）若△ABC的内部有一点P（x，y），则P在△A2B2C2内部的对应点P2的坐标是_________．
十六．利用轴对称设计图案（共2小题）
49．在“3×3”的网格中，可以用有序数对（a，b）表示这9个小方格的位置．如图，小方格①用（2，3）表示，小方格②用（3，2）表示．则下列有序数对表示的小方格不可以和小方格①、②组成轴对称图形的是（ ）
A．（1，1） B．（1，2） C．（2，2） D．（3，1）
50．认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．
（1）请你写出这四个图案都具有的两个共同特征：
特征1： ；
特征2： ．
（2）请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征．（注意：新图案与以上四幅图中的图案不能相同）
十七．剪纸问题（共2小题）
51．如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（ ）
A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形
52．把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，剪口与折痕应形成的角度是 度．
十八．翻折变换（折叠问题）（共2小题）
53．如图，一个长方形的纸条按如图所示方法折叠压平，则∠1的度数等于（ ）
A．74° B．53° C．37° D．54°
54．如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．40° B．80° C．90° D．140°
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
2．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，下列叙述结论错误的是（ ）
A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BC
C．点D是线段AC的中点 D．AD＝BD＝BC
3．（3分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．1，5，7 B．3，4，7 C．7，4，1 D．15，8，20
4．（3分）如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
5．（3分）如图，AO⊥BO，射线OC平分∠AOB，射线OD平分∠BOC，射线OE平分∠AOD，则∠COE等于（ ）
A．11° B．11.25° C．11.45° D．12.25°
6．（3分）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为S1，图②中汉字的面积为S2，则S1﹣S2的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（3分）到三角形三边的距离相等的点是（ ）
A．三角形三边的中垂线的交点
B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三条中线的交点
D．三角形三条角平分线的交点
8．（3分）如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，将△BCD绕点B逆时针旋转60°能与△BAE重合，若BC＝8，BD＝6，则△AED的周长是（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．（3分）在方正黑体字：“幸、福、开、阳”中，是轴对称图形的字是 ．
10．（3分）在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BE⊥AC于E，且∠ABE＝20°，则∠ACB的度数为 ．
11．（3分）一位球员的球衣号码为，那么他在镜子中看到自己的号码是 ．
12．（3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，点P是BC上一点，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD．若PE＝8，PF＝6，则BG＝ ．
13．（3分）如图，线段AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BOC＝86°，则∠1＝ ．
14．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC＝6，△BCD的面积为12，则ED的长为 ．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，若AD＝4，则BC长为 ．
16．（3分）已知∠MAN＝90°，在射线AM上取一点B，在射线AN上取一点C，连接BC，再作点A关于直线BC的对称点D，连接AD，BD，得到如下图形．移动点C，当AD＝BC时，∠ABD＝ ；当2AD＝BC时，∠ABD的度数是 ．
17．（3分）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，则∠A的度数为 ．
18．（3分）如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝45°，当∠A＝ 时，△AOP为等腰三角形．
三．解答题（共6小题，满分18分，每小题3分）
19．（3分）在6×6的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形．
20．（3分）如图，已知△ABC．
（1）利用直尺和圆规，按照下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）
①作∠ABC的平分线BD交AC于点D；
②作线段BD的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F．
（2）连接DE，请判断线段DE与线段BF的数量关系，并说明理由．
21．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且DC＝CE，DF⊥BE于点F．求证：F是BE的中点．
22．（3分）问题：已知△ABC中，∠BAC＝2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD＝CD，BD＝BA．探究∠DBC与∠ABC度数的比值．
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．
（1）当∠BAC＝90°时，依问题中的条件补全右图；
观察图形，AB与AC的数量关系为 ；当推出∠DAC＝15°时，可进一步推出∠DBC的度数为 ；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为 ；
（2）当∠BAC＜90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．
23．（3分）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，AB＝AC，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，求证：BD＝CE．
24．（3分）如图所示：∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E．
问：（1）图中有几个等腰三角形？为什么？
（2）BD，CE，DE之间存在着什么关系？请证明．
