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2021-2022学年北京市丰台区八年级(上)期末数学试卷

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试卷题目
1.钢架雪车是2022年北京冬奥会的比赛项目之一.下面这些钢架雪车运动标志是轴对称图形的是(  )
  • A.
  • B.
  • C.
  • D.
2.在物联网时代的所有芯片中,14nm芯片已成为需求的焦点.已知nm即纳米,是长度的度量单位,1nm=1×10-9m.将14nm用科学记数法表示正确的是(  )
  • A. 1.4×10-8m
  • B. 1.4×10-9m
  • C. 14×10-9m
  • D. 1.4×10-10m
3.下列图形中,内角和等于外角和的是(  )
  • A.
  • B.
  • C.
  • D.
4.下列计算正确的是(  )
  • A. a2+a3=a5
  • B. a2•a3=a6
  • C. a9÷a3=a3
  • D. (-a2)3=-a6
5.将三根木条钉成一个三角形木架,这个木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是(  )
  • A. SSS
  • B. SAS
  • C. ASA
  • D. AAS
6.如图,四边形ABCD中,AD=CD,AB=CB,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.下列关于“筝形”的结论正确的是(  )
  • A. 对角线AC、BD互相垂直平分
  • B. 对角线BD平分∠ABC,∠ADC
  • C. 直线AC、BD是筝形的两条对称轴
  • D. 筝形的面积等于对角线AC,BD的乘积
7.如图,在平面直角坐标系xOy中,△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化(平移、轴对称)得到的,下列由△ABC得到△DEF的变化过程错误的是(  )
  • A. 将△ABC沿x轴翻折得到△DEF
  • B. 将△ABC沿直线y=1翻折,再向下平移2个单位得到△DEF
  • C. 将△ABC向下平移2个单位,再沿直线y=1翻折得到△DEF
  • D. 将△ABC向下平移4个单位,再沿直线y=-2翻折得到△DEF
8.“杨辉三角”(如图),也叫“贾宪三角”,是中国古代数学无比睿智的成就之一,被后世广泛运用.用“杨辉三角”可以解释(a+b)n(n=1,2,3,4,5,6)的展开式(按a的次数由大到小的顺序)的系数规律,例如,在“杨辉三角”中第3行的3个数1,2,1,恰好对应着(a+b)2的展开式a2+2ab+b2中各项的系数;第4行的4个数1,3,3,1,恰好对应着(a+b)3的展开式a3+3a2b+3ab2+b3中各项的系数,等等.当n是大于6的自然数时,上述规律仍然成立,那么(a-
1
a
)9的展开式中a7的系数是(  )
  • A. 9
  • B. -9
  • C. 36
  • D. -36
9.若分式
1
x-2
有意义,则x的取值范围为      
10.如图是两个全等的三角形,图中字母表示三角形的边长,则∠1的度数为      
11.分解因式:3x2-3y2=      
12.如图,在△ABC和△DBC中,BA=BD,只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DBC,这个条件可以是      (写出一个即可).
13.等腰三角形一边长为4,另一边长为9,则它的周长是      
14.如图,在等边三角形ABC中AB=2,BD是AC边上的高,延长BC至点E,使CE=CD,则BE的长为      
15.
a
b
=
1
2
时,代数式(
a2+b2
a
-2b)•
a+b
a2-b2
的值为      
16.在平面直角坐标系xOy中,横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如图,点A的坐标为(2,4),点B的坐标为(1,1),点C为第一象限内的整点.若不共线的A,B,C三点构成轴对称图形,则点C的坐标可以是      (写出一个即可),满足题意的点C的个数为      
17.(x+2)(x-3)
18.计算:
4
+2-2-(3-π)0
19.计算:
a
a2-ab
-
1
a+b

20.先化简,再求值:(2x+1)2-(2x+1)(2x-1),其中x=-
1
4

21.如图,点D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:AD=AE.

22.解方程:
2x
3x+3
+1=
x
x+1

23.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于点D,DE∥BC交AC于点E.如果BD=2,求DE的长.
24.下面是小东设计的尺规作图过程.
已知:如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,
求作:点D,使点D在BC边上,且到AB和AC的距离相等.
作法:①如图,以点A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB,AC于点M、N;
②分别以点M,N为圆心,大于
1
2
MN的长为半径画弧,两弧交于点P;
③画射线AP,交BC于点D.
所以点D即为所求.
根据小东设计的尺规作图过程:
(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明.
证明:过点D作DE⊥AC于点E,连接MP,NP.
在△AMP与△ANP中,
∵AM=AN,MP=NP,AP=AP,
∴△AMP≌△ANP(SSS).
∴∠      =∠      
∵∠ABC=90°,
∴DB⊥AB.
又∵DE⊥AC,
∴DB=DE(       )(填推理的依据)

25.北京市以2022年冬奥会和冬残奥会为契机,大力提升城市服务保障能力.在水定河沿岸,紧邻北京冬奥组委和首钢滑雪大跳台建成冬奥公园.冬奥公园最大的亮点是拥有一条长42km的全封闭马拉松跑道.马拉松线路设计很有创意,分为智慧跑、公园跑、滨水跑和堤上跑.小明先进行了2km智慧跑,接着进行了4km堤上跑,一共用时40分钟.已知小明进行堤上跑的平均速度是他进行智慧跑的平均速度的1.5倍,求小明进行智慧跑,堤上跑的平均速度各是多少.
26.在“整式的乘法与因式分解”这一章的学习过程中,我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明.例如,利用图1中边长分别为a,b的正方形,以及长为a,宽为b的长方形卡片若干张拼成图2(卡片间不重叠、无缝隙),可以用来解释完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2

请你解答下面的问题:
(1)利用图1中的三种卡片若干张拼成图3,可以解释等式:      
(2)利用图1中的三种卡片若干张拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形,请你分析这个长方形的长和宽.
27.在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,点D是直线BC上一点,点C关于射线AD的对称点为点E.作直线BE交射线AD于点F.连接CF.
(1)如图1,点D在线段BC上,补全图形,求∠AFB的大小(用含α的代数式表示);
(2)如果∠α=60°,
①如图2,当点D在线段BC上时,用等式表示线段AF,BF,CF之间的数量关系,并证明;
②如图3,当点D在线段CB的延长线上时,直接写出线段AF、BF、CF之间的数量关系.

28.在平面直角坐标系xOy中,作直线l垂直x轴于点P(a,0),已知点A(1,1),点B(1,5),以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,点C在第一象限△ABC关于直线l对称的图形是△A′B′C′.给出如下定义:如果点M在△A′B′C′的内部或边上,那么称点M是△ABC关于直线l的“称心点”.
(1)当a=0时,在点D(-
3
2
,3),E(-2,2),F(-3,4)中,△ABC关于直线l的“称心点”是      
(2)当△ABC的边上只有1个点是△ABC关于直线l的“称心点”时,直接写出a的值;
(3)点H是△ABC关于直线l的“称心点”,且总有△HBC的面积大于△ABC的面积,求a的取值范围.
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