2021-2022学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷

17．(x+2)(x-3)

18．计算：+2^-2-(3-π)⁰

19．计算：-

20．先化简，再求值：(2x+1)²-(2x+1)(2x-1)，其中x=-．

21．如图，点D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：AD=AE．

22．解方程：+1=．

23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E．如果BD=2，求DE的长．

24．下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
求作：点D，使点D在BC边上，且到AB和AC的距离相等．
作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M、N；
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；
③画射线AP，交BC于点D．
所以点D即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程：
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP．
在△AMP与△ANP中，
∵AM=AN，MP=NP，AP=AP，
∴△AMP≌△ANP(SSS)．
∴∠      =∠      ．
∵∠ABC=90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB=DE(       )(填推理的依据)

25．北京市以2022年冬奥会和冬残奥会为契机，大力提升城市服务保障能力．在水定河沿岸，紧邻北京冬奥组委和首钢滑雪大跳台建成冬奥公园．冬奥公园最大的亮点是拥有一条长42km的全封闭马拉松跑道．马拉松线路设计很有创意，分为智慧跑、公园跑、滨水跑和堤上跑．小明先进行了2km智慧跑，接着进行了4km堤上跑，一共用时40分钟．已知小明进行堤上跑的平均速度是他进行智慧跑的平均速度的1.5倍，求小明进行智慧跑，堤上跑的平均速度各是多少．

26．在“整式的乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图1中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2(卡片间不重叠、无缝隙)，可以用来解释完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²．

请你解答下面的问题：
(1)利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式：      ；
(2)利用图1中的三种卡片若干张拼出一个面积为2a²+5ab+2b²的长方形，请你分析这个长方形的长和宽．

27．在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，点D是直线BC上一点，点C关于射线AD的对称点为点E．作直线BE交射线AD于点F．连接CF．
(1)如图1，点D在线段BC上，补全图形，求∠AFB的大小(用含α的代数式表示)；
(2)如果∠α=60°，
①如图2，当点D在线段BC上时，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上时，直接写出线段AF、BF、CF之间的数量关系．

28．在平面直角坐标系xOy中，作直线l垂直x轴于点P(a，0)，已知点A(1，1)，点B(1，5)，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限△ABC关于直线l对称的图形是△A′B′C′．给出如下定义：如果点M在△A′B′C′的内部或边上，那么称点M是△ABC关于直线l的“称心点”．
(1)当a=0时，在点D(-，3)，E(-2，2)，F(-3，4)中，△ABC关于直线l的“称心点”是      ；
(2)当△ABC的边上只有1个点是△ABC关于直线l的“称心点”时，直接写出a的值；
(3)点H是△ABC关于直线l的“称心点”，且总有△HBC的面积大于△ABC的面积，求a的取值范围．