2024-2025学年九年级上册数学单元综合突破训练
第4章《等可能条件下的概率》题型突破
题型一 判断事件发生的可能性大小
【例1】一份粽子礼盒中装有豆沙、咸蛋黄、鲜肉三种不同口味的粽子，从这个礼盒中随机取出一个粽子，则取出鲜肉粽子的可能性最大的是（ ）
A．有1个豆沙、2个咸蛋黄和5个鲜肉的礼盒
B．有2个豆沙、3个咸蛋黄和3个鲜肉的礼盒
C．有3个豆沙、3个咸蛋黄和2个鲜肉的礼盒
D．有4个豆沙、3个咸蛋黄和1个鲜肉的礼盒
【例2】彤彤抛五次硬币，3次正面朝上，2次反面朝上，她抛第6次时，下面说法正确的是哪一个？（ ）
A．一定正面朝上
B．一定反面朝上
C．不可能正面朝上
D．有可能正面朝上也有可能反面朝上
【例3】一只不透明的袋子中装有10个白球、20个黄球和30个红球，每个球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，则下列事件：（1）该球是白球；（2）该球是黄球；（3）该球是红球；则发生的可能性最大的为：________（只填写序号）．
【例4】在一副扑克牌中，任意抽取一张，则下列事件：①抽到“红桃”；②抽到“黑桃A”；③抽到“K”；④抽到“红色的”，则事件发生的可能性最大的是________．（填序号）
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1．转动转盘，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的可能性最大的是（ ）
2．一只不透明的口袋中装有3只黄色乒乓球和5只白色乒乓球（除颜色外都相同），搅匀后从中任意摸出一只乒乓球，摸到________（填写“黄”或“白”）色乒乓球的可能性大．
3．一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，①该球是白球；②该球是黄球；③该球是红球．将这些事件的序号按发生的可能性从小到大排列为________．
4．有4根小棒，长度分别是1cm，6 cm，7 cm，8 cm，从中任取3根，能围成三角形的可能性比不能围成三角形的可能性（ ）．（填“大”或“小”）
题型二 根据概率公式计算概率
【例5】实验室的试管架上有三个没有标签的试管，试管内分别装有NaOH，HCl，KOH三种溶液，小明同学将酚酞试剂随机滴入其中一个试管，则试管中溶液变红的概率是（ ）
A．0 B．1 C．1/3 D．2/3
【例6】小明的书包里只装有外观相同的作业本，其中语文作业本4本，数学作业本5本，英语作业本3本．小明从书包中随机抽出一本，不是数学作业本的概率是（ ）
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5．袋子里有8个红球，m个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大，则m的值不可能是（ ）
A．10 B．5 C．3 D．1
6．小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是________元．
题型三 几何概率
【例7】如图，点C、D在线段AB上，且AC:CD:DB=3:2:1．以点A为圆心，分别以线段AC、AD、AB为半径画同心圆，记以AC为半径的圆为区域Ⅰ，CD所在的圆环为区域Ⅱ，DB所在的圆环为区域Ⅲ．现在此图形中随机撒一把豆子，统计落在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的豆子数．若大量重复此实验，则（ ）
A．豆子落在区域Ⅰ的概率最小
B．豆子落在区域Ⅱ的概率最小
C．豆子落在区域Ⅲ的概率最小
D．豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同
【例8】如图，正方形ABCD，点M在对角线BD上，BM=2DM，MN⊥MG分别交AB、BC于点N、G，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则落在阴影部分的概率是（ ）
【例9】小华在如图所示的4×4正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是________．
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7．如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（ ）．
8．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想，现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为a，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率为P，则圆周率π的值为________（用所给字母表示．）
9．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是________．
题型四列表法或树状图法求概率
【例10】某校对初一新生随机摇号分班，一共分4个班，班号分别为1班、2班、3班、4班，甲、乙两人是该校的初一新生．
（1）甲恰好被分在1班的概率为________；
（2）用画树状图或列表方法求甲、乙被分在班号连续的两个班级的概率．
【例11】有4张扑克牌，牌面数字分别为2、3、4、4，其余都相同．小明随机从中摸出一张牌，记录牌面数字后放回；洗匀后再从中摸出一张牌，记录牌面数字后又放回．小明摸了100次，结果统计如下：
（1）上述试验中，小明摸出牌面数字为3的频率是 ；小明摸一张牌，摸到牌面数字为3的概率是 ；
（2）若小明一次摸出两张牌，求小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率．
【例12】2023年5月30日，神舟十六号飞船发射成功，我国航天事业开启新篇章．某校举行“筑梦天宫，探秘苍穹”主题知识竞答活动，共有10道必答选择题，每道选择题都有A，B，C三个选项，有且只有一个选项是正确的．小明已答对前8题，最后这两道题小明只能从所有选项中随机选择一个．
（1）小明第9题答对的概率是________；
（2）请计算余下两题中，小明至少答对一题的概率．
【例13】如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．
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10．小华、小玲一起到淮安西游乐园游玩，他们决定在三个热门项目（A：智取芭蕉扇、B：三打白骨精、C：盘丝洞）中各自随机选择一个项目游玩．
（1）小华选择C项目的概率是________；
（2）用画树状图或列表等方法求小华、小玲选择不同游玩项目的概率．
11．由于疫情原因，我校在校门口建立A、B两个体温检测通道，九（3）班甲乙两位同学上午从两个通道中任意一个通道进入校园，求下列事件发生的概率．
（1）甲同学从A通道进入的概率是________；
（2）求甲乙两位同学都从A通道进入的概率．（ 请写出分析过程）
12．李老师带领甲、乙、丙三名同学乘飞机去北京参加活动，若航班售票系统随机分配座位，且系统已将4人分配到同一排，如图所示是飞机内同一排座位A，B，C，D的排列示意图：
（1）利用树状图或表格，求甲乙两同学被分配到相邻座位的概率（过道两侧座位B、C不算相邻）；
（2）为方便管理，若李老师首先选择过道左侧座位B，让甲、乙、丙三名同学随机选择座位，甲同学认为：座位不在过道左侧，就在过道右侧，所以他自己也在过道左侧的概率为1/2．请判断甲同学的观点是否正确，并简述理由
题型五 概率的应用
【例14】林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：
（1）a=________，b=________；
（2）估计该种幼树在此条件下移植成活的概率的估计值是多少？（精确到0.01）
（3）若要成活26400棵树苗，需要移植多少棵树苗？
【例15】商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种：
方案一：购物每满200元减66元；
方案二：顾客购物达到200元可抽奖一次．具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有2张写着数字1，2张写着数字5．顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为w，w的值和享受的优惠如表所示．
（1）若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得7折优惠的概率；
（2）若某顾客的购物金额为a元，请用所学统计与概率的知识，求出选择方案二更优惠时a的取值范围．
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13．菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，每四年颁发一次，被视为数学界的诺贝尔奖，截至2022年，世界上共有65位数学家获得过菲尔兹奖，获奖者获奖时的年龄分别如下表：
通过上表数据，某同学绘制了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整）：
菲尔兹奖获得者获奖时的年龄频数分布表
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）填空：m=________；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）在34岁的四位获奖者中有两位的国籍是意大利，另外两位的国籍分别是比利时和英国，若从这四位数学家中随机抽取两位，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两位获奖者的国籍恰好都是意大利的概率．
14．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6
