第三十三讲 代数式的化简与求值
1．在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明，其中也涉及到它们的化简与求值．本讲主要是把这兰种类型的代数式综合起来，其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容．
2．对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：
(1)因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的；
(2)运算律，适当运用运算律，也有助于化简；
(3)换元、配方、待定系数法、倒数法等；
(4)有时 对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法．
例题求解
【例1】已知 ，求 的值．
思路点拨 由已知得(x－4)2=3，即x2－8x+13=0．所以原式=5．
注 本题使用了整体代换的作法．
【例2】已知：x+ y+x=3a(a ≠0)，求： 的值．
思路点 拨 由 得：
解设 ， ， ，∴
∴原式= （可将 两边平方的得到）
【例3】已知 ，求 的值．
思路点拨 设
∴ ，然后对 和 两种情况进行讨论，原式= 和 ．
【例4】已知 ， ， ，求（1） 的值：（2） 的值．
思路点拨 先由条件求出 ，可得 ， ．
注 这道题充分体现了三个数的平方和，三个数的立方和，及三个数四次方和的常规用法，这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的．
【例5】 (2003年河北初中数学应用竞赛题)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为b；乙商场：两次提价的百分率都是 （a>0，b>0）；丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a，则提价最多的商场是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定
思路点拨 乙商场两次提价后，价格最高．选B
【例6】 已知非零实数 a、b、c满足 ， ，求 的值．
思路点拨 原条件变形为：
∴ 为±1或0．
【例7】(2001年重庆市)阅读下面：
在计算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21时；我机发现，从第一个数开始，以后的每个 数与它的前一个数的差都是一个相同的定值．具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式 计算它们的和．(公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，d表示这个相差的定值．)
那么3+5+7+9+11+13+15+17+19+21= ．
用上面的知识解决下列问题：
为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林．从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地，由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表 为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据．假 设坡荒地全部种上树后，不再有水土流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．
1995年1996年1997年
每年植树的面积（亩）100014001800
植树后坡荒地的实际面积(亩)252002400022400
思路点拨 1996年减少了25200－24000=1200，
1997年减少了24000－22400=1600，
…
m年减少了1200+400×(m 1996)．
1200+1600+…+1200+400(m 1996)=25200．
令n=m 1995，得 ， 或 （舍去）
∴ m =1995+n =2004．
∴ 到2004年，可以将坡荒地全部种上树木．
【例8】 ( “信利杯”)某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵{排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空 挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )
A．1种 B． 2种 C．4种 D．0种
思路点拨 设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，…，k+(n 1)，由题意可知 ，即n=200．因为k，n都是正整数，且n≥3，所以n<2k+(n 1)，且n与2k+(n 1)的奇偶性不同．将200分解质因数，可知n=5或n=8．当n=5时，k=l8；当n=8时，k=9．共有两种不同方案．选B
【例9】 (江苏省竞赛初三)有两道算式：
好+好=妙，妙×好好×真好=妙题题妙，
其中每个汉字表示0~9中的一个数字，相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字．那么，“妙题题妙”所表示的四位数的所有因数的个数是 ．
思路点拨 从加法式得“好”<5，“妙”≠0，因此“好”=1，“妙”=2或“好”=2，“妙”=4或“好”=3，“妙”=6或“好”=4，“妙”=8．显然，中间两种情形不满足乘法式，所以只能是：
(1)“好”=1，“妙”=2，从而乘法式变为
2×11×(真×10+1)=2002+题×110，
即 真×10+1=91+题×5．
上式左边≤91，右边≥91，所以两边都等于91．
由此得“真”=，“题”=0“妙题题妙”=2002．
(2)“好”=4，“妙”=8，乘法式为
8×44×(真×10十4)=8008+题×110．
即704+1760×真=4004十题×55．
在0~9中，只有“真”=2，“题”=4满足上式，但此时“好”与“题”表示 相同的数字，与题意不符．
故四位数“妙题题妙”有唯一解2002．
由2002=2×7×11×13，知2002的所有因数的个数为24=16．
【例9】设 ，，且 ．
求 的值．
思路点拨 设 ，显然 ，于是 ， ， ，代入已知得 ，即 ，
由 ， ，可知 ， ， ，∴ ，原式=1．
学力训练
(A级))
1．当m在可取值范围内取不同的值时，代数式 的最小值是( )
A．0 B．5 C．3 D．9
2．已知：a、b都是负实数，且 ，那么 的值为( )
A． B． C． D．
3．如a、b、c是三个任意整 数，那么 、 、 ( )
A．都不是整数 B．至少有两个整数 C．至少有一个整数 D．都是整数
4．如果 ，那么 的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．4
5．已知： ， ， ，且 ，试求 的值．
6．已知 ，那么 的值是多少？
（B级）
1．设等式 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 的值是( )
A．3 B． C．2 D．
2．已知m>0， n>0，且 ，求 的值．
3．已知 2，试求 的值．
4．已知 ， 且x≠y，求 的值．
5．设a、 b、c均不为0，且 ， ，求证：a、b、c中至少有一个等于1998．
6． 已知a、b、c为整数，且满足 ，求 的值．
A级
1．B 2．C 3．C 4 ．D 5．1 6．20
B级
1．B．2．3 3．4 4．
1．在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明，其中也涉及到它们的化简与求值．本讲主要是把这兰种类型的代数式综合起来，其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容．
2．对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：
(1)因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的；
(2)运算律，适当运用运算律，也有助于化简；
(3)换元、配方、待定系数法、倒数法等；
(4)有时 对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法．
例题求解
【例1】已知 ，求 的值．
思路点拨 由已知得(x－4)2=3，即x2－8x+13=0．所以原式=5．
注 本题使用了整体代换的作法．
【例2】已知：x+ y+x=3a(a ≠0)，求： 的值．
思路点 拨 由 得：
解设 ， ， ，∴
∴原式= （可将 两边平方的得到）
【例3】已知 ，求 的值．
思路点拨 设
∴ ，然后对 和 两种情况进行讨论，原式= 和 ．
【例4】已知 ， ， ，求（1） 的值：（2） 的值．
思路点拨 先由条件求出 ，可得 ， ．
注 这道题充分体现了三个数的平方和，三个数的立方和，及三个数四次方和的常规用法，这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的．
【例5】 (2003年河北初中数学应用竞赛题)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为b；乙商场：两次提价的百分率都是 （a>0，b>0）；丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a，则提价最多的商场是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定
思路点拨 乙商场两次提价后，价格最高．选B
【例6】 已知非零实数 a、b、c满足 ， ，求 的值．
思路点拨 原条件变形为：
∴ 为±1或0．
【例7】(2001年重庆市)阅读下面：
在计算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21时；我机发现，从第一个数开始，以后的每个 数与它的前一个数的差都是一个相同的定值．具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式 计算它们的和．(公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，d表示这个相差的定值．)
那么3+5+7+9+11+13+15+17+19+21= ．
用上面的知识解决下列问题：
为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林．从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地，由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表 为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据．假 设坡荒地全部种上树后，不再有水土流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．
1995年1996年1997年
每年植树的面积（亩）100014001800
植树后坡荒地的实际面积(亩)252002400022400
思路点拨 1996年减少了25200－24000=1200，
1997年减少了24000－22400=1600，
…
m年减少了1200+400×(m 1996)．
1200+1600+…+1200+400(m 1996)=25200．
令n=m 1995，得 ， 或 （舍去）
∴ m =1995+n =2004．
∴ 到2004年，可以将坡荒地全部种上树木．
【例8】 ( “信利杯”)某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵{排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空 挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )
A．1种 B． 2种 C．4种 D．0种
思路点拨 设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，…，k+(n 1)，由题意可知 ，即n=200．因为k，n都是正整数，且n≥3，所以n<2k+(n 1)，且n与2k+(n 1)的奇偶性不同．将200分解质因数，可知n=5或n=8．当n=5时，k=l8；当n=8时，k=9．共有两种不同方案．选B
【例9】 (江苏省竞赛初三)有两道算式：
好+好=妙，妙×好好×真好=妙题题妙，
其中每个汉字表示0~9中的一个数字，相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字．那么，“妙题题妙”所表示的四位数的所有因数的个数是 ．
思路点拨 从加法式得“好”<5，“妙”≠0，因此“好”=1，“妙”=2或“好”=2，“妙”=4或“好”=3，“妙”=6或“好”=4，“妙”=8．显然，中间两种情形不满足乘法式，所以只能是：
(1)“好”=1，“妙”=2，从而乘法式变为
2×11×(真×10+1)=2002+题×110，
即 真×10+1=91+题×5．
上式左边≤91，右边≥91，所以两边都等于91．
由此得“真”=，“题”=0“妙题题妙”=2002．
(2)“好”=4，“妙”=8，乘法式为
8×44×(真×10十4)=8008+题×110．
即704+1760×真=4004十题×55．
在0~9中，只有“真”=2，“题”=4满足上式，但此时“好”与“题”表示 相同的数字，与题意不符．
故四位数“妙题题妙”有唯一解2002．
由2002=2×7×11×13，知2002的所有因数的个数为24=16．
【例9】设 ，，且 ．
求 的值．
思路点拨 设 ，显然 ，于是 ， ， ，代入已知得 ，即 ，
由 ， ，可知 ， ， ，∴ ，原式=1．
学力训练
(A级))
1．当m在可取值范围内取不同的值时，代数式 的最小值是( )
A．0 B．5 C．3 D．9
2．已知：a、b都是负实数，且 ，那么 的值为( )
A． B． C． D．
3．如a、b、c是三个任意整 数，那么 、 、 ( )
A．都不是整数 B．至少有两个整数 C．至少有一个整数 D．都是整数
4．如果 ，那么 的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．4
5．已知： ， ， ，且 ，试求 的值．
6．已知 ，那么 的值是多少？
（B级）
1．设等式 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 的值是( )
A．3 B． C．2 D．
2．已知m>0， n>0，且 ，求 的值．
3．已知 2，试求 的值．
4．已知 ， 且x≠y，求 的值．
5．设a、 b、c均不为0，且 ， ，求证：a、b、c中至少有一个等于1998．
6． 已知a、b、c为整数，且满足 ，求 的值．
A级
1．B 2．C 3．C 4 ．D 5．1 6．20
B级
1．B．2．3 3．4 4．
