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4.3反例与证明
一、教材、学情分析：
举反例和证明同样重要，注重反例以培养学生思维的缜密性、灵活性，以及注重反例构建培养学生思维的发散性、深刻性和创新性在数学中的重要性已越来越被人们重视和认可。反例构建还是诱发学生创造力的很好载体。教师在进行教学时，不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构建反例，这实际上是为学生创设了一种探索情境。因此，构建反例的过程也是学生发散思维的充分发挥和训练过程。
二、教学目标：
（一） 知识与技能
通过实际问题的分析，理解反例的意义和作用。掌握在简单情况下利用反例证明一个命题是错误的。
（二）教学思考
通过判定引入命题的真假培养学生的思维能力; 在思考争论的过程中，学会合作，交流思想；通过独立思考与小组合作，小组竞赛培养学生独立自主精神、合作精神和竞争意识；
（三）解决问题
会利用一些简单的例子，对一个命题作出合理的解释判断与证明；提高他们处理问题和解决问题能力；
（四）情感与态度
通过数学知识的实际应用，渗透数学来源于生活又应用于生活的思想，体验学习数学的乐趣，从而激发他们的学习兴趣。
【教学重点、难点】
?重点：用反例证 明一个命题是错误的．
?难点：如何构造一个反例去证明一个命题是错误的．因为要从条件出发又不能使其满足结论，要求学生对数学概念的理解能力较高。
【教学过程】
一、谈话引入，激发兴趣
读一读：
高斯说：“给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断地学习；不是已有的东西，而是不断地获取；不是 已达到的高度，而是继续不断地攀登”。
师：高斯是伟大的数学家，他告诉我们要不断学习，学无止境，让我们继续不断地向上攀登吧！
（设计意图：师生交流，联络感情，通过一起学习名人名言可缩小师生之间的距离，使学生体会到师生之间是平等的，另一方面通过学习名言可对学生进行思想教育，希望他们能继续努力，永攀高峰。）
二、师生交流，引入新课
高斯是伟大的数学家吗？这句话是命题吗？
（通过它来复习命题的概念，请学生将这句话改成一个 命题）
高斯是伟大的数学家。再问这个 命题正确吗？ （学生答）
我们再来 判断下列命题的真假[
（1）会飞的动物都是鸟。
（学生会说是假命题。）
师问：为何是假命题？学生举出蝴蝶、苍蝇、蜻蜓等会飞，但不是鸟。
（设计意图：让学生能 够分辨一个命题的真假，能够举出适当的反例。使学生初步有通过举反例可以说明一个命题是假命题的思想，以便在解决下面三题时能想出举出反例。）
（2）素数是奇数 （学生答：假命题，举例2）
（3）黄皮肤、黑头发的人是中国人 （学生答：假命题，举例韩国人，日本人等）
（4）在不同顶点上有两个外角是钝角的三角形是锐角三角形 （学生答：假命题，等腰直角三角形等）
师：我们对真命题的证明，掌握了一定的方法和技能 ，那么如何来说明一个命题是假命题呢？如上述四个命题你是如何来说明它是假命题的？（学生能够答：举个例子说明）
今天我们将一起来探讨如何说明一个命题是假命题。从而引出课题??反例与证明
三、师生互动，学习新知
1、小组合作，共同进步
师生总结：从引例知道判断一个命题是假命题 只要举出一个例子即可。
学生讨论：怎么样例子才能判断一个命题是假命题？
学生分小组讨论，教师巡回指导，每小组代表发言
师生总结：具备命题条件但不具备命题结论的例子，这样的例子称为反例。
师：如可以举2是素数，但不是奇数，从而证明“素数是奇数”是假命题.
韩国人，日本人也是黄皮肤、黑头发的人从而证明“黄皮肤、黑头发的人是中国人”是假命题。这些例子都符合命题的条件但不具备命题的结论。
（设计意图：让学生充分讨论我们所需要的反例有什么要求，因为举反例有时比较困难。通过学生激烈的争论可以给 学生一个举反例的指导方向，学生在 争论中更易接受正确的知识，使学生能在判定具体命题真假时举出适当反例。）[
2、比一比，赛一赛（小组竞赛）
判断下列命题是真命题还是假命题，是真命题请证明，是假命题请举反例.
（1）三角形的外角和等于360 °
（2）三线两两相交,必有三个交点
（3）若ab＜0，则a＞0,b＜0
（4）任何三条线段都能组成一个三角形
（5）若 x+y=0，则
（设计意图：通过学生竞赛，激发学生学习兴趣。趁热打铁，及时巩固，培养学生的动手能力和应用知识解决问题的能力，让学生能够分辨一个命题的真假，对真命题能够证明，对假命题能够举出适当的反例）
3、设置一个互动游戏：让一个学生出一个命题，另一学生判断真假。
（设计意图此处设置互动游戏，一方面是为了更好地以另一种方式促进学生的学习参与，另一方面也是为了调节课堂的气氛，因为这段时间学生在下午的学习总是感觉疲劳 ，兴趣不是很高，这样就可以更好地促进学生，调节气氛。）
师：我们已经能举出反例说明一个命题是 假命题，如何在解题过程中将反例用数学语言规范的表述，请同学们尝试解决以下两题。
例题：判断下列命题的真假，并给出证明(第一题较简单学生易举出反例，第二题学生需要构造出图形较为困难，老师巡视时给予适当引导。)
（1）若2 x + y = 0，则x = y = 0
（2）有一条边、两个角相等的两个三角形全等
学生先自主解决，然后小组内交流纠错。老师巡视发现学生的表述不规范之处，予以纠正。挑出学生解题中普遍存在问题，用投影仪集体纠错，规范解题步骤。
（设计意图：学生先尝试数学问题中反例的表述，使学生感觉到学习并不是一件很容易或很困难的事情。然后通过合作学习，为每位学生提供交流的空间，让他们能积极参与，勇于发表自己的观点，帮助其他同学修正错误，给学生以成就感。）
幻灯片给出具体解题过程
解（1）是假命题。
取x = -1 , y = 2 ，
则2 x + y = 2 ×（-1）+ 2 = 0
但x≠0且y≠0。
即x = -1，y = 2 具备2 x + y = 0 的条 件，
但不具备命题的结论，
所以此命题为假命题
（2） 假命题。
如图：△ABC和△A’B’C’中，
∠C=∠A’=75°
∠B=∠C’=45°
AB=A’B’=2.5cm
但很明显△ABC和△A’B’C’不全等，
所以此命题为假命题
例题小结： 如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合 题设而不符合结论的例子就可以了。涉及数的问题举出一些特殊值，一些几何问题可以构造出适当几何图形，构造的图形也是解题的步骤，需要辅助几何表述，才能成为解题过程。
四、应用新知，体验成功[
（设计意图：学生能够分辨一个命题的真假，对真命题能够证明，对假命题能够举出适当的反例。代数问题稍好解决，几何问题构造图形是学习中较为难解决的问题，予以适当强化。）
判断命题“两边 和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”的真假，并给出证明。（学生小组讨论，构造反例。）
老师分析引导：这是一个假命题，要证明它是一个假命题，关键是看如何构造反 例。
（老师巡视挑出解答较好的两个反例投影展示，请学生介绍解题思路。老师点评并做补充。）
本题可以从以下两方面考虑，如图4 ? 4 ? 4（1）三角形ABC中，AB=AC，在底边BC延长线上取点D，连DA，这样在△ADB和△ADC中，AD=AD，∠D=∠D，AB=AC，显然观察图形可知△ADB与△ADC不全等，或者，在BC上任取一点E（E不是中点）， 如图4-4-4（2），则在△ABE和△ACE中，AB=AC，∠B=∠C，AE=AE，显然它们不全等。
解 这是一个假命题，证明如下：
如图4 ? 4 ? 4（1），在 △ABC中，AB=AC，延长CB到D，连结AD。
则AB=AC，（已知）
AD=AD，（公共边）
∠D=∠D，（公共角）
但△ADB与△ADC不全等。
评注 能举反例说明一个命题是假命题，反例不在于多，只要能找到一个说明即可。
五、课堂小结，形成系统
畅所欲言：通过这节课的学习，谈谈你的收获与体会。
（设计意图： 让学生自己总结本堂课的 得失，一方面培养学生善于总结反思的良好习惯；另一方面可以提高学生的语言表达能力，为自己和其他同学梳理了知识体系，使其系统化，起到画龙点睛的作用。）
老师给出本节知识点：1、判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可。[ ]
2、反例是具备命题条件但不具备命题结论的例子。
3、 涉及数的问题举出 一些特殊值，一些几何问题可以构造出适当几何图形，构造的图形也是解题的步骤，需要辅助几何表述，才能成为解题过程。
六、布置作业，深化提高
1、作业本作业。见《作业本》（分不同层次布置不同要求的作业，必做题，选做题）
2、探索与思考：
判断命题 “一角和夹这角的一边对应相等，且这边上的中线对应相等的两个三角形全等” 是真命题，还是假命题？请给出证明。
（设计意图：根据学生的不同层次布置不同的作业，真正体现因材施教原则。）
4.3反例与证明
一、教材、学情分析：
举反例和证明同样重要，注重反例以培养学生思维的缜密性、灵活性，以及注重反例构建培养学生思维的发散性、深刻性和创新性在数学中的重要性已越来越被人们重视和认可。反例构建还是诱发学生创造力的很好载体。教师在进行教学时，不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构建反例，这实际上是为学生创设了一种探索情境。因此，构建反例的过程也是学生发散思维的充分发挥和训练过程。
二、教学目标：
（一） 知识与技能
通过实际问题的分析，理解反例的意义和作用。掌握在简单情况下利用反例证明一个命题是错误的。
（二）教学思考
通过判定引入命题的真假培养学生的思维能力; 在思考争论的过程中，学会合作，交流思想；通过独立思考与小组合作，小组竞赛培养学生独立自主精神、合作精神和竞争意识；
（三）解决问题
会利用一些简单的例子，对一个命题作出合理的解释判断与证明；提高他们处理问题和解决问题能力；
（四）情感与态度
通过数学知识的实际应用，渗透数学来源于生活又应用于生活的思想，体验学习数学的乐趣，从而激发他们的学习兴趣。
【教学重点、难点】
?重点：用反例证 明一个命题是错误的．
?难点：如何构造一个反例去证明一个命题是错误的．因为要从条件出发又不能使其满足结论，要求学生对数学概念的理解能力较高。
【教学过程】
一、谈话引入，激发兴趣
读一读：
高斯说：“给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断地学习；不是已有的东西，而是不断地获取；不是 已达到的高度，而是继续不断地攀登”。
师：高斯是伟大的数学家，他告诉我们要不断学习，学无止境，让我们继续不断地向上攀登吧！
（设计意图：师生交流，联络感情，通过一起学习名人名言可缩小师生之间的距离，使学生体会到师生之间是平等的，另一方面通过学习名言可对学生进行思想教育，希望他们能继续努力，永攀高峰。）
二、师生交流，引入新课
高斯是伟大的数学家吗？这句话是命题吗？
（通过它来复习命题的概念，请学生将这句话改成一个 命题）
高斯是伟大的数学家。再问这个 命题正确吗？ （学生答）
我们再来 判断下列命题的真假[
（1）会飞的动物都是鸟。
（学生会说是假命题。）
师问：为何是假命题？学生举出蝴蝶、苍蝇、蜻蜓等会飞，但不是鸟。
（设计意图：让学生能 够分辨一个命题的真假，能够举出适当的反例。使学生初步有通过举反例可以说明一个命题是假命题的思想，以便在解决下面三题时能想出举出反例。）
（2）素数是奇数 （学生答：假命题，举例2）
（3）黄皮肤、黑头发的人是中国人 （学生答：假命题，举例韩国人，日本人等）
（4）在不同顶点上有两个外角是钝角的三角形是锐角三角形 （学生答：假命题，等腰直角三角形等）
师：我们对真命题的证明，掌握了一定的方法和技能 ，那么如何来说明一个命题是假命题呢？如上述四个命题你是如何来说明它是假命题的？（学生能够答：举个例子说明）
今天我们将一起来探讨如何说明一个命题是假命题。从而引出课题??反例与证明
三、师生互动，学习新知
1、小组合作，共同进步
师生总结：从引例知道判断一个命题是假命题 只要举出一个例子即可。
学生讨论：怎么样例子才能判断一个命题是假命题？
学生分小组讨论，教师巡回指导，每小组代表发言
师生总结：具备命题条件但不具备命题结论的例子，这样的例子称为反例。
师：如可以举2是素数，但不是奇数，从而证明“素数是奇数”是假命题.
韩国人，日本人也是黄皮肤、黑头发的人从而证明“黄皮肤、黑头发的人是中国人”是假命题。这些例子都符合命题的条件但不具备命题的结论。
（设计意图：让学生充分讨论我们所需要的反例有什么要求，因为举反例有时比较困难。通过学生激烈的争论可以给 学生一个举反例的指导方向，学生在 争论中更易接受正确的知识，使学生能在判定具体命题真假时举出适当反例。）[
2、比一比，赛一赛（小组竞赛）
判断下列命题是真命题还是假命题，是真命题请证明，是假命题请举反例.
（1）三角形的外角和等于360 °
（2）三线两两相交,必有三个交点
（3）若ab＜0，则a＞0,b＜0
（4）任何三条线段都能组成一个三角形
（5）若 x+y=0，则
（设计意图：通过学生竞赛，激发学生学习兴趣。趁热打铁，及时巩固，培养学生的动手能力和应用知识解决问题的能力，让学生能够分辨一个命题的真假，对真命题能够证明，对假命题能够举出适当的反例）
3、设置一个互动游戏：让一个学生出一个命题，另一学生判断真假。
（设计意图此处设置互动游戏，一方面是为了更好地以另一种方式促进学生的学习参与，另一方面也是为了调节课堂的气氛，因为这段时间学生在下午的学习总是感觉疲劳 ，兴趣不是很高，这样就可以更好地促进学生，调节气氛。）
师：我们已经能举出反例说明一个命题是 假命题，如何在解题过程中将反例用数学语言规范的表述，请同学们尝试解决以下两题。
例题：判断下列命题的真假，并给出证明(第一题较简单学生易举出反例，第二题学生需要构造出图形较为困难，老师巡视时给予适当引导。)
（1）若2 x + y = 0，则x = y = 0
（2）有一条边、两个角相等的两个三角形全等
学生先自主解决，然后小组内交流纠错。老师巡视发现学生的表述不规范之处，予以纠正。挑出学生解题中普遍存在问题，用投影仪集体纠错，规范解题步骤。
（设计意图：学生先尝试数学问题中反例的表述，使学生感觉到学习并不是一件很容易或很困难的事情。然后通过合作学习，为每位学生提供交流的空间，让他们能积极参与，勇于发表自己的观点，帮助其他同学修正错误，给学生以成就感。）
幻灯片给出具体解题过程
解（1）是假命题。
取x = -1 , y = 2 ，
则2 x + y = 2 ×（-1）+ 2 = 0
但x≠0且y≠0。
即x = -1，y = 2 具备2 x + y = 0 的条 件，
但不具备命题的结论，
所以此命题为假命题
（2） 假命题。
如图：△ABC和△A’B’C’中，
∠C=∠A’=75°
∠B=∠C’=45°
AB=A’B’=2.5cm
但很明显△ABC和△A’B’C’不全等，
所以此命题为假命题
例题小结： 如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合 题设而不符合结论的例子就可以了。涉及数的问题举出一些特殊值，一些几何问题可以构造出适当几何图形，构造的图形也是解题的步骤，需要辅助几何表述，才能成为解题过程。
四、应用新知，体验成功[
（设计意图：学生能够分辨一个命题的真假，对真命题能够证明，对假命题能够举出适当的反例。代数问题稍好解决，几何问题构造图形是学习中较为难解决的问题，予以适当强化。）
判断命题“两边 和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”的真假，并给出证明。（学生小组讨论，构造反例。）
老师分析引导：这是一个假命题，要证明它是一个假命题，关键是看如何构造反 例。
（老师巡视挑出解答较好的两个反例投影展示，请学生介绍解题思路。老师点评并做补充。）
本题可以从以下两方面考虑，如图4 ? 4 ? 4（1）三角形ABC中，AB=AC，在底边BC延长线上取点D，连DA，这样在△ADB和△ADC中，AD=AD，∠D=∠D，AB=AC，显然观察图形可知△ADB与△ADC不全等，或者，在BC上任取一点E（E不是中点）， 如图4-4-4（2），则在△ABE和△ACE中，AB=AC，∠B=∠C，AE=AE，显然它们不全等。
解 这是一个假命题，证明如下：
如图4 ? 4 ? 4（1），在 △ABC中，AB=AC，延长CB到D，连结AD。
则AB=AC，（已知）
AD=AD，（公共边）
∠D=∠D，（公共角）
但△ADB与△ADC不全等。
评注 能举反例说明一个命题是假命题，反例不在于多，只要能找到一个说明即可。
五、课堂小结，形成系统
畅所欲言：通过这节课的学习，谈谈你的收获与体会。
（设计意图： 让学生自己总结本堂课的 得失，一方面培养学生善于总结反思的良好习惯；另一方面可以提高学生的语言表达能力，为自己和其他同学梳理了知识体系，使其系统化，起到画龙点睛的作用。）
老师给出本节知识点：1、判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可。[ ]
2、反例是具备命题条件但不具备命题结论的例子。
3、 涉及数的问题举出 一些特殊值，一些几何问题可以构造出适当几何图形，构造的图形也是解题的步骤，需要辅助几何表述，才能成为解题过程。
六、布置作业，深化提高
1、作业本作业。见《作业本》（分不同层次布置不同要求的作业，必做题，选做题）
2、探索与思考：
判断命题 “一角和夹这角的一边对应相等，且这边上的中线对应相等的两个三角形全等” 是真命题，还是假命题？请给出证明。
（设计意图：根据学生的不同层次布置不同的作业，真正体现因材施教原则。）
