M
【例题求解】
【例1】 一慢车和一快车沿相同的路线从A到B地，所行的路程与时间的函数图象如图所示，试根据图象，回答下列问题：
(1)慢车比快车早出发 小时，快车追上慢车时行驶了 千米，快车比慢车
早 小时到达6地；
(2)快车追上慢车需 小时，慢车、快车的速度分别为 千米／时；
(3)A、B两地间的路程是 ．
思路点拨 对于(2)，设快车追上慢车需 小时，利用快车、慢车所走的路程相等，建立 的方程．
注：股市行情走势图、期货市场趋势图、工厂产值利润表、甚而电子仪器自动记录的地震波等，它们广泛出现在电视、报刊、广告中，渗透到现实生活的每一角落，这些图表、图象中蕴涵着丰富的信息，我们应学会收集、整理与获取．
【例2】 已知二次函数 的图象如图，并设M= ，则( )
A．M>0 B．M＝0 C．M<0 D．不能确定M为正、为负或为0
思路点拨 由抛物线的位置判定 、 、 的符号，并由 ，推出相应y值的正负性．
注：函数图象是广泛见于各地中考试卷中的一种常见问题，解此类问题的基本思路是：由图象大致位置确定解析式中系数符号特征，进而再判定其他图象的大致位置，在解题中常常要运用直接判断、排除筛选、分类讨论、参数吻合等方法．
【例3】 某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位：小时)如图所示．若汽车行驶的平均速度为80千米／时，而汽车每行驶1千米所需要的平均费用为1．2元．试指出此人从A城出发到B城的最短路线．
日平均风速v／(米／秒)v<33≤v<6v≥6
日发电量A型发电机0≥36≥150
(千瓦?时)B型 发电机0≥24≥90
(2003年全国初中数学竞赛题)
思路点拨 从A城出发到B城的路线分成如下两类：(1)从A城出发到达B城，经过O城，(2)从A城出发到达B城，不经过O城．
【例4】 我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均风速不小于3米／秒的时间共约160天，其中日平均风速不小于6米／秒的时间约占60天．为了充分利用“风能”这种“绿色能源”，该地拟建一个小型风力发电厂，决定选用A、B两种型号的风力发电机．根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表：
根据上面的数据回答：
(1)若这个发电厂购 台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为 千瓦?时；
(2)已知A型风力发电机每台0．3万元，B型风力发电机每台0．2万元．该发电厂拟购置风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2．6万元，而建成的 风力发电厂每年的发电 总量不少于102000千瓦?时，请你提供符合条件的购机方案．
思路点拨 对于(1)，注意“平均风速不小于3米／秒”的时间区分；对于(2)，利用购置费用和发电总量分别列出不等式．
【例5】 一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1日起的50天内，它的市场售价 与上市时间 的关系可用图1的一条线段表示；它的种 植成本 与上市时间 的关系可用图2抛物线的一部分来表示，假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱?
思路点拨 由图象提供的信息，求出直线、抛物线的解析式，利用市场售价与成本价相等建立时间 的方程．
注：本例综合运用一次函数和二次函数的有关知识，涉及信息量大，题中呈现信息的方式不仅是文字和符号，还包括表格．
解图象信息问题的关键是化“图象信息”为“数学信息”，具体包括：
(1)读图找点；
(2)看图确定系数符号特征；
(3)见形(图象形态)想式(解析式)，建模求解．
学历训 练
1． 如图，是某出租车单程收费 (元)与行驶路程 (千米)之间的
函数关系的图象，请根据图象回答以下问题：
(1)当行驶8千米时，收费应为 ；
(2)从图象上你能获得哪些正确的信息(请写出2条)
① ；② ．
(3)收费 (元)与行驶 (千米)( ≥3)之间的函数关系式为 ．
2．甲、乙两人(甲骑自行车，乙骑摩托车)从A城出发到B地旅行，如图表示甲、乙两人离开A城的路程与时间之间的函数图象。根据图象，你能得到关于甲、乙两人旅行的哪些信息?
答题要求：
(1)请至少提供四条信息，如，由图象可知：甲比乙早出发4小时；甲离开A城的路程与时间的函数图象是一条折线段，说明甲作变速运动．
(2)不要再提供“(1)”中已列举的信息．
① ；② ；
③ ；④
3．如图，已知函数 的图象过(一1，0)和(0，一1)两点，则 的取值范围是 ．
4．下列各图中，能表示函数 和 ( )在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )．
5．三峡工程在6月1日至6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间．假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这10天水位 (米)随时间 (天)变化的是( )
6．在同一坐标系中，函数 与 的图象大致是( )
7．某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观．如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响．但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入．因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数．在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收人，那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少元?
8．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140千米／时)，对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
刹车时车速(千米／ 时)1102030405060
刹车距离(米)00．31．02．13．65．57．8
(1)以车速为 轴，以刹车距离为 轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到函数的大致图象；
(2)观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数的解析式；
(3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46．5米，请推测刹车时的速度是多少?请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶?
9．二次函数 的图象如图所示，则化简二次根式 的结果是 ．
10．小刚、爸爸、爷爷同时从家中出发到达同一目的地后都立即返回．小刚去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时是步行，返回时骑自行车；爸爸往返都步行．三个人步行的速度不等，小刚与爷爷骑车的速度相等 ．每个人的行走路程与时间的关系分别是下面三个图象中的一个．走完一个往返，小刚用 分钟，爸爸用 分钟，爷爷用 分钟．
11．小明同学骑自行车在上学的路上要经过两座山梁，行走的路线如图所示．已知上山的速度为 米／分钟，平路的速度为 米／分钟，下山的速度为 米／分钟，其中 < < ．那么，小明同学上学骑自行车行走的路程S(米)与所用的时间 (分钟)的函数关系，可能是下面图象中的( )
12．二次函数 的图象如图所示，则在下列不等式中， ①abc<0；②a+b+c<0；③a+c>b；④ 成立的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，直角三角形AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB=3.设直线l：x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t 之间的函数关系的图像为( )
14．设 6>o，将一次函数 与 的图象画在平面直角坐标系中，则有一组 、 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是( )
15．某商场为提高彩电销售人员的积极性，制定了新的工资分配方案，方案规定：每位销售人员的工资总额＝基本工资+奖励工资，每位销售人员的月销售定额为10000元，在销售定额内，得基本工资200元；超过销售定额，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表1所示．
(1)已知销售员甲本月领到的工资总额为800元，请问销售员甲在本月的销售额为多少元?
(2)依法纳税是每个公民应尽的义务，根据我国税法规定，全月工资总额不超过800元不要缴纳个人所得税；超过800元的部分为“全月应纳税所得额”．表2是缴纳个人所得税税率表．若销售员乙本月共销售A、B两种型号的彩电21台，缴纳个人所得税后实际得到的工资为1275元，又知A型彩电的销售价为每台1000元，B型彩电的销售价为每台1500元，请问销售员乙本月销售A型彩电多少台?
表1 表2
16．有麦田5块A、B、C、D、E，它们的产量(单位：吨)、交通状况和每相邻两块麦田的距离如图所示，要建一座永久性打麦场，这5块麦田生 产的麦子都在此打场，问建在哪块麦田上(不允许建在除麦田以外的其他地方)才能使总 运输量最小?(图中圆圈内的数字为产量，直线段上的字母a、b、d表示距离，且b
17．在元旦晚会上，学校组织了一次关于语文、数 学、外语、奥运及日常生活常识的知识竞赛，设定满分为40分，以下依次为30分、20分、10分和0分共五个评分等级，每个小组分别回答这五个方面的问题．现将A、B、C、D、E五个小组的部分得分列表如下：
语文数学外语常识奥运总分名次
A组1801
B组2
C组3
D组304
E组40205
表中：(1)每一竖行的得分均不相同(包括单科和总分)；
(2)C组有4个单科得分相同．
求：B、C、D、E组的总分并填表进行检验．
参考答案
【例题求解】
【例1】 一慢车和一快车沿相同的路线从A到B地，所行的路程与时间的函数图象如图所示，试根据图象，回答下列问题：
(1)慢车比快车早出发 小时，快车追上慢车时行驶了 千米，快车比慢车
早 小时到达6地；
(2)快车追上慢车需 小时，慢车、快车的速度分别为 千米／时；
(3)A、B两地间的路程是 ．
思路点拨 对于(2)，设快车追上慢车需 小时，利用快车、慢车所走的路程相等，建立 的方程．
注：股市行情走势图、期货市场趋势图、工厂产值利润表、甚而电子仪器自动记录的地震波等，它们广泛出现在电视、报刊、广告中，渗透到现实生活的每一角落，这些图表、图象中蕴涵着丰富的信息，我们应学会收集、整理与获取．
【例2】 已知二次函数 的图象如图，并设M= ，则( )
A．M>0 B．M＝0 C．M<0 D．不能确定M为正、为负或为0
思路点拨 由抛物线的位置判定 、 、 的符号，并由 ，推出相应y值的正负性．
注：函数图象是广泛见于各地中考试卷中的一种常见问题，解此类问题的基本思路是：由图象大致位置确定解析式中系数符号特征，进而再判定其他图象的大致位置，在解题中常常要运用直接判断、排除筛选、分类讨论、参数吻合等方法．
【例3】 某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位：小时)如图所示．若汽车行驶的平均速度为80千米／时，而汽车每行驶1千米所需要的平均费用为1．2元．试指出此人从A城出发到B城的最短路线．
日平均风速v／(米／秒)v<33≤v<6v≥6
日发电量A型发电机0≥36≥150
(千瓦?时)B型 发电机0≥24≥90
(2003年全国初中数学竞赛题)
思路点拨 从A城出发到B城的路线分成如下两类：(1)从A城出发到达B城，经过O城，(2)从A城出发到达B城，不经过O城．
【例4】 我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均风速不小于3米／秒的时间共约160天，其中日平均风速不小于6米／秒的时间约占60天．为了充分利用“风能”这种“绿色能源”，该地拟建一个小型风力发电厂，决定选用A、B两种型号的风力发电机．根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表：
根据上面的数据回答：
(1)若这个发电厂购 台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为 千瓦?时；
(2)已知A型风力发电机每台0．3万元，B型风力发电机每台0．2万元．该发电厂拟购置风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2．6万元，而建成的 风力发电厂每年的发电 总量不少于102000千瓦?时，请你提供符合条件的购机方案．
思路点拨 对于(1)，注意“平均风速不小于3米／秒”的时间区分；对于(2)，利用购置费用和发电总量分别列出不等式．
【例5】 一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1日起的50天内，它的市场售价 与上市时间 的关系可用图1的一条线段表示；它的种 植成本 与上市时间 的关系可用图2抛物线的一部分来表示，假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱?
思路点拨 由图象提供的信息，求出直线、抛物线的解析式，利用市场售价与成本价相等建立时间 的方程．
注：本例综合运用一次函数和二次函数的有关知识，涉及信息量大，题中呈现信息的方式不仅是文字和符号，还包括表格．
解图象信息问题的关键是化“图象信息”为“数学信息”，具体包括：
(1)读图找点；
(2)看图确定系数符号特征；
(3)见形(图象形态)想式(解析式)，建模求解．
学历训 练
1． 如图，是某出租车单程收费 (元)与行驶路程 (千米)之间的
函数关系的图象，请根据图象回答以下问题：
(1)当行驶8千米时，收费应为 ；
(2)从图象上你能获得哪些正确的信息(请写出2条)
① ；② ．
(3)收费 (元)与行驶 (千米)( ≥3)之间的函数关系式为 ．
2．甲、乙两人(甲骑自行车，乙骑摩托车)从A城出发到B地旅行，如图表示甲、乙两人离开A城的路程与时间之间的函数图象。根据图象，你能得到关于甲、乙两人旅行的哪些信息?
答题要求：
(1)请至少提供四条信息，如，由图象可知：甲比乙早出发4小时；甲离开A城的路程与时间的函数图象是一条折线段，说明甲作变速运动．
(2)不要再提供“(1)”中已列举的信息．
① ；② ；
③ ；④
3．如图，已知函数 的图象过(一1，0)和(0，一1)两点，则 的取值范围是 ．
4．下列各图中，能表示函数 和 ( )在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )．
5．三峡工程在6月1日至6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间．假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这10天水位 (米)随时间 (天)变化的是( )
6．在同一坐标系中，函数 与 的图象大致是( )
7．某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观．如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响．但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入．因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数．在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收人，那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少元?
8．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140千米／时)，对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
刹车时车速(千米／ 时)1102030405060
刹车距离(米)00．31．02．13．65．57．8
(1)以车速为 轴，以刹车距离为 轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到函数的大致图象；
(2)观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数的解析式；
(3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46．5米，请推测刹车时的速度是多少?请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶?
9．二次函数 的图象如图所示，则化简二次根式 的结果是 ．
10．小刚、爸爸、爷爷同时从家中出发到达同一目的地后都立即返回．小刚去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时是步行，返回时骑自行车；爸爸往返都步行．三个人步行的速度不等，小刚与爷爷骑车的速度相等 ．每个人的行走路程与时间的关系分别是下面三个图象中的一个．走完一个往返，小刚用 分钟，爸爸用 分钟，爷爷用 分钟．
11．小明同学骑自行车在上学的路上要经过两座山梁，行走的路线如图所示．已知上山的速度为 米／分钟，平路的速度为 米／分钟，下山的速度为 米／分钟，其中 < < ．那么，小明同学上学骑自行车行走的路程S(米)与所用的时间 (分钟)的函数关系，可能是下面图象中的( )
12．二次函数 的图象如图所示，则在下列不等式中， ①abc<0；②a+b+c<0；③a+c>b；④ 成立的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，直角三角形AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB=3.设直线l：x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t 之间的函数关系的图像为( )
14．设 6>o，将一次函数 与 的图象画在平面直角坐标系中，则有一组 、 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是( )
15．某商场为提高彩电销售人员的积极性，制定了新的工资分配方案，方案规定：每位销售人员的工资总额＝基本工资+奖励工资，每位销售人员的月销售定额为10000元，在销售定额内，得基本工资200元；超过销售定额，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表1所示．
(1)已知销售员甲本月领到的工资总额为800元，请问销售员甲在本月的销售额为多少元?
(2)依法纳税是每个公民应尽的义务，根据我国税法规定，全月工资总额不超过800元不要缴纳个人所得税；超过800元的部分为“全月应纳税所得额”．表2是缴纳个人所得税税率表．若销售员乙本月共销售A、B两种型号的彩电21台，缴纳个人所得税后实际得到的工资为1275元，又知A型彩电的销售价为每台1000元，B型彩电的销售价为每台1500元，请问销售员乙本月销售A型彩电多少台?
表1 表2
16．有麦田5块A、B、C、D、E，它们的产量(单位：吨)、交通状况和每相邻两块麦田的距离如图所示，要建一座永久性打麦场，这5块麦田生 产的麦子都在此打场，问建在哪块麦田上(不允许建在除麦田以外的其他地方)才能使总 运输量最小?(图中圆圈内的数字为产量，直线段上的字母a、b、d表示距离，且b
17．在元旦晚会上，学校组织了一次关于语文、数 学、外语、奥运及日常生活常识的知识竞赛，设定满分为40分，以下依次为30分、20分、10分和0分共五个评分等级，每个小组分别回答这五个方面的问题．现将A、B、C、D、E五个小组的部分得分列表如下：
语文数学外语常识奥运总分名次
A组1801
B组2
C组3
D组304
E组40205
表中：(1)每一竖行的得分均不相同(包括单科和总分)；
(2)C组有4个单科得分相同．
求：B、C、D、E组的总分并填表进行检验．
参考答案
