一．知识要点
1. 若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式 （a≠0）求解析式。
2. 若已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值），则应用顶点式 ，其中（h，k）为顶点坐标。
3. 若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标，则应用交点式 ，其中 为抛物线与x轴交点的横坐标
二. 重点、难点：
重点：求二次函数的函数关系式
难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。
三. 教学建议：
求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的形式，选择恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应根据题目特点，灵活选用。
典型例题
例1. 已知某二次函数的图象经过点A（－1，－6），B（2，3），C（0，－5）三点，求其函数关系式。
分析：设 ，其图象经过点C（0，－5），可得 ，再由另外两点建立关于 的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可。
解：设所求二次函数的解析式为
因为图象过点C（0，－5），∴
又因为图象经过点A（－1，－6），B（2，3），故可得到：
∴所求二次函数的解析式为
说明：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为 ，然后确定a、b、c的值即得，本题由C（0，－5）可先求出c的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简便。
例2. 已知二次函数 的图象的顶点为（1， ），且经过点
（－2，0），求该二次函数的函数关系式。
分析：由已知顶点为（1， ），故可设 ，再由点（－2，0）确定a的值即可
解： ，则
∵图象过点（－2，0），
∴
∴
即：
说明：如果题目已知二次函数图象的顶点坐标（h，k），一般设 ，再根据其他条件确定a的值。本题虽然已知条件中已设 ，但我们可以不用这种形式而另设 这种形式。因为在 这种形式中，我们必须求a、b、c的值，而在 这种形式中，在顶点已知的条件下，只需确定一个字母a的值，显然这种形式更能使我们快捷地求其函数关系式。
例3. 已知二次函数图象的对称轴是 ，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是（－1，0），求这个二次函数的解析式。
分析：依题意，可知顶点坐标为（－3，2），因此，可设解析式为顶点式
解：设这个二次函数的解析式为
∵图象经过（－1，0），
∴
∴所求这个二次函数的解析式为
即：
说明：在题设的条件中，若涉及顶点坐标，或对称轴，或函数的最大（最小值），可设顶点式为解析式。
例4. 已知二次函数 的图象如图1所示，则这个二次函数的关系式是__________________。
图1
分析：可根据题中图中的信息转化为一般式（或顶点式）（或交点式）。
方法一：由图象可知：该二次函数过（0，0），（2，0），（1，－1）三点
设解析式为
根据题意得：
∴所求二次函数的解析式为
方法二：由图象可知，该二次函数图象的顶点坐标为（1，－1）
设解析式为
∵图象过（0，0），∴ ，∴
∴所求二次函数的解析式为
即
方法三：由图象可知，该二次函数图象与x轴交于点（0，0），（2，0）
设解析式为
∵图象过（1，－1）
∴ ，∴
∴所求二次函数解析式为：
即：
说明：依题意后两种方法比较简便。
例5. 已知：抛物线在x轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式
分析：由于抛物线是轴对称图形，设抛物线与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），则有对称轴 ，利用这个对称性很方便地求二次函数的解析式
解：∵顶点坐标为（2，4）
∴对称轴是直线x＝2
∵抛物线与x轴两交点之间距离为4
∴两交点坐标为（0，0），（4，0）
设所求函数的解析式为
∵图象过（0，0）点
∴ ，∴
∴所求函数的解析式为
例6. 已知二次函数 的最大值是零，求此函数的解析式。
分析：依题意，此函数图象的开口应向下，则有 ，且顶点的纵坐标的值为零，则有： 。以上两个条件都应满足，可求m的值。
解：依题意：
由①得
由②得： （舍去）
所求函数式为
即：
例7. 已知某抛物线是由抛物线 经过平移而得到的，且该抛物线经过点A（1，1），B（2，4），求其函数关系式。
分析：设所求抛物线的函数关系式为 ，则由于它是抛物线 经过平移而得到的，故a＝2，再由已知条件列出b、c的二元一次方程组可解本题。
解：设所求抛物线的函数关系式为 ，则由已知可得a＝2，又它经过点A（1，1），B（2，4）
故： 解得：
∴所求抛物线的函数表达式为：
说明：本题的关键是由所求抛物线与抛物线 的平移关系，得到
例8. 如图2，已知点A（－4，0）和点B（6，0），第三象限内有一点P，它的横坐标为－2，并且满足条件
图2
（1）求证：△PAB是直角三角形。
（2）求过P、A、B三点的抛物线的解析式，并求顶点坐标。
分析：（1）中须证 ，由已知条件：
，应过P作PC⊥x轴
（2）中已知P、A、B三点的坐标，且根据点的位置可用三种不同的方法求出抛物线的解析式
解：（1）过P作PC⊥x轴于点C，
由已知易知AC＝2，BC＝8
∴ ，解得：PC＝4
∴P点的坐标为（－2，－4）
由勾股定理可求得：
，又
∴
故△APB是直角三角形
（2）解法1，可设过P、A、B三点的抛物线的解析式为：
，
则有
∴
∴顶点坐标（1， ）
解法2：由抛物线与x轴交于A（－4，0），B（6，0），
可设 ，又抛物线过点P（－2，－4）可求a值
解法3：由A（－4，0），B（6，0）
可知抛物线的对称轴为
可设 ，将A、B点的坐标代入解析式可求a，k的值
例9. 如图3所示，是某市一条高速公路上的隧道口，在平面直角坐标系上的示意图，点A和A1，点B和B1分别关于y轴对称，隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8米，点B离地面AA1的距离为6米，隧道宽AA1为16米
图3
（1）求隧道拱抛物线BCB1的函数表达式；
（2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米，问它能否安全通过这个隧道？请说明理由。
分析：（1）由已知可得顶点C的坐标为（0，8），B点坐标为（－8，6），从而可求其函数关系式。
（2）假设汽车从正中行驶，则其最右边到y轴的距离是2，于是求出抛物线上横坐标为2的点的坐标，再看它到地面AA1的距离是否大于7米，由此可判断运货汽车能否安全通过隧道。
解：（1）如图所示，由已知得OA＝OA1＝8，OC＝8，
故C点坐标（0，8），B点坐标为（－8，6）
设隧道拱抛物线BCB1的函数表达式为 ，
则
∴隧道拱抛物线BCB1的函数关系式为
（2）设货运汽车从正中行驶，则其最右边正上方抛物线上的点的横坐标为2，设这个点为D，过D作DE⊥x轴于E
当x＝2时，
∴D点坐标为（2，7 ），∴DE
∵ ＞7
∴该运货汽车能安全通过这个隧道。
说明：要求抛物线的函数关系式，关键是确定其上的点的坐标，再选用适当的形式求其关系式。
本题第（2）小题中，还可以求出抛物线上纵坐标为7的点的坐标（有两个），再比较这两点间的水平距离是否大于4。
例10. 有这样一个问题：
已知：二次函数 的图象经过A（0，a），B（1，2）， ，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线 ，题目中的矩形框部分是一段被墨水覆盖而无法辨认的文字。
（1）根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的关系式？若能，写出求解过程，若不能，说明理由。
（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
分析：仅由A、B两点无法求其关系式，但如果把待证的结论也看成已知条件，则可求出其关系式
解：（1）能 ，过程如下
由图象经过点A（0，a），得c＝a
将图象对称轴为直线 看成已知条件，则
∵抛物线 的对称轴是直线
∴
∴
∵抛物线经过点B（1，2）
∴
∴所求二次函数的关系式为
（2）可补充条件： （或 或其他条件）
说明：二次函数 配方后可变形为 ，故其图象的对称轴是直线 ，顶点坐标是（ ）
第（2）题的答案不唯一，补充的条件只要能求出其关系式为 即可。
例11. 已知四点A（1，2），B（0，6），C（－2，20），D（－1，12），试问是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？如果存在，请求出它的关系式；如果不存在，说明理由。
分析：先求出经过A、B、C的抛物线的关系式，再验证点D是否在所求抛物线上，若在，则存在这样的二次函数；若不在，则不存在这样的二次函数。
解：设图象经过A、B、C的二次函数为
则由图象经过点B（0，6），可得c＝6
又∵图象经过点A（1，2），C（－2，20）
解得：
∴经过A、B、C三点的二次函数为
∵当
∴点D（－1，12）在函数 的图象上
1. 若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式 （a≠0）求解析式。
2. 若已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值），则应用顶点式 ，其中（h，k）为顶点坐标。
3. 若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标，则应用交点式 ，其中 为抛物线与x轴交点的横坐标
二. 重点、难点：
重点：求二次函数的函数关系式
难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。
三. 教学建议：
求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的形式，选择恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应根据题目特点，灵活选用。
典型例题
例1. 已知某二次函数的图象经过点A（－1，－6），B（2，3），C（0，－5）三点，求其函数关系式。
分析：设 ，其图象经过点C（0，－5），可得 ，再由另外两点建立关于 的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可。
解：设所求二次函数的解析式为
因为图象过点C（0，－5），∴
又因为图象经过点A（－1，－6），B（2，3），故可得到：
∴所求二次函数的解析式为
说明：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为 ，然后确定a、b、c的值即得，本题由C（0，－5）可先求出c的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简便。
例2. 已知二次函数 的图象的顶点为（1， ），且经过点
（－2，0），求该二次函数的函数关系式。
分析：由已知顶点为（1， ），故可设 ，再由点（－2，0）确定a的值即可
解： ，则
∵图象过点（－2，0），
∴
∴
即：
说明：如果题目已知二次函数图象的顶点坐标（h，k），一般设 ，再根据其他条件确定a的值。本题虽然已知条件中已设 ，但我们可以不用这种形式而另设 这种形式。因为在 这种形式中，我们必须求a、b、c的值，而在 这种形式中，在顶点已知的条件下，只需确定一个字母a的值，显然这种形式更能使我们快捷地求其函数关系式。
例3. 已知二次函数图象的对称轴是 ，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是（－1，0），求这个二次函数的解析式。
分析：依题意，可知顶点坐标为（－3，2），因此，可设解析式为顶点式
解：设这个二次函数的解析式为
∵图象经过（－1，0），
∴
∴所求这个二次函数的解析式为
即：
说明：在题设的条件中，若涉及顶点坐标，或对称轴，或函数的最大（最小值），可设顶点式为解析式。
例4. 已知二次函数 的图象如图1所示，则这个二次函数的关系式是__________________。
图1
分析：可根据题中图中的信息转化为一般式（或顶点式）（或交点式）。
方法一：由图象可知：该二次函数过（0，0），（2，0），（1，－1）三点
设解析式为
根据题意得：
∴所求二次函数的解析式为
方法二：由图象可知，该二次函数图象的顶点坐标为（1，－1）
设解析式为
∵图象过（0，0），∴ ，∴
∴所求二次函数的解析式为
即
方法三：由图象可知，该二次函数图象与x轴交于点（0，0），（2，0）
设解析式为
∵图象过（1，－1）
∴ ，∴
∴所求二次函数解析式为：
即：
说明：依题意后两种方法比较简便。
例5. 已知：抛物线在x轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式
分析：由于抛物线是轴对称图形，设抛物线与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），则有对称轴 ，利用这个对称性很方便地求二次函数的解析式
解：∵顶点坐标为（2，4）
∴对称轴是直线x＝2
∵抛物线与x轴两交点之间距离为4
∴两交点坐标为（0，0），（4，0）
设所求函数的解析式为
∵图象过（0，0）点
∴ ，∴
∴所求函数的解析式为
例6. 已知二次函数 的最大值是零，求此函数的解析式。
分析：依题意，此函数图象的开口应向下，则有 ，且顶点的纵坐标的值为零，则有： 。以上两个条件都应满足，可求m的值。
解：依题意：
由①得
由②得： （舍去）
所求函数式为
即：
例7. 已知某抛物线是由抛物线 经过平移而得到的，且该抛物线经过点A（1，1），B（2，4），求其函数关系式。
分析：设所求抛物线的函数关系式为 ，则由于它是抛物线 经过平移而得到的，故a＝2，再由已知条件列出b、c的二元一次方程组可解本题。
解：设所求抛物线的函数关系式为 ，则由已知可得a＝2，又它经过点A（1，1），B（2，4）
故： 解得：
∴所求抛物线的函数表达式为：
说明：本题的关键是由所求抛物线与抛物线 的平移关系，得到
例8. 如图2，已知点A（－4，0）和点B（6，0），第三象限内有一点P，它的横坐标为－2，并且满足条件
图2
（1）求证：△PAB是直角三角形。
（2）求过P、A、B三点的抛物线的解析式，并求顶点坐标。
分析：（1）中须证 ，由已知条件：
，应过P作PC⊥x轴
（2）中已知P、A、B三点的坐标，且根据点的位置可用三种不同的方法求出抛物线的解析式
解：（1）过P作PC⊥x轴于点C，
由已知易知AC＝2，BC＝8
∴ ，解得：PC＝4
∴P点的坐标为（－2，－4）
由勾股定理可求得：
，又
∴
故△APB是直角三角形
（2）解法1，可设过P、A、B三点的抛物线的解析式为：
，
则有
∴
∴顶点坐标（1， ）
解法2：由抛物线与x轴交于A（－4，0），B（6，0），
可设 ，又抛物线过点P（－2，－4）可求a值
解法3：由A（－4，0），B（6，0）
可知抛物线的对称轴为
可设 ，将A、B点的坐标代入解析式可求a，k的值
例9. 如图3所示，是某市一条高速公路上的隧道口，在平面直角坐标系上的示意图，点A和A1，点B和B1分别关于y轴对称，隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8米，点B离地面AA1的距离为6米，隧道宽AA1为16米
图3
（1）求隧道拱抛物线BCB1的函数表达式；
（2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米，问它能否安全通过这个隧道？请说明理由。
分析：（1）由已知可得顶点C的坐标为（0，8），B点坐标为（－8，6），从而可求其函数关系式。
（2）假设汽车从正中行驶，则其最右边到y轴的距离是2，于是求出抛物线上横坐标为2的点的坐标，再看它到地面AA1的距离是否大于7米，由此可判断运货汽车能否安全通过隧道。
解：（1）如图所示，由已知得OA＝OA1＝8，OC＝8，
故C点坐标（0，8），B点坐标为（－8，6）
设隧道拱抛物线BCB1的函数表达式为 ，
则
∴隧道拱抛物线BCB1的函数关系式为
（2）设货运汽车从正中行驶，则其最右边正上方抛物线上的点的横坐标为2，设这个点为D，过D作DE⊥x轴于E
当x＝2时，
∴D点坐标为（2，7 ），∴DE
∵ ＞7
∴该运货汽车能安全通过这个隧道。
说明：要求抛物线的函数关系式，关键是确定其上的点的坐标，再选用适当的形式求其关系式。
本题第（2）小题中，还可以求出抛物线上纵坐标为7的点的坐标（有两个），再比较这两点间的水平距离是否大于4。
例10. 有这样一个问题：
已知：二次函数 的图象经过A（0，a），B（1，2）， ，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线 ，题目中的矩形框部分是一段被墨水覆盖而无法辨认的文字。
（1）根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的关系式？若能，写出求解过程，若不能，说明理由。
（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
分析：仅由A、B两点无法求其关系式，但如果把待证的结论也看成已知条件，则可求出其关系式
解：（1）能 ，过程如下
由图象经过点A（0，a），得c＝a
将图象对称轴为直线 看成已知条件，则
∵抛物线 的对称轴是直线
∴
∴
∵抛物线经过点B（1，2）
∴
∴所求二次函数的关系式为
（2）可补充条件： （或 或其他条件）
说明：二次函数 配方后可变形为 ，故其图象的对称轴是直线 ，顶点坐标是（ ）
第（2）题的答案不唯一，补充的条件只要能求出其关系式为 即可。
例11. 已知四点A（1，2），B（0，6），C（－2，20），D（－1，12），试问是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？如果存在，请求出它的关系式；如果不存在，说明理由。
分析：先求出经过A、B、C的抛物线的关系式，再验证点D是否在所求抛物线上，若在，则存在这样的二次函数；若不在，则不存在这样的二次函数。
解：设图象经过A、B、C的二次函数为
则由图象经过点B（0，6），可得c＝6
又∵图象经过点A（1，2），C（－2，20）
解得：
∴经过A、B、C三点的二次函数为
∵当
∴点D（－1，12）在函数 的图象上
