中考数学总复习 专题基础知识回顾三 几何初步
一、单元知识网络：
二、考试目标要求：
了解直线、射线、线段的概念和性质以及表示方法，掌握三者之间的区别和联系，会解决与线段有关的实际问题；了解角的概念和表示方法，会把角进行分类以及进行角的度量和计算；掌握相交线、平行线的定义，理解所形成的各种角的特点、性质和判定；了解命题的定义、结构、表达形式和分类，会简单的证明有关命题.
具体目标：
1、图形的认识
(1) 点、线、面
①认识点、线、面(如交通图上用点表示城市，屏幕上的画面是由点组成的).
②认识直线、射线、线段及性质.
③会比较线段的大小，会计算线段的和、差、倍、分，并会进行简单计算.
④了解线段的中点.
(2) 角
①通过丰富的实例，进一步认识角.
②会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行简单换
算.
③了解角平分线及其性质
(3) 相交线与平行线
①了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等.
②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义.
③知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.
④了解线段垂直平分线及其性质.
⑤知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质.
⑥知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这
条直线的平行线.
⑦体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离.
2、尺规作图
①完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直
平分线.
②了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明).
3、命题与证明
①理解证明的定义和必要性.
②通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论.
③结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立.
④掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据.
三、知识考点梳理
知识点一、直线的概念和性质
1．直线的定义：
代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线，直线可以向两方无限延伸.(直线的概念是一个描述性的定义，便于理解直线的意义)
2．直线的两种表示方法：
(1)用表示直线上的任意两点的大写字母来表示这条直线，如直线AB，其中A、B是表示直线上两点的字
母；
(2)用一个小写字母表示直线，如直线a.
3．直线和点的两种位置关系
(1)点在直线上(或说直线经过某点)；
(2)点在直线外(或说直线不经过某点).
4．直线的性质：
过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线).
5．同一平面内两条不同直线的位置关系：
(1)两条直线无公共点，即平行；
(2)两条直线有一个公共点，即两条直线相交，这个公共点叫做两条直线的交点(两条直线相交，只有一
个交点).
知识点二、射线、线段的定义和性质
1．射线的定义：
直线上一点和它一旁的部分叫做射线.射线只向一方无限延伸.
2．射线的表示方法：
(1)用表示射线的端点和射线上任意一点的大写字母来表示这条射线，如射线OA，其中O是端点，A是射
线上一点；
(2)用一个小写字母表示射线，如射线a.
3．线段的定义：
直线上两点和它们之间的部分叫做线段，两个点叫做线段的端点.
4．线段的表示方法：
(1)用表示两个端点的大写字母表示，如线段AB，A、B是表示端点的字母；
(2)用一个小写字母表示，如线段a.
5．线段的性质：
所有连接两点的线中，线段最短(即两点之间，线段最短).
6．线段的中点：
线段上一点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.
7．两点的距离：
连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.
知识点三、角
1．角的概念：
(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线分别叫
做角的边.
(2)定义二：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.射线旋转时经过的平面
部分是角的内部，射线的端点是角的顶点，射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边.
2．角的表示方法：
(1)用三个大写字母来表示，注意将顶点字母写在中间，如∠AOB；
(2)用一个大写字母来表示，注意顶点处只有一个角用此法，如∠A；
(3)用一个数字或希腊字母来表示，如∠1，∠ .
3．角的分类：
(1)按大小分类：
锐角----小于直角的角(0°＜ ＜90°)
直角----平角的一半或90°的角( =90°)
钝角----大于直角而小于平角的角(90°＜ ＜180°)
(2)平角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置与起始位置成一条直线时，所成的角叫做平角，平角等
于180°.
(3)周角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置又回到起始位置时，所成的角叫做周角，周角等于
360°.
(4)互为余角：如果两个角的和是一个直角(90°)，那么这两个角叫做互为余角.
(5)互为补角：如果两个角的和是一个平角(180°)，那么这两个角叫做互为补角.
4．角的度量：
(1)度量单位：度、分、秒；
(2)角度单位间的换算：1°=60′，1′=60″(即：1度=60分，1分=60秒)；
(3)1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°.
5．角的性质：
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.
6．角的平分线：
如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.
知识点四、相交线
1．对顶角
(1)定义：如果两个角有一个公共顶点， 而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两
个角叫对顶角.
(2)性质：对顶角相等.
2．邻补角
(1)定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.
(2)性质：邻补角互补.
3．垂线
(1)两条直线互相垂直的定义：当两条直线相交所得的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线
是互相垂直的，它们的交点叫做垂足.垂直用符号“⊥”来表示
(2)垂线的定义:互相垂直的两条直线中，其中的一条叫做另一条的垂线，如直线a垂直于直线b，垂足
为O，则记为a⊥b，垂足为O.其中a是b的垂线，b也是a的垂线.
(3)垂线的性质：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.
(4)点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
4．同位角、内错角、同旁内角
(1)基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个
角，简称三线八角，如右图所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、
∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是内错角；∠1和∠5、
∠2和∠6是同旁内角.
(2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个
角.两个角的一条边在同一直线(截线)上，另一条边分别在两条直线
(被截线)上.
知识点五、平行线
1．平行线定义：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”来表示，.如直线a与b平行，记作a∥b.在几何证明中，“∥”的左、右两边也可能是射线或线段.
2．平行公理及推论：
(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
(2)平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即：
如果b∥a，c∥a，那么b∥c.
3．性质：
(1)平行线永远不相交；
(2)两直线平行，同位角相等；
(3)两直线平行，内错角相等；
(4)两直线平行，同旁内角互补；
(5)如果两条平行线中的一条垂直于某直线，那么另一条也垂直于这条直线，可用符号表示为：
若b∥c，b⊥a，则c⊥a.
4．判定方法：
(1)定义
(2)平行公理的的推论
(3)同位角相等，两直线平行；
(4)内错角相等，两直线平行；
(5)同旁内角互补，两直线平行；
(6)垂直于同一条直线的两条直线平行.
知识点六、命题、定理、证明
1．命题：
(1)定义：判断一件事情的语句叫命题.
(2)命题的结构：题设+结论=命题
(3)命题的表达形式：如果……那么……；若……则……；
(4)命题的分类：真命题和假命题
(5)逆命题：原命题的题设是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的题设.
2．公理、定理：
(1)公理：人们在长期实践中总结出来的能作为判断其他命题真假依据的真命题叫做公理.
(2)定理：经过推理证实的真命题叫做定理.
3．证明：
用推理的方法证实命题正确性的过程叫做证明.
四、规律方法指导
1．数形结合思想
利用线段的长度、角的角度、对顶角、三线八角等基本几何图形，会求线段的长，以及角的度数，利用图形的直观性解决数的抽象性，能在一定条件下形数互化，由数构形，以形破数.
2．分类讨论思想
直线的交点个数及位置关系，角的大小等需要有分类讨论的思想，包含多种可能的情况时，应根据可能出现的所有情况来分别讨论得出各种情况下相应的结论，不重不漏.
3．化归与转化思想
在解决利用几何图形求线段长度和角的度数的问题时，常常是将需要解决的问题，通过做辅助线、求和差等转化手段，归结为另一个相对较容易解决的或者已经有解决模式的问题，化繁为简、化难为易，由复杂与简单的转化.
4．注意观察、分析、总结
结合近几年中考试卷，几何基本图形中的角的计算、与线段和平行有关的实际问题是当前命题的热点，常以填空和选择形式出现，以考查基础为主；尺规作图通常结合计算和证明出现，要注意弄清概念，认真观察，总结规律，并做到灵活应用.
经典例题精析
考点一、直线、射线、线段的概念和性质
1．（1）（2010江苏宿迁）直线上有2010个点,我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点,经过3次这样的操作后,直线上共有__________个点.
答案：16073
（2）下列语句正确的是( )
A. 延长直线AB B. 延长射线OA
C. 延长线段AB 到C，使AC=BC D. 延长线段AB 到C，使AC=3AB
考点：直线、射线、线段的性质.
解析：选项A中直线是向两方无限延伸的，不能延长，所以A错；选项B中射线是向一方无限延伸的，而延长射线OA就是指由O向A延长，射线只能反向延长，所以B错；选项C中AC只能大于BC，线段延长应有方向，而且要符合实际意义，所以C错.所以选D.
举一反三
【变式1】下列语句正确的是( )
A．如果PA=PB，那么P是线段AB的中点 B．线段有一个端点
C．直线AB大于射线AB D．反向延长射线OP(O为端点)
考点：直线、射线、线段的性质.
解析：在只用几何语言表达而没有图形的情况下，要注意图形的不同情形，象A中往往容易考虑不到P、A、B三点可能不在同一直线上，要注意线段的中点首先应为线段上一点，而误选A；线段有两个端点，所以B错；直线可以向两方无限延伸，射线可以向一方无限延伸，所以直线与射线都无法度量长度，不能比较大小，所以C错.答案选D.
2．(1)数轴上有两点A、B分别表示实数a、b，则线段AB的长度是( )
A.a-b B.a+b C.│a-b│ D.│a+b│
(2)已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为( )
A.3：4 B.2：3 C.3：5 D.1：2
考点：数轴上两点间的距离和线段的加减.
思路点拨：本类题目注意线段长度是非负数，若有字母注意使用绝对值.根据题意，画图.
解：(1)中数轴上两点间的距离公式为：│a-b│或│b-a│.
(2)如图，因为CA=3AB，所以CB=4AB，则线段CA与线段CB之比为3AB:4AB=3:4.
答案：(1)C；(2)A
总结升华：解决本例类型的题目应结合图形，即数形结合，这样做起来简捷.
举一反三
【变式1】如图，点A、B、C在直线 上，则图中共有______条线段.
答案：3
【变式2】有一段火车路线，含这段铁路的首尾两站在内共有5个车站(如图)，图中共有几条线段？在这段线路上往返行车，需印制几种车票(每种车票要印出上车站与下车站)？
解：线段有10条；车票需要2×10=20种.
总结升华：在直线上确定线段的条数公式为: (其中n为直线上点的个数).在求从一个顶点引出的n条射线所形成的小于平角的角的个数也可用此公式.
【变式3】已知线段AB=8cm，延长AB至C，使AC=2AB，D是AB中点，则线段CD=______.
思路点拨：解决本例类型的题目应结合图形，即数形结合，本题考查延长线段的方向和线段的中点的概念.
解：如图，∵AB=8cm AC=2AB ∴AC=2×8=16cm
∵D是AB中点 ∴AD=8× =4cm ∴CD=AC-AD=16-4=12cm
考点二、角
3．下列说法正确的是( )
A．角的两边可以度量.
B．角是由有公共端点的两条射线构成的图形.
C．平角的两边可以看成直线.
D．一条直线可以看成是一个平角.
考点：角的定义
解析：角的两边是射线，不能度量，所以A错；平角的两边也是射线，不能是直线，所以C错；了解直线和平角两者之间的区别，角有顶点，所以D错.故选B.
4．已知OC平分∠AOB，则下列各式:(1)∠AOC= ∠AOB；(2)∠AOC=∠COB；(3)∠AOB=2∠AOC，其中正确的是( )
A.只有(1) B.只有(1)(2) C.只有(2)(3) D.(1)(2)(3)
思路点拨：角平分线定义的的三种表达形式.
答案：D
5．（1）（2010山东德州）如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（ ）
（A）30° （B）40°
（C）60° （D）70°
考点：平行线的性质、三角形外角定理.
答案：A
（2）已知∠ 与∠ 互余，且∠ =40°，则∠ 的补角为_______度.
考点：角互余和互补定义.
思路点拨：本题考查互余、互补两角的定义，互余、互补只与两角度数和有关，与角的位置无关.
解：∵∠ 与∠ 互余，∴∠ +∠ =90°；∵∠ =40°，
∴∠ =90°-∠ =90°-40°=50°.
∴∠ 的补角=180°-50°=130°.
举一反三
【变式1】如图，已知∠COE=∠BOD=∠AOC=90°，则图中互余的角有_______对，互补的角有_______对.
考点：互为余角和互为补角的定义.
思路点拨：在本题目中，当图中角比较多时，就将图形的角进行归类，找出每种相等的角，按照同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等的性质解决问题，注意要不重不漏.
解：互余的角有：∠COD和∠DOE、∠COD和∠BOC、∠AOB和∠DOE、∠AOB和∠BOC，共4对；
互补的角有：∠EOD和∠AOD、∠BOC和∠AOD、∠AOB和∠BOE、
∠COD和∠BOE、∠AOC和∠COE、∠AOC和∠BOD、∠COE和∠BOD，共7对.
【变式2】已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角.求证：∠ACD=∠B.
证明：∵AC⊥BC(已知)
∴∠ACB=90°( )
∴∠BCD是∠DCA的余角( )
∵∠BCD是∠B的余角(已知)
∴∠ACD=∠B( )
思路点拨：会根据所给的语句写出正确的根据.会用所学的定理、公理、推论等真命题概括几何语言.
答案：垂直定义；余角定义，同角的余角相等.
6．(1)已知∠1=43°27′，则∠1的余角是_______，补角是________；
(2)18.32°=18°( )′( )″，216°42′=_______°.
考点：掌握角的单位之间的换算关系. 1°=60′，1′=60″.
解：(1) ∠1的余角=90°-43°27′=89°60′-43°27′=46°33′；
∠1的补角=180°-43°27′=179°60′-43°27′=136°33′；
(2) 0.32°=0.32×60′=19.2′ 0.2′=0.2×60″=12″ 所以18.32°=18°19′12″；
42′=0.7° 所以216°42′=216.7°.
举一反三
【变式1】计算.
① ②
③ ④
考点：会计算角之间的和、差、倍、分，注意相邻单位之间是60进制的，相同单位互相加减.
解：① =68°70′=69°10′
② =62°×3+25′×3=186°+75′=187°15′
③ =67°80′-37°33′=30°47′
④ =69°60′÷3=23°20′
7．（1）（2010内蒙呼和浩特）8点30分时，钟表的时针与分针的夹角为__________°．
答案：75
（2）时钟在1点30分时，时针与分针的夹角为_______度.
解析：时钟上时针和分针是实际生活中常见的角，分针1小时旋转360度，1分钟旋转6度；时针1小时旋转30度，1分钟旋转0.5度.在相同时间下，分针旋转的角度是时针的12倍.钟表上1和6的夹角为150°，过了半小时，时针转了15°，所以1点30分时，时针与分针的夹角为150°-15°=135°.
举一反三
【变式1】某火车站的时钟楼上装有一个电子报时钟，在钟面的边界上，每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯，晚上9时35分20秒时，时针与分针所夹的角内装有多少只小彩灯？
解析：9时35分20秒时，时针与分针的夹角间的小格数为 个小格，中间有12个分钟刻度处，而每一个分钟刻度处有一只小彩灯，所以它们之间有12个小彩灯.
8．表示O点南偏东15°方向和北偏东25°方向的两条射线组成的角等于______度.
考点：方位角.
解析：如图，南北方向上的线与OA、OB的夹角分别为25°和15°，
所以∠AOB=180°-25°-15°=140°.
举一反三
【变式1】如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°，甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西________度.
考点：方位角在实际中的应用
思路点拨：结合图形，在求方位角时，掌握甲和乙之间方向相反的规律，甲观察乙是北偏东48°，乙观察甲就是南偏西48°.
答案：48°.
9．如图，OA⊥OB，∠BOC=40°，OD平分∠AOC，则∠BOD=_________°.
思路点拨：通过观察图形，找出各角之间的联系，关键是看清角所在的位置，结合图形进行计算.
解：∵OA⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∵∠BOC=40°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+40°=130°，
∵OD平分∠AOC， ∴∠COD= ∠AOC= ×130°=65°，
∴∠BOD=∠COD-∠BOC=65°-40°=25°.
举一反三
【变式1】用一副三角板画角，不能画出的角的度数是( )
A.15° B.75° C.145° D.165°
思路点拨：了解一副三角板中各角的度数，总结规律：用一副三角板画角，能画出的角都是15°的整数倍.
答案：C
【变式2】以∠AOB的顶点O为端点作射线OC，使∠AOC:∠BOC=5:4.(1)若∠AOB=18°，求∠AOC与∠BOC的度数；(2)若∠AOB=m°，求∠AOC与∠BOC的度数.
思路点拨：当题目中包含多种可能的情况时，应根据可能出现的所有情况进行分类，要做到无遗漏、无重复.
答案：(1)第一种情形:OC在∠AOB的外部，
可设∠AOC=5x，∠BOC=4x，
则∠AOB=∠AOC-∠BOC=x，即x=18°.
∴∠AOC=90°，∠BOC=72°.
第二种情形:OC在∠AOB的内部，
可设∠AOC=5x，∠BOC=4x，
则∠AOB=∠AOC+∠BOC=9x，
∴9x=18°，即x=2°.
∴∠AOC=10°，∠BOC=8°.
(2)∠AOC=5m°，∠BOC=4m°.或∠AOC= m°，∠BOC= m°.
知识点三、尺规作图
10．只用无刻度直尺就能作出的是( )
A.延长线段AB至C，使BC=AB； B.过直线 上一点A作 的垂线
C.作已知角的平分线； D.从点O再经过点P作射线OP
解析：A中直尺应有刻度或利用尺规作图，B、C是尺规作图，但还需要圆规.应选D.
11．已知线段MN，画一条线段AC=MN 的步骤是: 第一步:____________，第二步:_____________，AC就是所要画的线段.
考点：这是尺规作图作一条线段等于已知线段的步骤，必须掌握.
答案: 第一步:作射线AP；第二步:在射线AP上，以A为圆心，以MN为长为半径截取AC=MN.
举一反三：
【变式1】如图所示，请把线段AB四等分，简述步骤.
考点：作线段AB的垂直平分线的方法.
作法：步骤:(1)作AB的垂直平分线MN，交AB于O1；(2)作O1A的垂直平分线EF交AB于O2；(3)作O1B的垂直平分线GH交AB于O3，则O1、O2、O3即为线段AB的四等分点.
12．如图所示，在图中作出点C，使得C是∠MON平分线上的点，且AC=OA， 并简述步骤.
思路点拨：用尺规作图作已知角的平分线，再用圆规截取AC=OA.
作法: 作法如下:
(1)作∠MON的平分线OB；
(2)以A点为圆心，以OA为半径画弧交OB于C，连结AC，则C点即为所求.
总结升华：用尺规作图中直尺只起到画线(直线、射线、线段)的作用.而不能用来量取.
举一反三：
【变式1】如图所示，已知∠AOB和两点M、N，画一点P，使得点P到∠AOB的两边距离相等，且PM=PN，简述步骤.
考点：角平分线定理和垂直平分线定理.
作法:
(1)作∠AOB的平分线OC；
(2)连结MN，并作MN的垂直平分线EF，交OC于P，连结PM、PN，则P点即为所求.
知识点四、相交线、平行线
13．（1）（2010湖北襄樊）如图1，已知直线AB//CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
图1．
答案：C
（2）如图，AD∥BC，AC与BD相交于O，则图中相等的角有_________对.
思路点拨：两直线平行，内错角相等；两直线相交，所得的对顶角相等.
解析：∵AD∥BC ∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
不要忽略对顶角相等：∠AOB=∠COD，∠AOD=∠BOC，故应填4对.
14．（1）如图所示，下列条件中，不能判断 的是( )
A.∠1=∠3 B.∠2=∠3 C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180°
考点：平行线的判定.
解析：根据平行线的判定，A中∠1和∠3是内错角；C中∠4和∠5是同位角；D中∠2和∠4是同旁内角.不难得到：∠2=∠3不能判断 .应选B.
（2）（2010福建宁德）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°，那么∠2是_______°．
考点：平行线的性质.
答案：55
举一反三：
【变式1】(1)如图，若AB∥CD，则∠A、∠E、∠D之间的关系是( ).
A.∠A+∠E+∠D=180° B.∠A-∠E+∠D=180°
C.∠A+∠E-∠D=180° D.∠A+∠E+∠D=270°
(2)如图所示， ∥ ，∠1=120°，∠2=100°，则∠3=( ).
A.20° B.40° C.50° D.60°
考点：平行线的性质
思路点拨：通过观察图形，可作出一条辅助线，从而把问题化难为易.
(1) (2)
解析：(1)如(1)图，过E作EF∥AB，则也平行于CD，∴∠A+∠AEF=180° ∠FED=∠D
∴∠A+∠AEF=∠A+∠AED-∠D=180°，故选C.
(2)如(2)图，过O作 ，则OB也平行于 ，∴∠1+∠BOC=180°，∠3=∠AOB，
∴∠BOC=180°-∠1=180°-120°=60°，∴∠3=∠AOB=∠2-∠BOC=100°-60°=40°.
15．（1）两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线( )
A.互相重合 B.互相平行 C.互相垂直 D.相交
考点：平行线的性质和判定.
思路点拨：利用平行线的性质和判定，结合角平分线的定义解决问题.如图，a∥b，所以同位角相等；所以同位角的一半也相等，即∠1=∠2，所以同位角的平分线互相平行.
答案：选B.
（2）(2010重庆市)如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥BC，若∠C＝50°，∠BDE＝60°，则∠CDB的度数等于（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
思路点拨：由DE∥BC，得∠CDE＝∠C＝50°，所以∠CDB=∠CDE+∠BDE=110°
答案：C
举一反三：
【变式1】如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数.
思路点拨：由平行线的性质和角平分线定义求出结果.
解：∵DE∥BC，∠AED=80°
∴∠ACB=∠AED=80° ∠EDC=∠DCB
∵CD平分∠ACB
∴∠DCB= ∠ACB =40°
∴∠EDC=∠DCB.
【变式2】如图，已知AB∥CD ，∠DAB=∠DCB，AE平分∠DAB，且交BC于E，CF平分∠DCB，且交AD于F.求证: AE∥FC.
思路点拨：这类问题可由题设出发找结论，也可由结论出发找题设.
证明：∵AB∥CD ∴∠ABC+∠BCD=180°
∵∠DAB=∠BCD ∴∠ABC+∠DAB=180°
∴AD∥BC ∴∠DAE=∠BEA
∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB
∴∠DAE= ∠DAB，∠FCB= ∠BCD
∴∠DAE=∠FCB ∴∠BEA =∠FCB
∴AE∥FC.
【变式3】已知：如图，CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，并且∠1+∠2=90°，
求证：DA⊥AB.
思路点拨：这考查学生整体考虑问题的能力，可以从已知推出结论，也可以从结论入手，找出和已知相对应的条件.
证明：∵CE平分∠BCD，DE平分∠CDA
∴∠1= ∠ADC，∠2= ∠BCD
∵∠1+∠2=90°
∴∠ADC+∠BCD=180° ∴AD∥BC ∴∠A+∠B=180°
∵CB⊥AB ∴∠B=90° ∴∠A=180°-∠B=180°-90°=90° ∴DA⊥AB.
【变式4】求证：两条平行直线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行.
思路点拨:考查学生解决这种证明题要先根据题意画出图形，再改写成已知、求证的几何语言形式的命题.
已知：如图，AB∥CD，EG、FR分别是∠BEF、∠EFC的平分线.
求证：EG∥FR.
证明：∵AB∥CD(已知)
∴∠BEF=∠EFC(两直线平行，内错角相等)
∵EG、FR分别是∠BEF、∠EFC的平分线(已知)
∴2∠1=∠BEF，2∠2=∠EFC(角平分线定义)
∴2∠1=2∠2(等量代换)
∴∠1=∠2(等式性质)
∴EG∥FR(内错角相等，两直线平行)
知识点五、命题、定理
16．（1）（2010浙江温州）下列命题中，属于假命题的是( )
A．三角形三个内角的和等于l80° B．两直线平行，同位角相等
C．矩形的对角线相等 D．相等的角是对顶角．
答案：D
（2）判断下列语句是不是命题
①延长线段AB( )
②两条直线相交，只有一交点( )
③画线段AB的中点( )
④若x=2，则x=2( )
⑤角平分线是一条射线( )
思路点拨：本题考查学生理解命题的概念，判断语句是否是命题有两个关键，首先观察是不是一个完整的句子，再观察是否作出判断.
解析：①两个语句都没有作出判断.
答案：①不是 ②是 ③不是 ④是 ⑤是.
举一反三：
【变式1】下列语句不是命题的是( )
A.两点之间，线段最短 B.不平行的两条直线有一个交点
C.x与y的和等于0吗？ D.对顶角不相等.
解析:理解命题概念，C答案虽然是句子，但没有作出判断，D答案是假命题但也是命题.故选C.
17．下列命题中真命题是( )
A.两个锐角之和为钝角 B.两个锐角之和为锐角
C.钝角大于它的补角 D.锐角小于它的余角
思路点拨：命题分为真命题、假命题.正确的命题是真命题，错误的命题是假命题.
解析：A、B中两个锐角之和可能是锐角、直角和钝角；D中的锐角不一定小于它的余角，如50° 的余角是40°.应选C
举一反三：
【变式1】命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等.其中假命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：③中，应掌握相等的角不一定是对顶角，但对顶角一定相等；④中只有两平行直线被第三条直线所截，同位角才能相等.故③④是假命题.应选B.
18．分别写出下列各命题的题设和结论.
(1)如果a∥b，b∥c，那么a∥c；
(2)同旁内角互补，两直线平行.
思路点拨：命题分为题设和结论两部分，可以写成“如果……，那么……”的形式.
答案：(1)题设：a∥b，b∥c，结论：a∥c；
(2)题设：两条直线被第三条直线所截得的同旁内角互补，
结论：这两条直线平行.
举一反三：
【变式1】分别把下列命题写成“如果……，那么……”的形式.
(1)两点确定一条直线； (2)等角的补角相等； (3)内错角相等.
答案：(1)如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线
(2)如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等.
(3)如果两个角是内错角，那么这两个角相等.
中考题萃
一、考试目标：
了解直线、射线、线段的概念和性质以及表示方法，掌握三者之间的区别和联系，会解决与线段有关的实际问题；了解角的概念和表示方法，会把角进行分类以及角的度量和计算；掌握相交线、平行线的定义，理解所形成的各种角的特点、性质和判定；了解命题的定义、结构、表达形式和分类，会简单的证明有关命题.
二、中考真题：
1.（2010山东威海）如图，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
2．(巴中市)如图，“?”是电视机常用尺寸，1?约为大拇指第一节的长，则7?长相当于( )
A.一支粉笔的长度 B.课桌的长度
C.黑板的宽度 D.数学课本的长度
3．(青海省西宁市)(3分)如果 和 互补，且 ，则下列表示 的余角的式子中：
① ；② ；③ ；④ .正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4．(湖南省湘西自治州)(3分)如图，直线AB、CD相交于O点，若 ，则∠2、∠3的度数分别为( )
A.120°、60° B.130°、50°
C.140°、40° D.150°、30°
5．（2010四川内江）将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠AFC的度数为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
6．(四川乐山市)(3分)如图，直线 相交于点O，OM⊥ ，若 ，则 等于( )
A.56° B.46° C.45° D.44°
7．(海南省)(2分)如图，AB、CD相交于点O，∠1=80°，如果DE∥AB，那么∠D的度数为( )
A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°
8．(湖北省荆州市)(3分) 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：(1)∠1=∠2；
(2)∠3=∠4；(3)∠2+∠4=90°；(4)∠4+∠5=180°，其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9．(四川宜宾市)(3分)如图，AB∥CD，直线PQ分别交AB、CD于点F、E，EG是∠FED的平分线，交AB于点
G. 若∠QED=40°，那么∠EGB等于( )
A. 80° B. 100° C. 110° D．120°
10．(绵阳市)(3分)已知，如图，∠1=∠2=∠3=55°，则∠4的度数等于( )
A.115° B.120° C.125° D.135°
11．(新疆自治区)(5分)如图，下列推理不正确的是( )
A.∵AB∥CD ∴∠ABC+∠C=180° B.∵∠1=∠2 ∴AD∥BC
C.∵AD∥BC ∴∠3=∠4 D.∵∠A+∠ADC=180° ∴AB∥CD
12．（2010 山东荷泽）如图，直线PQ∥MN，C是MN上一点，CE交PQ于A，CF交PQ于B，且∠ECF＝90°，
如果∠FBQ＝50°，则∠ECM的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
13. （2010江西）一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD＝
_____________度．
14．(湖南省株洲市)(3分)已知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为线段AB、BC的中点，且
AB=60，BC=40，则MN的长为___________.
15．(内蒙古)(3分)已知： ，则 的补角是_________度.
16．(湖南省)(3分)如图， 与 相交于点 ， ， ，则 _____度.
17．(广州)(3分)如图，∠1=70°，若m∥n，则∠2=________.
18．(宁夏回族自治区)(3分)如图，AB∥CD， AC⊥BC，∠BAC =65°，则∠BCD=________度.
19．(浙江义乌)(5分)如图，若 ， 与 分别相交于点 ， 与 的平
分线相交于点 ，且 ， ________度.
20．(湛江市)(4分)如图，请写出能判定CE∥AB的一个条件_________.
21．(四川省资阳市)如图，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线段刻度是整点时时针(短针)所指的位
置.根据图中时针与分针(长针)所指的位置，该钟面所显示的时刻是______时_______分.
22．(湖北省襄樊市)(3分)如图，在锐角 内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可
得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；……照此规律，画10条不同射线，可得锐角_____个.
23．(杭州市)如图， 已知 ， 用直尺和圆规求作一个 ， 使得 .
(只须作出正确图形， 保留作图痕迹， 不必写出作法)
24. （2010广东茂名）如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1=70o，则∠2的度数是（ ）
A．80o B．110o C．120o D．140o
答案解析：
1.C 2.D 3.B 4.D 5.D 6.B 7.C 8.D 9. C 10.C 11.C 12.C
13.270° 14．10或50 15．120 16．36° 17．70° 18．25 19．60
20．∠CDE=∠A、∠BCE=∠B、∠ACE+∠A=180°(不唯一) 21．9，12 22．66
23．作图如下， 即为所求作的 .
一、单元知识网络：
二、考试目标要求：
了解直线、射线、线段的概念和性质以及表示方法，掌握三者之间的区别和联系，会解决与线段有关的实际问题；了解角的概念和表示方法，会把角进行分类以及进行角的度量和计算；掌握相交线、平行线的定义，理解所形成的各种角的特点、性质和判定；了解命题的定义、结构、表达形式和分类，会简单的证明有关命题.
具体目标：
1、图形的认识
(1) 点、线、面
①认识点、线、面(如交通图上用点表示城市，屏幕上的画面是由点组成的).
②认识直线、射线、线段及性质.
③会比较线段的大小，会计算线段的和、差、倍、分，并会进行简单计算.
④了解线段的中点.
(2) 角
①通过丰富的实例，进一步认识角.
②会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行简单换
算.
③了解角平分线及其性质
(3) 相交线与平行线
①了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等.
②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义.
③知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.
④了解线段垂直平分线及其性质.
⑤知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质.
⑥知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这
条直线的平行线.
⑦体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离.
2、尺规作图
①完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直
平分线.
②了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明).
3、命题与证明
①理解证明的定义和必要性.
②通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论.
③结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立.
④掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据.
三、知识考点梳理
知识点一、直线的概念和性质
1．直线的定义：
代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线，直线可以向两方无限延伸.(直线的概念是一个描述性的定义，便于理解直线的意义)
2．直线的两种表示方法：
(1)用表示直线上的任意两点的大写字母来表示这条直线，如直线AB，其中A、B是表示直线上两点的字
母；
(2)用一个小写字母表示直线，如直线a.
3．直线和点的两种位置关系
(1)点在直线上(或说直线经过某点)；
(2)点在直线外(或说直线不经过某点).
4．直线的性质：
过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线).
5．同一平面内两条不同直线的位置关系：
(1)两条直线无公共点，即平行；
(2)两条直线有一个公共点，即两条直线相交，这个公共点叫做两条直线的交点(两条直线相交，只有一
个交点).
知识点二、射线、线段的定义和性质
1．射线的定义：
直线上一点和它一旁的部分叫做射线.射线只向一方无限延伸.
2．射线的表示方法：
(1)用表示射线的端点和射线上任意一点的大写字母来表示这条射线，如射线OA，其中O是端点，A是射
线上一点；
(2)用一个小写字母表示射线，如射线a.
3．线段的定义：
直线上两点和它们之间的部分叫做线段，两个点叫做线段的端点.
4．线段的表示方法：
(1)用表示两个端点的大写字母表示，如线段AB，A、B是表示端点的字母；
(2)用一个小写字母表示，如线段a.
5．线段的性质：
所有连接两点的线中，线段最短(即两点之间，线段最短).
6．线段的中点：
线段上一点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.
7．两点的距离：
连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.
知识点三、角
1．角的概念：
(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线分别叫
做角的边.
(2)定义二：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.射线旋转时经过的平面
部分是角的内部，射线的端点是角的顶点，射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边.
2．角的表示方法：
(1)用三个大写字母来表示，注意将顶点字母写在中间，如∠AOB；
(2)用一个大写字母来表示，注意顶点处只有一个角用此法，如∠A；
(3)用一个数字或希腊字母来表示，如∠1，∠ .
3．角的分类：
(1)按大小分类：
锐角----小于直角的角(0°＜ ＜90°)
直角----平角的一半或90°的角( =90°)
钝角----大于直角而小于平角的角(90°＜ ＜180°)
(2)平角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置与起始位置成一条直线时，所成的角叫做平角，平角等
于180°.
(3)周角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置又回到起始位置时，所成的角叫做周角，周角等于
360°.
(4)互为余角：如果两个角的和是一个直角(90°)，那么这两个角叫做互为余角.
(5)互为补角：如果两个角的和是一个平角(180°)，那么这两个角叫做互为补角.
4．角的度量：
(1)度量单位：度、分、秒；
(2)角度单位间的换算：1°=60′，1′=60″(即：1度=60分，1分=60秒)；
(3)1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°.
5．角的性质：
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.
6．角的平分线：
如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.
知识点四、相交线
1．对顶角
(1)定义：如果两个角有一个公共顶点， 而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两
个角叫对顶角.
(2)性质：对顶角相等.
2．邻补角
(1)定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.
(2)性质：邻补角互补.
3．垂线
(1)两条直线互相垂直的定义：当两条直线相交所得的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线
是互相垂直的，它们的交点叫做垂足.垂直用符号“⊥”来表示
(2)垂线的定义:互相垂直的两条直线中，其中的一条叫做另一条的垂线，如直线a垂直于直线b，垂足
为O，则记为a⊥b，垂足为O.其中a是b的垂线，b也是a的垂线.
(3)垂线的性质：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.
(4)点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
4．同位角、内错角、同旁内角
(1)基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个
角，简称三线八角，如右图所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、
∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是内错角；∠1和∠5、
∠2和∠6是同旁内角.
(2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个
角.两个角的一条边在同一直线(截线)上，另一条边分别在两条直线
(被截线)上.
知识点五、平行线
1．平行线定义：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”来表示，.如直线a与b平行，记作a∥b.在几何证明中，“∥”的左、右两边也可能是射线或线段.
2．平行公理及推论：
(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
(2)平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即：
如果b∥a，c∥a，那么b∥c.
3．性质：
(1)平行线永远不相交；
(2)两直线平行，同位角相等；
(3)两直线平行，内错角相等；
(4)两直线平行，同旁内角互补；
(5)如果两条平行线中的一条垂直于某直线，那么另一条也垂直于这条直线，可用符号表示为：
若b∥c，b⊥a，则c⊥a.
4．判定方法：
(1)定义
(2)平行公理的的推论
(3)同位角相等，两直线平行；
(4)内错角相等，两直线平行；
(5)同旁内角互补，两直线平行；
(6)垂直于同一条直线的两条直线平行.
知识点六、命题、定理、证明
1．命题：
(1)定义：判断一件事情的语句叫命题.
(2)命题的结构：题设+结论=命题
(3)命题的表达形式：如果……那么……；若……则……；
(4)命题的分类：真命题和假命题
(5)逆命题：原命题的题设是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的题设.
2．公理、定理：
(1)公理：人们在长期实践中总结出来的能作为判断其他命题真假依据的真命题叫做公理.
(2)定理：经过推理证实的真命题叫做定理.
3．证明：
用推理的方法证实命题正确性的过程叫做证明.
四、规律方法指导
1．数形结合思想
利用线段的长度、角的角度、对顶角、三线八角等基本几何图形，会求线段的长，以及角的度数，利用图形的直观性解决数的抽象性，能在一定条件下形数互化，由数构形，以形破数.
2．分类讨论思想
直线的交点个数及位置关系，角的大小等需要有分类讨论的思想，包含多种可能的情况时，应根据可能出现的所有情况来分别讨论得出各种情况下相应的结论，不重不漏.
3．化归与转化思想
在解决利用几何图形求线段长度和角的度数的问题时，常常是将需要解决的问题，通过做辅助线、求和差等转化手段，归结为另一个相对较容易解决的或者已经有解决模式的问题，化繁为简、化难为易，由复杂与简单的转化.
4．注意观察、分析、总结
结合近几年中考试卷，几何基本图形中的角的计算、与线段和平行有关的实际问题是当前命题的热点，常以填空和选择形式出现，以考查基础为主；尺规作图通常结合计算和证明出现，要注意弄清概念，认真观察，总结规律，并做到灵活应用.
经典例题精析
考点一、直线、射线、线段的概念和性质
1．（1）（2010江苏宿迁）直线上有2010个点,我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点,经过3次这样的操作后,直线上共有__________个点.
答案：16073
（2）下列语句正确的是( )
A. 延长直线AB B. 延长射线OA
C. 延长线段AB 到C，使AC=BC D. 延长线段AB 到C，使AC=3AB
考点：直线、射线、线段的性质.
解析：选项A中直线是向两方无限延伸的，不能延长，所以A错；选项B中射线是向一方无限延伸的，而延长射线OA就是指由O向A延长，射线只能反向延长，所以B错；选项C中AC只能大于BC，线段延长应有方向，而且要符合实际意义，所以C错.所以选D.
举一反三
【变式1】下列语句正确的是( )
A．如果PA=PB，那么P是线段AB的中点 B．线段有一个端点
C．直线AB大于射线AB D．反向延长射线OP(O为端点)
考点：直线、射线、线段的性质.
解析：在只用几何语言表达而没有图形的情况下，要注意图形的不同情形，象A中往往容易考虑不到P、A、B三点可能不在同一直线上，要注意线段的中点首先应为线段上一点，而误选A；线段有两个端点，所以B错；直线可以向两方无限延伸，射线可以向一方无限延伸，所以直线与射线都无法度量长度，不能比较大小，所以C错.答案选D.
2．(1)数轴上有两点A、B分别表示实数a、b，则线段AB的长度是( )
A.a-b B.a+b C.│a-b│ D.│a+b│
(2)已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为( )
A.3：4 B.2：3 C.3：5 D.1：2
考点：数轴上两点间的距离和线段的加减.
思路点拨：本类题目注意线段长度是非负数，若有字母注意使用绝对值.根据题意，画图.
解：(1)中数轴上两点间的距离公式为：│a-b│或│b-a│.
(2)如图，因为CA=3AB，所以CB=4AB，则线段CA与线段CB之比为3AB:4AB=3:4.
答案：(1)C；(2)A
总结升华：解决本例类型的题目应结合图形，即数形结合，这样做起来简捷.
举一反三
【变式1】如图，点A、B、C在直线 上，则图中共有______条线段.
答案：3
【变式2】有一段火车路线，含这段铁路的首尾两站在内共有5个车站(如图)，图中共有几条线段？在这段线路上往返行车，需印制几种车票(每种车票要印出上车站与下车站)？
解：线段有10条；车票需要2×10=20种.
总结升华：在直线上确定线段的条数公式为: (其中n为直线上点的个数).在求从一个顶点引出的n条射线所形成的小于平角的角的个数也可用此公式.
【变式3】已知线段AB=8cm，延长AB至C，使AC=2AB，D是AB中点，则线段CD=______.
思路点拨：解决本例类型的题目应结合图形，即数形结合，本题考查延长线段的方向和线段的中点的概念.
解：如图，∵AB=8cm AC=2AB ∴AC=2×8=16cm
∵D是AB中点 ∴AD=8× =4cm ∴CD=AC-AD=16-4=12cm
考点二、角
3．下列说法正确的是( )
A．角的两边可以度量.
B．角是由有公共端点的两条射线构成的图形.
C．平角的两边可以看成直线.
D．一条直线可以看成是一个平角.
考点：角的定义
解析：角的两边是射线，不能度量，所以A错；平角的两边也是射线，不能是直线，所以C错；了解直线和平角两者之间的区别，角有顶点，所以D错.故选B.
4．已知OC平分∠AOB，则下列各式:(1)∠AOC= ∠AOB；(2)∠AOC=∠COB；(3)∠AOB=2∠AOC，其中正确的是( )
A.只有(1) B.只有(1)(2) C.只有(2)(3) D.(1)(2)(3)
思路点拨：角平分线定义的的三种表达形式.
答案：D
5．（1）（2010山东德州）如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（ ）
（A）30° （B）40°
（C）60° （D）70°
考点：平行线的性质、三角形外角定理.
答案：A
（2）已知∠ 与∠ 互余，且∠ =40°，则∠ 的补角为_______度.
考点：角互余和互补定义.
思路点拨：本题考查互余、互补两角的定义，互余、互补只与两角度数和有关，与角的位置无关.
解：∵∠ 与∠ 互余，∴∠ +∠ =90°；∵∠ =40°，
∴∠ =90°-∠ =90°-40°=50°.
∴∠ 的补角=180°-50°=130°.
举一反三
【变式1】如图，已知∠COE=∠BOD=∠AOC=90°，则图中互余的角有_______对，互补的角有_______对.
考点：互为余角和互为补角的定义.
思路点拨：在本题目中，当图中角比较多时，就将图形的角进行归类，找出每种相等的角，按照同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等的性质解决问题，注意要不重不漏.
解：互余的角有：∠COD和∠DOE、∠COD和∠BOC、∠AOB和∠DOE、∠AOB和∠BOC，共4对；
互补的角有：∠EOD和∠AOD、∠BOC和∠AOD、∠AOB和∠BOE、
∠COD和∠BOE、∠AOC和∠COE、∠AOC和∠BOD、∠COE和∠BOD，共7对.
【变式2】已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角.求证：∠ACD=∠B.
证明：∵AC⊥BC(已知)
∴∠ACB=90°( )
∴∠BCD是∠DCA的余角( )
∵∠BCD是∠B的余角(已知)
∴∠ACD=∠B( )
思路点拨：会根据所给的语句写出正确的根据.会用所学的定理、公理、推论等真命题概括几何语言.
答案：垂直定义；余角定义，同角的余角相等.
6．(1)已知∠1=43°27′，则∠1的余角是_______，补角是________；
(2)18.32°=18°( )′( )″，216°42′=_______°.
考点：掌握角的单位之间的换算关系. 1°=60′，1′=60″.
解：(1) ∠1的余角=90°-43°27′=89°60′-43°27′=46°33′；
∠1的补角=180°-43°27′=179°60′-43°27′=136°33′；
(2) 0.32°=0.32×60′=19.2′ 0.2′=0.2×60″=12″ 所以18.32°=18°19′12″；
42′=0.7° 所以216°42′=216.7°.
举一反三
【变式1】计算.
① ②
③ ④
考点：会计算角之间的和、差、倍、分，注意相邻单位之间是60进制的，相同单位互相加减.
解：① =68°70′=69°10′
② =62°×3+25′×3=186°+75′=187°15′
③ =67°80′-37°33′=30°47′
④ =69°60′÷3=23°20′
7．（1）（2010内蒙呼和浩特）8点30分时，钟表的时针与分针的夹角为__________°．
答案：75
（2）时钟在1点30分时，时针与分针的夹角为_______度.
解析：时钟上时针和分针是实际生活中常见的角，分针1小时旋转360度，1分钟旋转6度；时针1小时旋转30度，1分钟旋转0.5度.在相同时间下，分针旋转的角度是时针的12倍.钟表上1和6的夹角为150°，过了半小时，时针转了15°，所以1点30分时，时针与分针的夹角为150°-15°=135°.
举一反三
【变式1】某火车站的时钟楼上装有一个电子报时钟，在钟面的边界上，每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯，晚上9时35分20秒时，时针与分针所夹的角内装有多少只小彩灯？
解析：9时35分20秒时，时针与分针的夹角间的小格数为 个小格，中间有12个分钟刻度处，而每一个分钟刻度处有一只小彩灯，所以它们之间有12个小彩灯.
8．表示O点南偏东15°方向和北偏东25°方向的两条射线组成的角等于______度.
考点：方位角.
解析：如图，南北方向上的线与OA、OB的夹角分别为25°和15°，
所以∠AOB=180°-25°-15°=140°.
举一反三
【变式1】如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°，甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西________度.
考点：方位角在实际中的应用
思路点拨：结合图形，在求方位角时，掌握甲和乙之间方向相反的规律，甲观察乙是北偏东48°，乙观察甲就是南偏西48°.
答案：48°.
9．如图，OA⊥OB，∠BOC=40°，OD平分∠AOC，则∠BOD=_________°.
思路点拨：通过观察图形，找出各角之间的联系，关键是看清角所在的位置，结合图形进行计算.
解：∵OA⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∵∠BOC=40°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+40°=130°，
∵OD平分∠AOC， ∴∠COD= ∠AOC= ×130°=65°，
∴∠BOD=∠COD-∠BOC=65°-40°=25°.
举一反三
【变式1】用一副三角板画角，不能画出的角的度数是( )
A.15° B.75° C.145° D.165°
思路点拨：了解一副三角板中各角的度数，总结规律：用一副三角板画角，能画出的角都是15°的整数倍.
答案：C
【变式2】以∠AOB的顶点O为端点作射线OC，使∠AOC:∠BOC=5:4.(1)若∠AOB=18°，求∠AOC与∠BOC的度数；(2)若∠AOB=m°，求∠AOC与∠BOC的度数.
思路点拨：当题目中包含多种可能的情况时，应根据可能出现的所有情况进行分类，要做到无遗漏、无重复.
答案：(1)第一种情形:OC在∠AOB的外部，
可设∠AOC=5x，∠BOC=4x，
则∠AOB=∠AOC-∠BOC=x，即x=18°.
∴∠AOC=90°，∠BOC=72°.
第二种情形:OC在∠AOB的内部，
可设∠AOC=5x，∠BOC=4x，
则∠AOB=∠AOC+∠BOC=9x，
∴9x=18°，即x=2°.
∴∠AOC=10°，∠BOC=8°.
(2)∠AOC=5m°，∠BOC=4m°.或∠AOC= m°，∠BOC= m°.
知识点三、尺规作图
10．只用无刻度直尺就能作出的是( )
A.延长线段AB至C，使BC=AB； B.过直线 上一点A作 的垂线
C.作已知角的平分线； D.从点O再经过点P作射线OP
解析：A中直尺应有刻度或利用尺规作图，B、C是尺规作图，但还需要圆规.应选D.
11．已知线段MN，画一条线段AC=MN 的步骤是: 第一步:____________，第二步:_____________，AC就是所要画的线段.
考点：这是尺规作图作一条线段等于已知线段的步骤，必须掌握.
答案: 第一步:作射线AP；第二步:在射线AP上，以A为圆心，以MN为长为半径截取AC=MN.
举一反三：
【变式1】如图所示，请把线段AB四等分，简述步骤.
考点：作线段AB的垂直平分线的方法.
作法：步骤:(1)作AB的垂直平分线MN，交AB于O1；(2)作O1A的垂直平分线EF交AB于O2；(3)作O1B的垂直平分线GH交AB于O3，则O1、O2、O3即为线段AB的四等分点.
12．如图所示，在图中作出点C，使得C是∠MON平分线上的点，且AC=OA， 并简述步骤.
思路点拨：用尺规作图作已知角的平分线，再用圆规截取AC=OA.
作法: 作法如下:
(1)作∠MON的平分线OB；
(2)以A点为圆心，以OA为半径画弧交OB于C，连结AC，则C点即为所求.
总结升华：用尺规作图中直尺只起到画线(直线、射线、线段)的作用.而不能用来量取.
举一反三：
【变式1】如图所示，已知∠AOB和两点M、N，画一点P，使得点P到∠AOB的两边距离相等，且PM=PN，简述步骤.
考点：角平分线定理和垂直平分线定理.
作法:
(1)作∠AOB的平分线OC；
(2)连结MN，并作MN的垂直平分线EF，交OC于P，连结PM、PN，则P点即为所求.
知识点四、相交线、平行线
13．（1）（2010湖北襄樊）如图1，已知直线AB//CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
图1．
答案：C
（2）如图，AD∥BC，AC与BD相交于O，则图中相等的角有_________对.
思路点拨：两直线平行，内错角相等；两直线相交，所得的对顶角相等.
解析：∵AD∥BC ∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
不要忽略对顶角相等：∠AOB=∠COD，∠AOD=∠BOC，故应填4对.
14．（1）如图所示，下列条件中，不能判断 的是( )
A.∠1=∠3 B.∠2=∠3 C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180°
考点：平行线的判定.
解析：根据平行线的判定，A中∠1和∠3是内错角；C中∠4和∠5是同位角；D中∠2和∠4是同旁内角.不难得到：∠2=∠3不能判断 .应选B.
（2）（2010福建宁德）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°，那么∠2是_______°．
考点：平行线的性质.
答案：55
举一反三：
【变式1】(1)如图，若AB∥CD，则∠A、∠E、∠D之间的关系是( ).
A.∠A+∠E+∠D=180° B.∠A-∠E+∠D=180°
C.∠A+∠E-∠D=180° D.∠A+∠E+∠D=270°
(2)如图所示， ∥ ，∠1=120°，∠2=100°，则∠3=( ).
A.20° B.40° C.50° D.60°
考点：平行线的性质
思路点拨：通过观察图形，可作出一条辅助线，从而把问题化难为易.
(1) (2)
解析：(1)如(1)图，过E作EF∥AB，则也平行于CD，∴∠A+∠AEF=180° ∠FED=∠D
∴∠A+∠AEF=∠A+∠AED-∠D=180°，故选C.
(2)如(2)图，过O作 ，则OB也平行于 ，∴∠1+∠BOC=180°，∠3=∠AOB，
∴∠BOC=180°-∠1=180°-120°=60°，∴∠3=∠AOB=∠2-∠BOC=100°-60°=40°.
15．（1）两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线( )
A.互相重合 B.互相平行 C.互相垂直 D.相交
考点：平行线的性质和判定.
思路点拨：利用平行线的性质和判定，结合角平分线的定义解决问题.如图，a∥b，所以同位角相等；所以同位角的一半也相等，即∠1=∠2，所以同位角的平分线互相平行.
答案：选B.
（2）(2010重庆市)如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥BC，若∠C＝50°，∠BDE＝60°，则∠CDB的度数等于（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
思路点拨：由DE∥BC，得∠CDE＝∠C＝50°，所以∠CDB=∠CDE+∠BDE=110°
答案：C
举一反三：
【变式1】如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数.
思路点拨：由平行线的性质和角平分线定义求出结果.
解：∵DE∥BC，∠AED=80°
∴∠ACB=∠AED=80° ∠EDC=∠DCB
∵CD平分∠ACB
∴∠DCB= ∠ACB =40°
∴∠EDC=∠DCB.
【变式2】如图，已知AB∥CD ，∠DAB=∠DCB，AE平分∠DAB，且交BC于E，CF平分∠DCB，且交AD于F.求证: AE∥FC.
思路点拨：这类问题可由题设出发找结论，也可由结论出发找题设.
证明：∵AB∥CD ∴∠ABC+∠BCD=180°
∵∠DAB=∠BCD ∴∠ABC+∠DAB=180°
∴AD∥BC ∴∠DAE=∠BEA
∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB
∴∠DAE= ∠DAB，∠FCB= ∠BCD
∴∠DAE=∠FCB ∴∠BEA =∠FCB
∴AE∥FC.
【变式3】已知：如图，CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，并且∠1+∠2=90°，
求证：DA⊥AB.
思路点拨：这考查学生整体考虑问题的能力，可以从已知推出结论，也可以从结论入手，找出和已知相对应的条件.
证明：∵CE平分∠BCD，DE平分∠CDA
∴∠1= ∠ADC，∠2= ∠BCD
∵∠1+∠2=90°
∴∠ADC+∠BCD=180° ∴AD∥BC ∴∠A+∠B=180°
∵CB⊥AB ∴∠B=90° ∴∠A=180°-∠B=180°-90°=90° ∴DA⊥AB.
【变式4】求证：两条平行直线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行.
思路点拨:考查学生解决这种证明题要先根据题意画出图形，再改写成已知、求证的几何语言形式的命题.
已知：如图，AB∥CD，EG、FR分别是∠BEF、∠EFC的平分线.
求证：EG∥FR.
证明：∵AB∥CD(已知)
∴∠BEF=∠EFC(两直线平行，内错角相等)
∵EG、FR分别是∠BEF、∠EFC的平分线(已知)
∴2∠1=∠BEF，2∠2=∠EFC(角平分线定义)
∴2∠1=2∠2(等量代换)
∴∠1=∠2(等式性质)
∴EG∥FR(内错角相等，两直线平行)
知识点五、命题、定理
16．（1）（2010浙江温州）下列命题中，属于假命题的是( )
A．三角形三个内角的和等于l80° B．两直线平行，同位角相等
C．矩形的对角线相等 D．相等的角是对顶角．
答案：D
（2）判断下列语句是不是命题
①延长线段AB( )
②两条直线相交，只有一交点( )
③画线段AB的中点( )
④若x=2，则x=2( )
⑤角平分线是一条射线( )
思路点拨：本题考查学生理解命题的概念，判断语句是否是命题有两个关键，首先观察是不是一个完整的句子，再观察是否作出判断.
解析：①两个语句都没有作出判断.
答案：①不是 ②是 ③不是 ④是 ⑤是.
举一反三：
【变式1】下列语句不是命题的是( )
A.两点之间，线段最短 B.不平行的两条直线有一个交点
C.x与y的和等于0吗？ D.对顶角不相等.
解析:理解命题概念，C答案虽然是句子，但没有作出判断，D答案是假命题但也是命题.故选C.
17．下列命题中真命题是( )
A.两个锐角之和为钝角 B.两个锐角之和为锐角
C.钝角大于它的补角 D.锐角小于它的余角
思路点拨：命题分为真命题、假命题.正确的命题是真命题，错误的命题是假命题.
解析：A、B中两个锐角之和可能是锐角、直角和钝角；D中的锐角不一定小于它的余角，如50° 的余角是40°.应选C
举一反三：
【变式1】命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等.其中假命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：③中，应掌握相等的角不一定是对顶角，但对顶角一定相等；④中只有两平行直线被第三条直线所截，同位角才能相等.故③④是假命题.应选B.
18．分别写出下列各命题的题设和结论.
(1)如果a∥b，b∥c，那么a∥c；
(2)同旁内角互补，两直线平行.
思路点拨：命题分为题设和结论两部分，可以写成“如果……，那么……”的形式.
答案：(1)题设：a∥b，b∥c，结论：a∥c；
(2)题设：两条直线被第三条直线所截得的同旁内角互补，
结论：这两条直线平行.
举一反三：
【变式1】分别把下列命题写成“如果……，那么……”的形式.
(1)两点确定一条直线； (2)等角的补角相等； (3)内错角相等.
答案：(1)如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线
(2)如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等.
(3)如果两个角是内错角，那么这两个角相等.
中考题萃
一、考试目标：
了解直线、射线、线段的概念和性质以及表示方法，掌握三者之间的区别和联系，会解决与线段有关的实际问题；了解角的概念和表示方法，会把角进行分类以及角的度量和计算；掌握相交线、平行线的定义，理解所形成的各种角的特点、性质和判定；了解命题的定义、结构、表达形式和分类，会简单的证明有关命题.
二、中考真题：
1.（2010山东威海）如图，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
2．(巴中市)如图，“?”是电视机常用尺寸，1?约为大拇指第一节的长，则7?长相当于( )
A.一支粉笔的长度 B.课桌的长度
C.黑板的宽度 D.数学课本的长度
3．(青海省西宁市)(3分)如果 和 互补，且 ，则下列表示 的余角的式子中：
① ；② ；③ ；④ .正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4．(湖南省湘西自治州)(3分)如图，直线AB、CD相交于O点，若 ，则∠2、∠3的度数分别为( )
A.120°、60° B.130°、50°
C.140°、40° D.150°、30°
5．（2010四川内江）将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠AFC的度数为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
6．(四川乐山市)(3分)如图，直线 相交于点O，OM⊥ ，若 ，则 等于( )
A.56° B.46° C.45° D.44°
7．(海南省)(2分)如图，AB、CD相交于点O，∠1=80°，如果DE∥AB，那么∠D的度数为( )
A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°
8．(湖北省荆州市)(3分) 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：(1)∠1=∠2；
(2)∠3=∠4；(3)∠2+∠4=90°；(4)∠4+∠5=180°，其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9．(四川宜宾市)(3分)如图，AB∥CD，直线PQ分别交AB、CD于点F、E，EG是∠FED的平分线，交AB于点
G. 若∠QED=40°，那么∠EGB等于( )
A. 80° B. 100° C. 110° D．120°
10．(绵阳市)(3分)已知，如图，∠1=∠2=∠3=55°，则∠4的度数等于( )
A.115° B.120° C.125° D.135°
11．(新疆自治区)(5分)如图，下列推理不正确的是( )
A.∵AB∥CD ∴∠ABC+∠C=180° B.∵∠1=∠2 ∴AD∥BC
C.∵AD∥BC ∴∠3=∠4 D.∵∠A+∠ADC=180° ∴AB∥CD
12．（2010 山东荷泽）如图，直线PQ∥MN，C是MN上一点，CE交PQ于A，CF交PQ于B，且∠ECF＝90°，
如果∠FBQ＝50°，则∠ECM的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
13. （2010江西）一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD＝
_____________度．
14．(湖南省株洲市)(3分)已知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为线段AB、BC的中点，且
AB=60，BC=40，则MN的长为___________.
15．(内蒙古)(3分)已知： ，则 的补角是_________度.
16．(湖南省)(3分)如图， 与 相交于点 ， ， ，则 _____度.
17．(广州)(3分)如图，∠1=70°，若m∥n，则∠2=________.
18．(宁夏回族自治区)(3分)如图，AB∥CD， AC⊥BC，∠BAC =65°，则∠BCD=________度.
19．(浙江义乌)(5分)如图，若 ， 与 分别相交于点 ， 与 的平
分线相交于点 ，且 ， ________度.
20．(湛江市)(4分)如图，请写出能判定CE∥AB的一个条件_________.
21．(四川省资阳市)如图，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线段刻度是整点时时针(短针)所指的位
置.根据图中时针与分针(长针)所指的位置，该钟面所显示的时刻是______时_______分.
22．(湖北省襄樊市)(3分)如图，在锐角 内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可
得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；……照此规律，画10条不同射线，可得锐角_____个.
23．(杭州市)如图， 已知 ， 用直尺和圆规求作一个 ， 使得 .
(只须作出正确图形， 保留作图痕迹， 不必写出作法)
24. （2010广东茂名）如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1=70o，则∠2的度数是（ ）
A．80o B．110o C．120o D．140o
答案解析：
1.C 2.D 3.B 4.D 5.D 6.B 7.C 8.D 9. C 10.C 11.C 12.C
13.270° 14．10或50 15．120 16．36° 17．70° 18．25 19．60
20．∠CDE=∠A、∠BCE=∠B、∠ACE+∠A=180°(不唯一) 21．9，12 22．66
23．作图如下， 即为所求作的 .
