人教版高一数学《函数单调性的运用》教案
函数单调性的运用
体验回顾 ：
1. 函数 满足 对任意定义域中的x1, x2成立，则实数a的取值范围是_______________；
2.设函数 ，若对于任意 ，
不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 .
经典训练 ：
【题型一】解抽象函数不等式问题
例1：定义在实数集 上的偶函数 在区间 上是单调增函数，若 ，则 的取值范围是______.
练习：设 是定义在（ 上的增函数，且满足 .若 ，且 ，求实数 的取值范围.
练习：函数 是定义在 上的奇函数，且为增函数，若 ，求实数a的范围。
练习; 设 是定义在r上的奇函数，且当 时， ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 .
解析：因为 且 ，所以 ，又 ，所以 ，再由 可知， .又因为 是定义在 上的增函数，从而有 ，解得： .故所求实数 的取值范围为 .
解： 定义域是 即
又
是奇函数
在 上是增函数 即
解之得 故a的取值范围是
【题型二】数列中的单调性
例2：数列 的通项 ，为了使不等式 对任意 恒成立的充要条件.
解：∵ ，
则 ，
欲使得题设中的不等式对任意 恒成立，
只须 的最小项 即可，
又因为 ，
即只须 且 ，
解得 ，
即 ，解得实数 应满足的关系为 且 .
练习：数列 满足： ，记 ，若 对任意的 恒成立，则正整数 的最小值为 。10；
易得： ，令 ，而
，为减数列，
所以： ，而 为正整数，所以
练习:设函数 数列 的通项 .满足
（1）.求数列 的通项公式.
（2）.数列 有没有最小项.
课后作业：
1.定义在 ，且 ，若不等式 对任意 恒成立，则实数a的取值范围
解：依题设 ,且 ,则
则 ( )
所以 ,即 ,从而函数 在 单调递减
所以不等式
即 恒成立,又 ，从而 ，从而 ，又 ，所以 ，从而实数a的取值范围为
2. 已知 ，t是大于0的常数，且函数 的最小值为9，则t的值为 .4
3.已知数列 是由正数组成的等差数列， 是其前 项的和，并且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求使不等式 对一切 均成立的最大实数 ；
（3）对每一个 ，在 与 之间插入 个 ，得到新数列 ，设 是数列 的前 项和，试问是否存在正整数 ，使 ？若存在求出 的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）设 的公差为 ，由题意 ，且
，
数列 的通项公式为
（2）由题意 对 均成立
记
则
，
∴ ，∴ 随 增大而增大
∴ 的最小值为
∴ ，即 的最大值为
（3）
∴在数列 中， 及其前面所有项之和为
，即
又 在数列 中的项数为：
且 ，
所以存在正整数 使得
