等差数列的前n项和(精选7篇)
等差数列的前n项和 篇1
教学目标
1.掌握等差数列前 项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.
(1)了解等差数列前 项和的定义,了解逆项相加的原理,理解等差数列前 项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;
(2)用方程思想认识等差数列前 项和的公式,利用公式求 ;等差数列通项公式与前 项和的公式两套公式涉及五个字母,已知其中三个量求另两个值;
(3)会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.
2.通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初步形成认识问题,解决问题的一般思路和方法.
3.通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平.
4.通过公式的推导过程,展现数学中的对称美;通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题.
教学建议
(1)知识结构
本节内容是等差数列前 项和公式的推导和应用,首先通过具体的例子给出了求等差数列前 项和的思路,而后导出了一般的公式,并加以应用;再与等差数列通项公式组成方程组,共同运用,解决有关问题.
(2)重点、难点分析
教学重点是等差数列前 项和公式的推导和应用,难点是公式推导的思路.
推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路,即从特殊问题的解决中提炼一般方法,再试图运用这一方法解决一般情况,所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要.等差数列前 项和公式有两种形式,应根据条件选择适当的形式进行计算;另外反用公式、变用公式、前 项和公式与通项公式的综合运用体现了方程(组)思想.
高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思,对一般学生来说有很大难度,但大多数学生都听说过这个故事,所以难点在于一般等差数列求和的思路上.
(3)教法建议
①本节内容分为两课时,一节为公式推导及简单应用,一节侧重于通项公式与前 项和公式综合运用.
②前 项和公式的推导,建议由具体问题引入,使学生体会问题源于生活.
③强调从特殊到一般,再从一般到特殊的思考方法与研究方法.
④补充等差数列前 项和的最大值、最小值问题.
⑤用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式.
等差数列的前项和公式教学设计示例
教学目标
1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式的推导过程,并能用公式解决简单的问题.
2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思想方法,通过公式的运用体会方程的思想.
教学重点,难点
教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用,难点是获得推导公式的思路.
教学用具
实物投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
讲授法.
教学过程
一.新课引入
提出问题(播放媒体资料):一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?(课件设计见课件展示)
问题就是(板书)“ ”
这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.(由一名学生回答,再由学生讨论其高明之处)高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.
我们希望求一般的等差数列的和,高斯算法对我们有何启发?
二.讲解新课
(板书)等差数列前 项和公式
1.公式推导(板书)
问题(幻灯片):设等差数列 的首项为 ,公差为 , 由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.
思路一:运用基本量思想,将各项用 和 表示,得
,有以下等式
,问题是一共有多少个 ,似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.
思路二:
上面的等式其实就是 ,为回避个数问题,做一个改写 , ,两式左右分别相加,得
,
于是有: .这就是倒序相加法.
思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得 ,于是 .
于是得到了两个公式(投影片): 和 .
2.公式记忆
用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式,这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前 项和的两个公式.
3.公式的应用
公式中含有四个量,运用方程的思想,知三求一.
例1.求和:(1) ;
(2) (结果用 表示)
解题的关键是数清项数,小结数项数的方法.
例2.等差数列 中前多少项的和是9900?
本题实质是反用公式,解一个关于 的一元二次函数,注意得到的项数 必须是正整数.
三.小结
1.推导等差数列前 项和公式的思路;
2.公式的应用中的数学思想.
四.板书设计
等差数列的前n项和 篇2
教学目标
1.掌握等差数列前 项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.
(1)了解等差数列前 项和的定义,了解逆项相加的原理,理解等差数列前 项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;
(2)用方程思想认识等差数列前 项和的公式,利用公式求 ;等差数列通项公式与前 项和的公式两套公式涉及五个字母,已知其中三个量求另两个值;
(3)会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.
2.通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初步形成认识问题,解决问题的一般思路和方法.
3.通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平.
4.通过公式的推导过程,展现数学中的对称美;通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题.
教学建议
(1)知识结构
本节内容是等差数列前 项和公式的推导和应用,首先通过具体的例子给出了求等差数列前 项和的思路,而后导出了一般的公式,并加以应用;再与等差数列通项公式组成方程组,共同运用,解决有关问题.
(2)重点、难点分析
教学重点是等差数列前 项和公式的推导和应用,难点是公式推导的思路.
推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路,即从特殊问题的解决中提炼一般方法,再试图运用这一方法解决一般情况,所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要.等差数列前 项和公式有两种形式,应根据条件选择适当的形式进行计算;另外反用公式、变用公式、前 项和公式与通项公式的综合运用体现了方程(组)思想.
高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思,对一般学生来说有很大难度,但大多数学生都听说过这个故事,所以难点在于一般等差数列求和的思路上.
(3)教法建议
①本节内容分为两课时,一节为公式推导及简单应用,一节侧重于通项公式与前 项和公式综合运用.
②前 项和公式的推导,建议由具体问题引入,使学生体会问题源于生活.
③强调从特殊到一般,再从一般到特殊的思考方法与研究方法.
④补充等差数列前 项和的最大值、最小值问题.
⑤用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式.
等差数列的前项和公式教学设计示例
教学目标
1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式的推导过程,并能用公式解决简单的问题.
2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思想方法,通过公式的运用体会方程的思想.
教学重点,难点
教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用,难点是获得推导公式的思路.
教学用具
实物投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
讲授法.
教学过程
一.新课引入
提出问题(播放媒体资料):一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?(课件设计见课件展示)
问题就是(板书)“ ”
这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.(由一名学生回答,再由学生讨论其高明之处)高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.
我们希望求一般的等差数列的和,高斯算法对我们有何启发?
二.讲解新课
(板书)等差数列前 项和公式
1.公式推导(板书)
问题(幻灯片):设等差数列 的首项为 ,公差为 , 由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.
思路一:运用基本量思想,将各项用 和 表示,得
,有以下等式
,问题是一共有多少个 ,似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.
思路二:
上面的等式其实就是 ,为回避个数问题,做一个改写 , ,两式左右分别相加,得
,
于是有: .这就是倒序相加法.
思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得 ,于是 .
于是得到了两个公式(投影片): 和 .
2.公式记忆
用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式,这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前 项和的两个公式.
3.公式的应用
公式中含有四个量,运用方程的思想,知三求一.
例1.求和:(1) ;
(2) (结果用 表示)
解题的关键是数清项数,小结数项数的方法.
例2.等差数列 中前多少项的和是9900?
本题实质是反用公式,解一个关于 的一元二次函数,注意得到的项数 必须是正整数.
三.小结
1.推导等差数列前 项和公式的思路;
2.公式的应用中的数学思想.
四.板书设计
等差数列的前n项和 篇3
教学目的:1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路. 2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题 教学重点:等差数列n项和公式的理解、推导及应 教学难点:灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题 教学过程: 一、复习引入:首先回忆一下前几节课所学主要内容:1.等差数列的定义: - =d ,(n≥2,n∈n+) 2.等差数列的通项公式: ( 或 =pn+q (p、q是常数)) 3.几种计算公差d的方法:① d= - ② d= ③ d= 4.等差中项: 成等差数列 5.等差数列的性质: m+n=p+q (m, n, p, q ∈n )6.伟大的数学家,天文学家,高斯十岁时计算1+2+…100的小故事, 小高斯的计算方法启发我们下面要研究的求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法,― “倒序相加”法。 二、讲解新课: 1.数列的前n项和的定义:数列 中, 称为数列 的前n项和,记为 . 2.等差数列的前 项和公式1: 证明: ① ②①+②: ∵ ∴ 由此得: 1 3. 等差数列的前 项和公式2: 把 代入公式1即得: 24. 等差数列的前 项和公式的函数解析式特征:公式2又可化成式子: ,当d≠0,是一个常数项为零的二次式。 5.用方程思想理解等差数列的通项公式与前n项和公式:等差数列的通项公式与前n项和公式反映了等差数列的五个基本元素:a1,d,n,an,sn 之间的关系,从方程的角度看,它们可以构成两个独立方程(前n项和公式1、2是等价的),五元素中“知三求二”,解常规问题可以通过解方程或解方程组解决. 三、例题讲解 例1 某长跑运动员7天里每天的训练量(单位:m)是:
7500
8000
8500
9000
9500
10000
1050
这位运动员7天共跑了多少米?(课本p116例1) 例2 等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是54?(课本p116例2) 例3 求集合m={m|m=7n,n∈n*,且m<100}中元素的个数,并求这些元素的和. (课本p117例3) 例4 .已知等差数列{ }中 =13且 = ,那么n取何值时, 取最大值. 解法1:设公差为d,由 = 得: 3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, =13-2(n-1), =15-2n, 由 即 得:6.5≤n≤7.5,所以n=7时, 取最大值. 解法2:由解1得d= -2,又a1=13所以 = - n +14 n = -(n-7) +49 ∴当n=7, 取最大值。 对等差数列前项和的最值问题有两种方法:(1) 利用 : 当 >0,d<0,前n项和有最大值。可由 ≥0,且 ≤0,求得n的值。 当 <0,d>0,前n项和有最小值。可由 ≤0,且 ≥0,求得n的值。 (2) 利用 : 由 利用二次函数配方法求得最值时n的值。 四、练习: 已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,求其前 项和的公式.(课本p117 例4) 五、小结 本节课学习了以下内容:1.等差数列的前 项和公式1: 2.等差数列的前 项和公式2: 3. ,当d≠0,是一个常数项为零的二次式 4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:(3) 利用 : 当 >0,d<0,前n项和有最大值。可由 ≥0,且 ≤0,求得n的值。 当 <0,d>0,前n项和有最小值。可由 ≤0,且 ≥0,求得n的值。 (4) 利用 : 二次函数配方法求得最值时n的值。 六、作业:课本p118 习题3.3 1(2)、(4),2(2)、(4),6(2),7,8.
等差数列的前n项和 篇4
教学目标
1.把握等差数列前 项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.
(1)了解等差数列前 项和的定义,了解逆项相加的原理,理解等差数列前 项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;
(2)用方程思想熟悉等差数列前 项和的公式,利用公式求 ;等差数列通项公式与前 项和的公式两套公式涉及五个字母,已知其中三个量求另两个值;
(3)会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.
2.通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从非凡到一般,再从一般到非凡的思维规律,初步形成熟悉问题,解决问题的一般思路和方法.
3.通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的练习,发展学生的思维水平.
4.通过公式的推导过程,展现数学中的对称美;通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题.
教学建议
(1)知识结构
本节内容是等差数列前 项和公式的推导和应用,首先通过具体的例子给出了求等差数列前 项和的思路,而后导出了一般的公式,并加以应用;再与等差数列通项公式组成方程组,共同运用,解决有关问题.
(2)重点、难点分析
教学重点是等差数列前 项和公式的推导和应用,难点是公式推导的思路.
推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路,即从非凡问题的解决中提炼一般方法,再试图运用这一方法解决一般情况,所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要.等差数列前 项和公式有两种形式,应根据条件选择适当的形式进行计算;另外反用公式、变用公式、前 项和公式与通项公式的综合运用体现了方程(组)思想.
高斯算法表现了大数学家的聪明和巧思,对一般学生来说有很大难度,但大多数学生都听说过这个故事,所以难点在于一般等差数列求和的思路上.
(3)教法建议
①本节内容分为两课时,一节为公式推导及简单应用,一节侧重于通项公式与前 项和公式综合运用.
②前 项和公式的推导,建议由具体问题引入,使学生体会问题源于生活.
③强调从非凡到一般,再从一般到非凡的思考方法与研究方法.
④补充等差数列前 项和的最大值、最小值问题.
⑤用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式.
等差数列的前项和公式教学设计示例
教学目标
1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式的推导过程,并能用公式解决简单的问题.
2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从非凡到一般,再从一般到非凡的思想方法,通过公式的运用体会方程的思想.
教学重点,难点
教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用,难点是获得推导公式的思路.
教学用具
实物投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
讲授法.
教学过程
一.新课引入
提出问题(播放媒体资料):一个堆放铅笔的v形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个v形架上共放着多少支铅笔?(课件设计见课件展示)
问题就是(板书)“ ”
这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.(由一名学生回答,再由学生讨论其高明之处)高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.
我们希望求一般的等差数列的和,高斯算法对我们有何启发?
二.讲解新课
(板书)等差数列前 项和公式
1.公式推导(板书)
问题(幻灯片):设等差数列 的首项为 ,公差为 , 由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.
思路一:运用基本量思想,将各项用 和 表示,得
,有以下等式
,问题是一共有多少个 ,似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.
思路二:
上面的等式其实就是 ,为回避个数问题,做一个改写 , ,两式左右分别相加,得
,
于是有: .这就是倒序相加法.
思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得 ,于是 .
于是得到了两个公式(投影片): 和 .
2.公式记忆
用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式,这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前 项和的两个公式.
3.公式的应用
公式中含有四个量,运用方程的思想,知三求一.
例1.求和:(1) ;
(2) (结果用 表示)
解题的关键是数清项数,小结数项数的方法.
例2.等差数列 中前多少项的和是9900?
本题实质是反用公式,解一个关于 的一元二次函数,注重得到的项数 必须是正整数.
三.小结
1.推导等差数列前 项和公式的思路;
2.公式的应用中的数学思想.
四.板书设计
等差数列的前n项和 篇5
教学目的:1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式. 2.了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题. 教学重点:熟练掌握等差数列的求和公式 教学难点:灵活应用求和公式解决问题 教学过程: 一、复习引入:首先回忆一下上一节课所学主要内容: 1.等差数列的前 项和公式1: 2.等差数列的前 项和公式2: 3. ,当d≠0,是一个常数项为零的二次式 4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:(1) 利用 : 当 >0,d<0,前n项和有最大值。可由 ≥0,且 ≤0,求得n的值。 当 <0,d>0,前n项和有最小值。可由 ≤0,且 ≥0,求得n的值。 (2) 利用 :由 二次函数配方法求得最值时n的值。 二、例题讲解 例1 . 已知等差数列的前 项和为 ,前 项和为 ,求前 项和. 解:由题设 ∴ 而 例2 已知一个等差数列的前四项和为21,后四项和为67,前n项和为286,求项数.
分析:若把有穷数列{an} 的前n项和sn的平均值 叫做数列的平均值,记为 ,即 则sn=n .根据等差数列的性质易知, .(答案:n=26).
例3 等差数列 中, 该数列的前多少项和最小?
思路1:求出sn的函数解析式(n的二次函数, ),再求函数取得最小值时的n值. 思路2:公差下为0的等差数列等差数列前n项和最小的条件为: 思路3:由s9=s12得s12-s9=a10+a11+a12=0得a11=0. 例4. 已知数列{an}的前n 项和 ,求数列{|an|}的前n项和tn. 解: 当 时, ∵n=1也适合上式,∴数列的通项公式为an=-3n+104 ( ) 由an=-3n+104≥0得n≤34.7,即当n≤34时,an>0,当n≥35时an<0.(1) 即当n≤34时,tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an= . (2) 当n≥35时, tn=|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)- (a35+a36+…+an) =2(a1+a2+…+a34)-( a1+a2+…+an)=2s34-sn 三、练习: 1.一个等差数列前4项的和是24,前5项的和与前2项的和的差是27,求这个等差数列的通项公式. 2.两个数列1, , , ……, , 5和1, , , ……, , 5均成等差数列公差分别是 , , 求 与 的值。 3.在等差数列{ }中, =-15, 公差d=3, 求数列{ }的前n项和 的最小值。 四、作业:课时p119习题3.3 9,10, 《精析精练》p122 智能达标训练.
等差数列的前n项和 篇6
教学目标
1.掌握等差数列前 项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.
(1)了解等差数列前 项和的定义,了解逆项相加的原理,理解等差数列前 项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;
(2)用方程思想认识等差数列前 项和的公式,利用公式求 ;等差数列通项公式与前 项和的公式两套公式涉及五个字母,已知其中三个量求另两个值;
(3)会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.
2.通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初步形成认识问题,解决问题的一般思路和方法.
3.通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平.
4.通过公式的推导过程,展现数学中的对称美;通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题.
教学建议
(1)知识结构
本节内容是等差数列前 项和公式的推导和应用,首先通过具体的例子给出了求等差数列前 项和的思路,而后导出了一般的公式,并加以应用;再与等差数列通项公式组成方程组,共同运用,解决有关问题.
(2)重点、难点分析
教学重点是等差数列前 项和公式的推导和应用,难点是公式推导的思路.
推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路,即从特殊问题的解决中提炼一般方法,再试图运用这一方法解决一般情况,所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要.等差数列前 项和公式有两种形式,应根据条件选择适当的形式进行计算;另外反用公式、变用公式、前 项和公式与通项公式的综合运用体现了方程(组)思想.
高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思,对一般学生来说有很大难度,但大多数学生都听说过这个故事,所以难点在于一般等差数列求和的思路上.
(3)教法建议
①本节内容分为两课时,一节为公式推导及简单应用,一节侧重于通项公式与前 项和公式综合运用.
②前 项和公式的推导,建议由具体问题引入,使学生体会问题源于生活.
③强调从特殊到一般,再从一般到特殊的思考方法与研究方法.
④补充等差数列前 项和的最大值、最小值问题.
⑤用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式.
等差数列的前项和公式教学设计示例
教学目标
1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式的推导过程,并能用公式解决简单的问题.
2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思想方法,通过公式的运用体会方程的思想.
教学重点,难点
教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用,难点是获得推导公式的思路.
教学用具
实物投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
讲授法.
教学过程
一.新课引入
提出问题(播放媒体资料):一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?(课件设计见课件展示)
问题就是(板书)“ ”
这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.(由一名学生回答,再由学生讨论其高明之处)高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.
我们希望求一般的等差数列的和,高斯算法对我们有何启发?
二.讲解新课
(板书)等差数列前 项和公式
1.公式推导(板书)
问题(幻灯片):设等差数列 的首项为 ,公差为 , 由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.
思路一:运用基本量思想,将各项用 和 表示,得
,有以下等式
,问题是一共有多少个 ,似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.
思路二:
上面的等式其实就是 ,为回避个数问题,做一个改写 , ,两式左右分别相加,得
,
于是有: .这就是倒序相加法.
思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得 ,于是 .
于是得到了两个公式(投影片): 和 .
2.公式记忆
用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式,这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前 项和的两个公式.
3.公式的应用
公式中含有四个量,运用方程的思想,知三求一.
例1.求和:(1) ;
(2) (结果用 表示)
解题的关键是数清项数,小结数项数的方法.
例2.等差数列 中前多少项的和是9900?
本题实质是反用公式,解一个关于 的一元二次函数,注意得到的项数 必须是正整数.
三.小结
1.推导等差数列前 项和公式的思路;
2.公式的应用中的数学思想.
四.板书设计
等差数列的前n项和 篇7
教学目标
1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式的推导过程,并能用公式解决简单的问题.
2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思想方法,通过公式的运用体会方程的思想.
教学重点,难点
教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用,难点是获得推导公式的思路.
教学用具
实物投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
讲授法.
教学过程
一.新课引入
提出问题(播放媒体资料):一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?(课件设计见课件展示)
问题就是(板书)“ ”
这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.(由一名学生回答,再由学生讨论其高明之处)高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.
我们希望求一般的等差数列的和,高斯算法对我们有何启发?
二.讲解新课
(板书)等差数列前 项和公式
1.公式推导(板书)
问题(幻灯片):设等差数列 的首项为 ,公差为 , 由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.
思路一:运用基本量思想,将各项用 和 表示,得
,有以下等式
,问题是一共有多少个 ,似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.
思路二:
上面的等式其实就是 ,为回避个数问题,做一个改写 , ,两式左右分别相加,得
,
于是有: .这就是倒序相加法.
思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得 ,于是 .
于是得到了两个公式(投影片): 和 .
2.公式记忆
用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式,这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前 项和的两个公式.
3.公式的应用
公式中含有四个量,运用方程的思想,知三求一.
例1.求和:(1) ;
(2) (结果用 表示)
解题的关键是数清项数,小结数项数的方法.
例2.等差数列 中前多少项的和是9900?
本题实质是反用公式,解一个关于 的一元二次函数,注意得到的项数 必须是正整数.
三.小结
1.推导等差数列前 项和公式的思路;
2.公式的应用中的数学思想.
四.板书设计