定义域与值域

第二十七教时
教材：正弦函数、余弦函数的性质之――定义域与值域
目的：要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域，尤其能灵活运用有界性求函数的最值和值域。
过程：一、复习：正弦和余弦函数图象的作法


二、研究性质：
1．定义域：y=sinx, y=cosx的定义域为R
2．值域：
1?引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：sinx≤1, cosx≤1 （有界性）
再看正弦函数线（图象）验证上述结论
∴y=sinx, y=cosx的值域为[-1，1]
2?对于y=sinx 当且仅当x=2k?+ k?Z时 ymax=1
当且仅当时x=2k?- k?Z时 ymin=-1
对于y=cosx 当且仅当x=2k? k?Z时 ymax=1
当且仅当x=2k?+? k?Z时 ymin=-1
3．观察R上的y=sinx,和y=cosx的图象可知
当2k?0
当(2k-1)?当2k?- 0
当2k?+ 三、例题：
例一 （P53 例二）略
例二 直接写出下列函数的定义域、值域：
1? y= 2? y=
解：1?当x?2k?- k?Z时函数有意义，值域:[ +∞]
2 ?x?[2k?+ , 2k?+ ] (k?Z)时有意义, 值域[0, ]
例三 求下列函数的最值：
1? y=sin(3x+ )-1 2? y=sin2x-4sinx+5 3? y=
解：1? 当3x+ =2k?+ 即 x= (k?Z)时ymax=0
当3x+ =2k?- 即x= (k?Z)时ymin=-2
2? y=(sinx-2)2+1 ∴当x=2k?- k?Z时ymax=10
当x=2k?- k?Z时ymin= 2
3? y=-1+ 当x=2k?+? k?Z时 ymax=2
当x=2k? k?Z时 ymin=
例四、函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4，求k,b的值。
解：当k>0时
当k<0时 （矛盾舍去）
∴k=3 b=-1
例五、求下列函数的定义域：
1? y= 2? y=lg(2sinx+1)+ 3? y=
解：1? ∵3cosx-1-2cos2x≥0 ∴ ≤cosx≤1
∴定义域为：[2k?- , 2k?+ ] (k?Z)
2?
∴定义域为：
3? ∵cos(sinx)≥0 ∴ 2k?- ≤x≤2k?+ (k?Z)
∵-1≤sinx≤1 ∴x?R ≤y≤1
四、小结：正弦、余弦函数的定义域、值域