递推关系的求解

M
递推关系的求解
一 基本概念
定义： 确定的数列 称为递推数列。（ 为其的阶）
二 基本解法
（1）
（2）

（3）
常系数线性齐次递推关系

将（2）称为（1）的特征方程
若 是（2）的 重根，则（1）的 个特解分别为 个特解的线性组合就是（1）的通解。
设 找到 ，使


令 可得 .从而 为 的根。
结论： ，若 有两个不动点 ，则 ，这里 。若 只有一个不动点，则 ，这里
三 常用思想：
1．不动点，特征根
2．无理化有理（取对数，化新数列）
3．多元化少元
4．高次化低次
5．高阶降低阶
6．非线性化线性
7．非齐次化齐次
8．猜想试解


P103 例6 在正项数列 中， 求通项公式。
解 对 两边取对数，得
即
这说明数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则有
故
P104例8 设数列 满足 且


求证： 是完全平方数。
证 由 式可得 并代入 式，得

两式相减
由方程 ，得
那么
通解为
由 ,代入上式解出 ，得

因为 为正偶数，所以， 是完全平方数.
P106 例9 数列 中， .
解 构建数列 .

故
化简得
所以
数列 是以2为首项，1/2为公比的等比数列.

所以

P107 例10已知 满足 ，且 ，求 .
解: 是二阶线性非齐次递推数列，先设法将它转化为一阶递推关系， 故条件变形为：
可见 是常数列，逐次递推得

即


P107 例11设满足 ，求 .
解： ，解方程 ,得
于是由定理10得，
则：
由已知可得 ，解得

P108 例12已知 满足 ， ，且 ，求 .
解： ，故
两式相减得

即
则 ，
根据特征方程求解
.
P108 例13设正数列满足 ,求 .
解：把递推关系改写为 ①
令 ，则①为 ②
对②两边取对数，得 ③
令 ，则③为
利用不动点性质有 即
故 其中 ，
即 是以 为首项， 为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可知 为常数数列，逆推上去，得 ，则 ，故 是以 为首项， 为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可知 .
P109 例14数列 定义为： ，求证：对任意的自然数 ， ， 表示不超过 的最大整数。
证明：递推关系较为复杂，结论又未给出 的表达式，不妨通过归纳法探索 的表达式：
当 时， ，
当 时， ，
……………
由此可以猜想： . ①
问题转化为证明这一猜想，再证 可被3整除。可令
当 时， 成立；假设当 和 时①式成立，则
时，由 的递推关系及
可证： ，
又由 ，故 为正整数，
为 内的纯小数。
所以 成立。
P110 例15设 满足 ，且 ，求 .
解：令 ，则
令 且
所以 利用不动点性质，有
所以 ①，又 ，令 ，则 ，所以
把上述 代入①可得 ，即 ， ，故 .