3.三角函数的图象
目标：了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数 的简图，理解 的物理意义，掌握由函数 的图象到函数 的图象的变换原理．
重点：函数 的图象到函数 的图象的变换方法．
教学过程：
一、主要知识：
1．三角函数线；注：
2．
3．
①用五点法作图
0
0A0-A0
②图象变换：平移、伸缩两个程序
③A---振幅 ----周期 ----频率
4．图象的对称性
① 的图象既是中心对称图形又是轴对称图形。
② 的图象是中心对称图形，有无穷多条垂直于x轴的渐近线。
二、主要方法：
1．“五点法”画正弦、余弦函数和函数 的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点，一个最高、一个最低点；
2．给出图象求 的解析式的难点在于 的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期 ，进而确定 ．
三、例题分析：
1．三角函数线的应用
例1：解三角不等式组
思路分析：利用三角函数线和单调性求解。
解：如图：
2．三角函数图象的变换
例2．已知函数
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合
（2）该函数的图象可由 的图象经怎样的平移和伸缩变换得到？
思路分析：利用三角变换，将 化为 求解。
解：①
②1）将函数 的图象向左平移 得函数 的图象；
2)将所得图象上各点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得函数 的图象,
3)将所得图象上各点纵坐标缩短到原来的 倍(横坐标不变),得函数 的图象,
4)将所得图象向上平移 个单位长度,到得函数 的图象,
3．由图象写解析式或由解析式作图
例3如图为某三角函数图象的一段
（1）用函数 写出其中一个解析式；
（2）求与这个函数关于直线 对称的函数解析式，并作出它一个周期内简图。
思路分析：由 ，由最值定A，由特殊值定 ，用五点法作简图。
解：（1）
由图它过 （为其中一个值）
（2） 上任意一点，该点关于直线 对称点为
关于直线 对称的函数解析式是
列表：
0
0-3030
作图：
4．三角函数的综合应用
例4已知函数f(x)＝ 为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
（Ⅰ）求f（ ）的值；
（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.
解：（Ⅰ）f(x)＝
＝
＝2sin( - )
因为 f(x)为偶函数，
所以 对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，
因此 sin（- - ）＝sin( - ).
即-sin cos( - )+cos sin( - )=sin cos( - )+cos sin( - ),
整理得 sin cos( - )=0.因为 ＞0，且x∈R,所以 cos（ - ）＝0.
又因为 0＜ ＜π，故 - ＝ .所以 f(x)＝2sin( + )=2cos .
由题意得
故 f(x)=2cos2x. 因为
（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个 个单位后，得到 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到 的图象.
当 2kπ≤ ≤2 kπ+ π (k∈Z),
即 4kπ＋≤ ≤x≤4kπ+ (k∈Z)时，g(x)单调递减.
因此g(x)的单调递减区间为 (k∈Z)
（备选例5）、已知函数
（Ⅰ）求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数 在区间 上的值域
解：（1）
由
函数图象的对称轴方程为
（2）
因为 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 当 时， 取最大值 1
又 ，当 时， 取最小值
所以 函数 在区间 上的值域为
目标：了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数 的简图，理解 的物理意义，掌握由函数 的图象到函数 的图象的变换原理．
重点：函数 的图象到函数 的图象的变换方法．
教学过程：
一、主要知识：
1．三角函数线；注：
2．
3．
①用五点法作图
0
0A0-A0
②图象变换：平移、伸缩两个程序
③A---振幅 ----周期 ----频率
4．图象的对称性
① 的图象既是中心对称图形又是轴对称图形。
② 的图象是中心对称图形，有无穷多条垂直于x轴的渐近线。
二、主要方法：
1．“五点法”画正弦、余弦函数和函数 的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点，一个最高、一个最低点；
2．给出图象求 的解析式的难点在于 的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期 ，进而确定 ．
三、例题分析：
1．三角函数线的应用
例1：解三角不等式组
思路分析：利用三角函数线和单调性求解。
解：如图：
2．三角函数图象的变换
例2．已知函数
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合
（2）该函数的图象可由 的图象经怎样的平移和伸缩变换得到？
思路分析：利用三角变换，将 化为 求解。
解：①
②1）将函数 的图象向左平移 得函数 的图象；
2)将所得图象上各点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得函数 的图象,
3)将所得图象上各点纵坐标缩短到原来的 倍(横坐标不变),得函数 的图象,
4)将所得图象向上平移 个单位长度,到得函数 的图象,
3．由图象写解析式或由解析式作图
例3如图为某三角函数图象的一段
（1）用函数 写出其中一个解析式；
（2）求与这个函数关于直线 对称的函数解析式，并作出它一个周期内简图。
思路分析：由 ，由最值定A，由特殊值定 ，用五点法作简图。
解：（1）
由图它过 （为其中一个值）
（2） 上任意一点，该点关于直线 对称点为
关于直线 对称的函数解析式是
列表：
0
0-3030
作图：
4．三角函数的综合应用
例4已知函数f(x)＝ 为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
（Ⅰ）求f（ ）的值；
（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.
解：（Ⅰ）f(x)＝
＝
＝2sin( - )
因为 f(x)为偶函数，
所以 对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，
因此 sin（- - ）＝sin( - ).
即-sin cos( - )+cos sin( - )=sin cos( - )+cos sin( - ),
整理得 sin cos( - )=0.因为 ＞0，且x∈R,所以 cos（ - ）＝0.
又因为 0＜ ＜π，故 - ＝ .所以 f(x)＝2sin( + )=2cos .
由题意得
故 f(x)=2cos2x. 因为
（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个 个单位后，得到 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到 的图象.
当 2kπ≤ ≤2 kπ+ π (k∈Z),
即 4kπ＋≤ ≤x≤4kπ+ (k∈Z)时，g(x)单调递减.
因此g(x)的单调递减区间为 (k∈Z)
（备选例5）、已知函数
（Ⅰ）求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数 在区间 上的值域
解：（1）
由
函数图象的对称轴方程为
（2）
因为 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 当 时， 取最大值 1
又 ，当 时， 取最小值
所以 函数 在区间 上的值域为
