一、参考例题
［例1］一袋中有2个白球和2个黑球，把“从中任意摸出1个球，得到白球”记作事件A，把“从剩下的3个球中任意摸出1个球，得到白球”记作事件B，那么，当事件A发生时，事件B的概率是多少？当事件A不发生时，事件B的概率又是多少？这里事件A与B能否相互独立？
分析：由于不论事件A发生与否，事件B都是等可能性事件，利用等可能性事件的概率计算公式可得当A发生时，P(B)的值和当A不发生时，P(B)的值.
解：∵当事件A发生时，P(B)= ，
当事件A不发生(即第一个取到的是黑球)时，P(B)= .
∴不论事件A发生与否，对事件B发生的概率有影响.所以事件A与B不是相互独立事件.
［例2］设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9、0.8,求：
(1)目标恰好被甲击中的概率;
(2)目标被击中的概率.
分析：设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”,由于事件A与B是相互独立的，故A与 、 与B也是相互独立的.
解：设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”.
∵甲、乙两射手独立射击,
∴事件A与B是相互独立的.
∴事件A与 、 与B都是相互独立的.
(1)∵目标恰好被甲击中，即A? 发生,
∵P(A? )=P(A)?P( )=0.9×0.2=0.18,
∴目标恰好被甲击中概率为0.18.
(2)∵目标被击中，即甲、乙两人至少有一人击中目标，即事件A? 或 ?B或A?B发生,
又∵事件A? 、 ?B、A?B彼此互斥.
∴目标被击中的概率
P(A? + ?B+A?B)
=P(A? )+P( ?B)+P(A?B)
=P(A)?P( )+P( )?P(B)+P(A)?P(B)
=0.9×0.2+0.1×0.9+0.9×0.8
=0.98.
［例3］甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？
分析：设从甲袋中任取一个球，事件A：“取得白球”，故此时事件 为“取得红球”.
设从乙袋中任取一个球，事件B：“取得白球”，故此时事件 为“取得红球”.
由于事件A与B是相互独立的，因此事件 与 也相互独立.
由于事件“从每袋中任取一个球，取得同色”的发生即为事件A?B或 ? 发生.
解：设从甲袋中任取一个球，事件A：“取得白球”，则此时事件 ：“取得红球”，从乙袋中任取一个球，取得同色球的概率为
P(A?B+ ? )=P(A?B)+P( ? )
=P(A)?P(B)+P( )?P( )
= ? ? .
［例4］甲、乙两个同时报考某一大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否录取互不影响，求：
(1)甲、乙两人都被录取的概率；
(2)甲、乙两人都不被录取的概率；
(3)其中至少一个被录取的概率；
分析：设事件A：“甲被录取”，事件B：“乙被录取”.
因为，两人是否录取相互不影响，故事件A与B相互独立.因此 与 ，A与 ， 与B都是相互独立事件.
解：设事件A“甲被录取”，事件B“乙被录取”.
∵两人录取互不影响,
∴事件A与B是相互独立事件.
∴事件 与 ，A与 ， 与B都是相互独立事件.
(1)∵甲、乙二人都被录取，即事件(A?B)发生,
∴甲、乙二人都被录取的概率
P(A?B)=P(A)?P(B)=0.6×0.7=0.42.
(2)∵甲、乙二人都不被录取，即事件( ? )发生,
∴甲、乙两人都不被录取的概率
P( ? )=P( )?P( )
=［1-P(A)］?［1-P(B)］
=0.4×0.3=0.12.
(3)∵其中至少一人被录取，即事件(A? )或( ?B)或(A?B)发生，而事件(A? )，( ，B)，(A?B)彼此互斥,
∴其中至少一人被录取的概率
P(A? + ?B+A?B)
=P(A? )+P( ?B)+P(A?B)
=P(A)?P( )+P( )?P(B)+P(A)?P(B)
=P(A)［1-P(B)］+［1-P(A)］?P(B)+P(A)?P(B)
=P(A)+P(B)-P(A)?P(B)
=0.6+0.7-0.42=0.88.
二、参考练习
1.选择题
(1)坛中仅有黑、白两种颜色大小相同的球，从中进行有放回的摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与 是
A.相互独立事件B.不相互独立事件
C.互斥事件D.对立事件
答案：A
(2)若事件A与B相互独立，则下列不相互独立的事件为
A.A与 B. 和
C.B与 D.B与A
答案：C
(3)电灯泡使用时间在1000小时以上的概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是
A.0.128B.0.096
C.0.104D.0.384
答案：B
(4)某道路的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是
A. B.
C. D.
答案：A
2.填空题
(1)设P(A)=0.3，P(B)=0.6，事件A与B是相互独立事件，则P( ?B)=________.
答案：0.42
(2)棉子的发芽率为0.9,发育为壮苗的概率为0.6.
①每穴播两粒，此穴缺苗的概率为________；此穴无壮苗的概率为________.
②每穴播三粒，此穴有苗的概率为________；此穴有壮苗的概率为________.
答案：①0.01 0.16
②1-(0.1)3 1-(1-0.6)3
(3)一个工人生产了四个零件，设事件Ak:“新生产的零件第k个是正品”(k=1,2,3,4),试用P(Ak)表示下列事件的概率(设事件Ak彼此相互独立).
①没有一个产品是次品:________;
②至少有一个产品是次品:________;
③至多有一个产品是次品:________.
答案：①P(A1)?P(A2)?P(A3)?P(A4)
②1-P(A1?A2?A3?A4)
③P( ?A2?A3?A4)+P(A1? ?A3?A4)+P(A1?A2? ?A4)+P(A1?A2?A3? )
3.解答题
(1)对飞机进行三次独立射击，第一次、第二次、第三次的命中率分别为0.4、0.5、0.7,求：
①飞机被击中一次、二次、三次的概率；
②飞机一次也没有被击中的概率.
解：①飞机被击中一次的概率
P1=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36，
飞机被击中二次的概率
P2=0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41，
飞机被击中三次的概率
P3=0.4×0.5×0.7=0.14.
②飞机一次也没有被击中的概率
P=0.6×0.5×0.3=0.09.
(2)设有10把各不相同的钥匙，其中只有一把能打开某间房门，由于不知道哪一把是这间房门的钥匙，从而只好将这些钥匙逐个试一试.如果所试开的一把钥匙是从还没有试过的钥匙中任意取出的，试求：
①第一次试能打开门的概率；
②第k次(k=1,2,…,10)试能打开门的概率.
解：①P= .
②P= ? ? … ? .
(3)在一次三人象棋对抗赛里，甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局负者；第四局，第三局胜者对第二局负者，每局比赛必须决出胜负，试计算：
①乙连胜4局的概率；
②丙连胜3局的概率.
解：①P=0.6×0.5×0.6×0.5=0.09.
②P=0.4×0.6×0.5×0.6+0.6×0.5×0.6×0.5=0.162.
评述：注意灵活分析同时发生的相互独立事件的结构，并加以概率计算.
(4)(2004全国,文20)从10位同学(其中6女,4男)中随机选出3位参加测验.每位女生能通过测验的概率均为 ,每位男生能通过测验的概率均为 .试求:
①选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率;
②10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.
解:①随机选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率为1- .
②甲、乙被选中且能通过测验的概率为 .
评述:灵活应用排列、组合、概率等基本概念及独立事件和互斥事件的概率以及概率知识解决实际问题.
(5)(2004陕、甘、宁,文20)某同学参加科普知识竞赛,需回答3个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6.且各题答对与否相互之间没有影响.
①求这名同学得300分的概率;
②求这名同学至少得300分的概率.
解:记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i=1,2,3),则
P(A1)=0.8,P(A2)=0.7,P(A3)=0.6.
①这名同学得300分的概率
P1=P(A1 A3)+P( A2A3)
=P(A1)P( )P(A3)+P( )P(A2)P(A3)
=0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6
=0.228.
②这名同学至少得300分的概率
P2=P1+P(A1A2A3)
=0.228+P(A1)P(A2)P(A3)
=0.228+0.8×0.7×0.6
=0.564.
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一、参考例题
［例1］甲、乙两同学同时解一道数学题，设事件A：“甲同学做对”，事件B：“乙同学做对”，试用事件A、B表示下列事件.
(1)甲同学做错，乙同学做对；
(2)甲、乙同学同时做错；
(3)甲、乙两同学中至少一人做对；
(4)甲、乙两同学中至多一人做对；
(5)甲、乙两同学中恰有一人做对.
分析：由于事件A：“甲同学做对”，事件B：“乙同学做对”，则 ：“甲同学做错”， ：“乙同学做错”.因为事件A与B是相互独立事件，所以A与 ， 与B， 与 都是相互独立事件.
解：(1)事件 与事件B同时发生，即 ?B;
(2)事件 与事件 同时发生，即 ? ;
(3)事件A? ， ?B，A?B互斥，其有一发生，则事件发生，即A? + ?B+A?B;
(4)事件可表示为 ? + ?B+A? .
(5)事件可表示为A? + ?B.
［例2］两台雷达独立地工作，在一段时间内，甲雷达发现飞行目标的概率为0.9,乙雷达发现目标的概率为0.85,计算在这段时间内，下列各事件的概率.
(1)甲、乙两雷达均未发现目标；
(2)至少有一台雷达发现目标；
(3)至多有一台雷达发现目标.
分析：设这段时间内，事件A：“甲雷达发现目标”，事件B：“乙雷达未发现目标”.由于两雷达独立工作，故事件A与B相互独立.
解：设事件A：“甲雷达发现目标”，事件B：“乙雷达发现目标”.
因甲、乙两台雷达独立工作，故事件A与B相互独立.所以事件A与 ， 与B， 与 也相互独立.
(1)∵甲、乙两雷达均未发现目标，即事件( ? )发生,
∴甲、乙两雷达均未发现目标的概率
P( ? )=P( )?P( )=［1-P(A)］?［1-P(B)］=0.1×0.15=0.015.
(2)解法一：∵至少有一台雷达发现目标，即事件“A? + ?B+A?B”发生,
又∵事件A? ， ?B，A?B彼此互斥,
∴所求的概率
P(A? + ?B+A?B)
=P(A? )+P( ?B)+P(A?B)
=P(A)?P( )+P( )?P(B)+P(A)?P(B)
=0.9×0.15+0.1×0.85+0.9×0.85
=0.985.
解法二：∵事件“至少有一台雷达发现目标”与事件“两台雷达均未发现目标”是对立事件,
∴所求的概率为
1-P( ? )=1-P( )?P( )=1-0.1×0.15=0.985.
(3)解法一：∵至多有一雷达发现目标，即事件A? + ?B+ ? 彼此互斥
∴所求的概率
P(A? + ?B+ ? )
=P(A? )+P( ?B)+P( ? )
=P(A)?P(B)+P( )?P(B)+P( )?P( )
=0.9×0.15+0.1×0.85+0.1×0.15
=0.235.
解法二：∵事件“至多一台雷达发现目标”与事件“两雷达同时发现目标”是对立事件,
∴所求的概率为
1-P(A?B)=1-P(A)?P(B) =1-0.9×0.85=0.235.
［例3］有甲、乙、丙3批罐头，每批100个，其中各有1个是不合法的，从三批罐头中各抽出1个，求抽出的3个中至少有1个不合格的概率.
分析：设从甲、乙、丙3批罐头中各抽出1个，得到不合格的事件分别为A、B、C；因为事件“抽出的3个中至少有1个是不合格的”与事件“抽出的3个全是合格的”是对立事件，且事件A、B、C相互独立，故所求的事件概率可求.
解：设从甲、乙、丙三批罐头中各抽出1个，得到不合格的事件分别为A、B、C；则事件A、B、C相互独立， 、 、 也相互独立.
∵事件“抽出的3个中至少有1个是不合格的”与事件“抽出的3个全是合格的”是对立事件,
∴所求的概率为1-P( ? ? ),
即1-P( )?P( )?P( )
=1- ? ?
=1-0.993≈0.03.
［例4］已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.
(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后被击中的概率；
(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？
分析：因为敌机被击中就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率.
解：(1)设敌机被第k门高炮击中的事件为Ak(k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为 ? ? ? ? .
∵事件A1，A2，A3，A4，A5相互独立,
∴敌机未被击中的概率
P( ? ? ? ? )
=P( )?P( )?P( )?P( )?P( )
=(1-0.2)5=( )5.
∴敌机被击中的概率为1-( )5.
(2)至少需要布置n门高炮才能有0.9以上概率被击中，仿(1)可得敌机被击中的概率为1-( )n,
令1-( )n＞0.9，
即( )n＜ .
两边取常用对数，得n＞ ≈10.3.
∵n∈N*,∴n=11.
∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机.
评述：逆向思维在解决带有词语“至多”“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便.
二、参考练习
1.选择题
(1)同一天内，甲地下雨的概率是0.12,乙地下雨的概率是0.15,假定在这天两地是否下雨相互之间没有影响，那么甲、乙两地都不下雨的概率是
A.0.102B.0.132
C.0.748D.0.982
答案：C
(2)一名学生体育达标的概率是 ，他连续测试2次，那么其中恰有1次达标的概
率为
A. B.
C. D.
答案：C
(3)甲、乙两人独立地解决一道数学题，已知甲能解对的概率为m，乙能解对的概率为n,那么这道数学题被得到正确解答的概率为
A.m+nB.m?n
C.1-(1-m)(1-n)D.1-m?n
答案：C
(4)甲、乙两个学生通过某种英语听力测试的概率分别为 、 ，两人同时参加测试，其中有且只有1个通过的概率是
A. B.
C. D.1
答案：C
(5)有10个均匀的正方体玩具，在它的各面上分别标以数字1，2，3，4，5，6，每次同时抛出，共抛5次，则至少有一次全部都是同一个数字的概率是
A.［1-( )10］5B.［1-( )5］10
C.1-［1-( )5］10D.1-［1-( )10］5
答案：D
2.填空题
(1)在甲盒内有螺杆200个，其中A型有160个，在乙盒内有螺母240个，其中A型有180个，若从甲、乙两盒内各任取一个，则能配套的一对螺杆、螺母的概率是________.
答案：
(2)某种大炮击中目标的概率是0.7,要以m门这种大炮同时射击一次，就可以击中目标的概率超过0.95,则m的最小值为________.
答案：3
3.解答题
(1)某两人负责照看三台机床工作，如果在某一小时内机床不需要照看的概率，第一台是0.8,第二台是0.85,第三台是0.9,假定各台机床是否需要照看相互之间没有影响，计算在这个小时内至少有1台机床要两人照看的概率为多少？
解：由题意，可得至少有一台机床要照看的概率，
P=1-0.8×0.9×0.85=0.388.
∴至少有1台要照看的概率为0.388.
(2)某篮球运动员在罚球上投篮两次，已知该运动员一次投篮进球的概率为0.8，试求下列各事件的概率. ①两次都未投进；
②只有一次投进；
③至少有一次投进；
④至多有一次投进.
解：①P=(1-0.8)2=0.04.
②P=0.8×(1-0.8)+0.2×0.8=0.32.
③P=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96.
④P=0.04+0.32=0.36.
(3)一射手射击时，命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，求该射手射击三次得到不少于27环的概率.
解：“不少于27环”即每次不少于9环,
则P=0.33+3×0.7×0.7×0.3+0.73=0.811.
∴不少于27环的概率为0.811.
(4)甲、乙两人进行射击比赛，先命中目标者为胜，已知甲、乙两人命中目标的概率都是 ，每枪都以甲先乙后的顺序进行比赛，求：
①甲先胜的概率；
②乙先胜的概率.
解：①据题意,可知甲先胜的概率
P= +…
=
= ? .
②P= ? +…
= ?［1+( )2+( )4+…］
= ? .
评述：逆向思维在解决带有词语“至多”“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便.
(5)一次数学测验共有10道单项选择题,每题都有四个选项.评分标准规定:考生每答对一题得4分,不答或答错一题倒扣1分.某考生能正确解答第1~6道题,第7~9题的四个选项中可正确排除其中一个错误选项.因此该考生从余下的三个选项中猜选一个选项.第10题因为题目根本读不懂,只好乱猜.在上述情况下,试求:
(1)该考生这次测试中得20分的概率;
(2)该考生这次测试中得30分的概率.
解:(1)设可排除一个错误选项的试题答对为事件A,乱猜的一题答对事件为B,
则P(A)= ,P(B)= ,那么得分为20分的事件相当于事件A独立重复试验3次没有1次发生而事件B不发生.
其概率为:
.
答:该考生这次测试中得20分的概率为 .
(2)得30分的事件相当于事件A独立重复试验3次有2次发生而且事件B不发生,或事件A独立重复试验3次只有1次发生而且事件B发生.
其概率
.
答：该考生这次测试中得30分的概率为 .
(6)(2004年湖北，文21)为防止某突发事件发生,有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用,单独采用甲、乙、丙、丁预防措后此突发事件不发生的概率(记为P)和所需费用如下表:
预防措施甲乙丙丁
P0.90.80.70.6
费用(万元)90603010
预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施.在总费用不超过120万元的前提下,请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.
解:方案一:单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元.由表可知采用甲措施可使此突发事件不发生的概率最大,其概率为0.9.
方案二:联合采用两种预防措施,费用不超过120万元.由表可知联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大,其概率为1-(1-0.9)(1-0.7)=0.97.
方案三:联合采用三种预防措施,费用不超过120万元,故只能联合乙、丙、丁三种预防措施,此时突发事件不发生的概率为
1-(1-0.8)(1-0.7)(1-0.6) =1-0.2×0.3×0.4=1-0.024=0.976.
综合上述三种预防方案，可知在总费用不超过120万元的前提下,联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大.
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一、参考例题
［例1］求一位病人服用某药品被治愈的概率为90%，求服用这种药的10位患有同样疾病的病人中至少有7人被治愈的概率.
分析：设事件A：“服用此药后病人被治愈，则有P(A)=90%”.
解：∵10位病人独立地服用此药相当于10次独立重复试验，至少7人被治愈即是事件A至少发生7次,
∴所求的概率
P=P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10)
= ?0.97?0.13+ ?0.98?0.12+ ?0.99?0.1+ ?0.910≈0.98.
［例2］某人参加一次考试，若五道题中解对4道则为及格，已知他解一道题的正确率为0.6,试求他能及格的概率.
分析：设事件A：“解题一道正确”则P(A)=0.6,由于解题五道相当于5次独立重复试验，且他若要获得及格需解对4题或5题，因此即在5次独立重复试验中，事件A至少发生4次.
解：设事件A：“解题一道正确”.
∵解五道题相当于5次独立重复试验，且他若要达到及格需解对其中的4道题或5道题,
∴事件A必须发生至少4次，其中“发生4次”与“发生5次”是互斥的.
∴所求的概率P=P5(4)+P5(5)= ?0.64?0.4+ ?0.65≈0.34.
［例3］设在一袋子内装有6只白球，4只黑球，从这袋子内任意取球5次，每次取一只，每次取出的球又立即放回袋子内，求在5次取球中.
(1)取得白球3次的概率；
(2)至少有1次取得白球的概率.
分析：设事件A：“取球一只得白球”，由于每次取出的球又放回袋子内，因此取球5次可以看成5次独立重复试验.
解：(1)设事件A：“取球一只，得到白球”，则P(A)= ，根据题意,可知从袋子里任意取球5次就是5次独立重复试验.
∵取得白球3次相当于事件A发生3次,
∴所求的概率P5(3)= ( )3( )2≈0.35. (2)∵在上述的5次独立重复试验中，事件A恰好发生0次的概率
P5(0)= ( )0( )5≈0.010,
∴所求的概率为1-P5(0)=1-0.01=0.99.
［例4］某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是 ，求1小时内这5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？
分析：设事件A：“一台机床需要工人照管”，则P(A)= ，且5台机床需要照管相当于5次独立重复试验.1小时内这5台机床中至少2台需要照管就是指事件A至少发生2次.
解：设事件A：“一台机床需要工人照管”，则有P(A)= .
∵5台机床需要照管相当于5次独立重复试验,
而事件A至少发生2次的概率为
1-［P5(1)+P5(0)］=1-［ ( )( )4+ ( )0( )5］≈0.37,
∴所求概率为0.37.
［例5］某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不少于0.75,至少应射击n次？
分析：设至少射击n次，事件A：“射击一次命中目标”，则P(A)=0.25.由于“射击n次至少命中1次”与“射击n次命中0次”是对立事件，故射击n次，至少命中1次的概率为1-Pn(0).
解：设至少应射击n次，事件A：“射击一次命中目标”，则P(A)=0.25.
∵射击n次相当于n次独立重复试验,
∴事件A至少发生1次的概率为
1-Pn(0)=1- (0.25)0?(1-0.25)n=1-0.75n.
令1-( )n≥ ,∴( )n≤ ,即
n≥ ≈4.82.
∵n∈N*,∴n=5.
∴至少射击5次.
二、参考练习
1.选择题
(1)在某一次试验中事件A出现的概率为P，则在n次独立重复试验中 出现k次的概率为
A.1-PkB.(1-P)k?Pn-k
C.1-(1-P)kD. (1-P)kPn-k
答案：D
(2)设在一次试验中事件A出现的概率为P，在n次独立重复试验中事件A出现k次的概率为Pk,则
A.P1+P2+…+Pn=0B.P0+P1+P2+…+Pn=1
C.P0+P1+P2+…+Pn=0D.P1+P2…+Pn=1
答案：B
2.填空题
(1)从次品率为0.05的一批产品中任取4件，恰有2件次品的概率为________.
答案： 0.052(1-0.05)2
(2)某事件在5次重复独立试验，一次也没有发生的概率为P5(0)，恰有一次发生的概率为P5(1)，则该事件至少发生1次的概率为________.
答案：1-［P5(0)+P5(1)］
3.解答题
(1)某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为 ，求：
①在任一时刻车间里有3台车床处于停车的概率；
②至少有一台处于停车的概率.
解：①P= ( )3(1- )2≈0.11.
②P=1- ( )0(1- )5≈0.13.
(2)种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：
①全部成活的概率；
②全部死亡的概率；
③恰好成活3棵的概率；
④至少成活4棵的概率.
解：①P=0.95≈0.59.
②P=(1-0.9)5=0.15.
③P= ?0.93(1-0.9)2≈0.073.
④P= ?0.94(1-0.9)+ 0.95≈0.92.
(3)用8门炮摧毁某一目标，如果至少命中2发时，目标就被摧毁，假定每门炮命中目标的概率都是0.6,若8门炮同时向目标发射一发炮弹，求目标被摧毁的概率.
解：分析题意可知“至少要有2门命中目标”其概率
P=1-P8(0)-P8(1) =1- 0.60(1-0.6)8- ?0.6?(1-0.6)7≈0.99.
(4)在抗菌素的生产中，常常需要优良菌株，若一只菌株变成优良菌株的概率是0.05,那么，从一大批经过诱变处理的菌株中，选择多少株进行培养，就能有95%以上的把握至少选到一只优良菌株？
解：设选n只菌株进行培养可得到优良菌株,
∴1-Pn(0)=1- 0.050(1-0.05)n=1-0.95n≥0.95.
∴n=58.
∴至少选择58株.
(5)甲、乙两人下棋，在每盘比赛中，甲取胜的概率为0.5,乙取胜的概率为0.4，平局的概率为0.1,他们决定不管如何都要下完三盘棋，谁胜两盘以上(含两盘)谁就是最后的胜利者，分别计算甲、乙获胜的概率.
解：甲获胜的概率
P1=3×0.52×(1-0.5)+3×0.52×0.1+0.53
=4×0.53+0.52×0.3=0.575.
乙获胜的概率
P2=3×0.42×(1-0.4)+3×0.42×0.1+0.43=0.4.
(6)甲、乙两人投篮，命中率各为0.7和0.6,每人投球三次，求下列事件的概率：
①两人都投进2球；
②两人投进的次数相等.
解：①P=［ 0.72?(1-0.7)］×［ 0.62(1-0.6)］≈0.19.
②P= [ 0.70?(1-0.7)3? 0.60?(1-0.6)3]+ [ 0.7(1-0.7)2? 0.6(1-0.6)2]+ [ 0.72(1-0.7)? 0.62?(1-0.6)]+ [ ?0.73(1-0.7)0? 0.63(1-0.6)0]≈0.148.
(7)在一次试验中，事件A发生的概率为p，求在n次独立重复试验中事件A发生奇数次的概率.
解：据题意,可知
所求概率
P= p(1-p)n-1+ p3(1-p)n-3+ p5(1-p)n-5+…+ {[(1-p)+p]n+ [(1-p)-p]n}= + (1-2p)n.
［例1］一袋中有2个白球和2个黑球，把“从中任意摸出1个球，得到白球”记作事件A，把“从剩下的3个球中任意摸出1个球，得到白球”记作事件B，那么，当事件A发生时，事件B的概率是多少？当事件A不发生时，事件B的概率又是多少？这里事件A与B能否相互独立？
分析：由于不论事件A发生与否，事件B都是等可能性事件，利用等可能性事件的概率计算公式可得当A发生时，P(B)的值和当A不发生时，P(B)的值.
解：∵当事件A发生时，P(B)= ，
当事件A不发生(即第一个取到的是黑球)时，P(B)= .
∴不论事件A发生与否，对事件B发生的概率有影响.所以事件A与B不是相互独立事件.
［例2］设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9、0.8,求：
(1)目标恰好被甲击中的概率;
(2)目标被击中的概率.
分析：设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”,由于事件A与B是相互独立的，故A与 、 与B也是相互独立的.
解：设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”.
∵甲、乙两射手独立射击,
∴事件A与B是相互独立的.
∴事件A与 、 与B都是相互独立的.
(1)∵目标恰好被甲击中，即A? 发生,
∵P(A? )=P(A)?P( )=0.9×0.2=0.18,
∴目标恰好被甲击中概率为0.18.
(2)∵目标被击中，即甲、乙两人至少有一人击中目标，即事件A? 或 ?B或A?B发生,
又∵事件A? 、 ?B、A?B彼此互斥.
∴目标被击中的概率
P(A? + ?B+A?B)
=P(A? )+P( ?B)+P(A?B)
=P(A)?P( )+P( )?P(B)+P(A)?P(B)
=0.9×0.2+0.1×0.9+0.9×0.8
=0.98.
［例3］甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？
分析：设从甲袋中任取一个球，事件A：“取得白球”，故此时事件 为“取得红球”.
设从乙袋中任取一个球，事件B：“取得白球”，故此时事件 为“取得红球”.
由于事件A与B是相互独立的，因此事件 与 也相互独立.
由于事件“从每袋中任取一个球，取得同色”的发生即为事件A?B或 ? 发生.
解：设从甲袋中任取一个球，事件A：“取得白球”，则此时事件 ：“取得红球”，从乙袋中任取一个球，取得同色球的概率为
P(A?B+ ? )=P(A?B)+P( ? )
=P(A)?P(B)+P( )?P( )
= ? ? .
［例4］甲、乙两个同时报考某一大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否录取互不影响，求：
(1)甲、乙两人都被录取的概率；
(2)甲、乙两人都不被录取的概率；
(3)其中至少一个被录取的概率；
分析：设事件A：“甲被录取”，事件B：“乙被录取”.
因为，两人是否录取相互不影响，故事件A与B相互独立.因此 与 ，A与 ， 与B都是相互独立事件.
解：设事件A“甲被录取”，事件B“乙被录取”.
∵两人录取互不影响,
∴事件A与B是相互独立事件.
∴事件 与 ，A与 ， 与B都是相互独立事件.
(1)∵甲、乙二人都被录取，即事件(A?B)发生,
∴甲、乙二人都被录取的概率
P(A?B)=P(A)?P(B)=0.6×0.7=0.42.
(2)∵甲、乙二人都不被录取，即事件( ? )发生,
∴甲、乙两人都不被录取的概率
P( ? )=P( )?P( )
=［1-P(A)］?［1-P(B)］
=0.4×0.3=0.12.
(3)∵其中至少一人被录取，即事件(A? )或( ?B)或(A?B)发生，而事件(A? )，( ，B)，(A?B)彼此互斥,
∴其中至少一人被录取的概率
P(A? + ?B+A?B)
=P(A? )+P( ?B)+P(A?B)
=P(A)?P( )+P( )?P(B)+P(A)?P(B)
=P(A)［1-P(B)］+［1-P(A)］?P(B)+P(A)?P(B)
=P(A)+P(B)-P(A)?P(B)
=0.6+0.7-0.42=0.88.
二、参考练习
1.选择题
(1)坛中仅有黑、白两种颜色大小相同的球，从中进行有放回的摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与 是
A.相互独立事件B.不相互独立事件
C.互斥事件D.对立事件
答案：A
(2)若事件A与B相互独立，则下列不相互独立的事件为
A.A与 B. 和
C.B与 D.B与A
答案：C
(3)电灯泡使用时间在1000小时以上的概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是
A.0.128B.0.096
C.0.104D.0.384
答案：B
(4)某道路的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是
A. B.
C. D.
答案：A
2.填空题
(1)设P(A)=0.3，P(B)=0.6，事件A与B是相互独立事件，则P( ?B)=________.
答案：0.42
(2)棉子的发芽率为0.9,发育为壮苗的概率为0.6.
①每穴播两粒，此穴缺苗的概率为________；此穴无壮苗的概率为________.
②每穴播三粒，此穴有苗的概率为________；此穴有壮苗的概率为________.
答案：①0.01 0.16
②1-(0.1)3 1-(1-0.6)3
(3)一个工人生产了四个零件，设事件Ak:“新生产的零件第k个是正品”(k=1,2,3,4),试用P(Ak)表示下列事件的概率(设事件Ak彼此相互独立).
①没有一个产品是次品:________;
②至少有一个产品是次品:________;
③至多有一个产品是次品:________.
答案：①P(A1)?P(A2)?P(A3)?P(A4)
②1-P(A1?A2?A3?A4)
③P( ?A2?A3?A4)+P(A1? ?A3?A4)+P(A1?A2? ?A4)+P(A1?A2?A3? )
3.解答题
(1)对飞机进行三次独立射击，第一次、第二次、第三次的命中率分别为0.4、0.5、0.7,求：
①飞机被击中一次、二次、三次的概率；
②飞机一次也没有被击中的概率.
解：①飞机被击中一次的概率
P1=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36，
飞机被击中二次的概率
P2=0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41，
飞机被击中三次的概率
P3=0.4×0.5×0.7=0.14.
②飞机一次也没有被击中的概率
P=0.6×0.5×0.3=0.09.
(2)设有10把各不相同的钥匙，其中只有一把能打开某间房门，由于不知道哪一把是这间房门的钥匙，从而只好将这些钥匙逐个试一试.如果所试开的一把钥匙是从还没有试过的钥匙中任意取出的，试求：
①第一次试能打开门的概率；
②第k次(k=1,2,…,10)试能打开门的概率.
解：①P= .
②P= ? ? … ? .
(3)在一次三人象棋对抗赛里，甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局负者；第四局，第三局胜者对第二局负者，每局比赛必须决出胜负，试计算：
①乙连胜4局的概率；
②丙连胜3局的概率.
解：①P=0.6×0.5×0.6×0.5=0.09.
②P=0.4×0.6×0.5×0.6+0.6×0.5×0.6×0.5=0.162.
评述：注意灵活分析同时发生的相互独立事件的结构，并加以概率计算.
(4)(2004全国,文20)从10位同学(其中6女,4男)中随机选出3位参加测验.每位女生能通过测验的概率均为 ,每位男生能通过测验的概率均为 .试求:
①选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率;
②10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.
解:①随机选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率为1- .
②甲、乙被选中且能通过测验的概率为 .
评述:灵活应用排列、组合、概率等基本概念及独立事件和互斥事件的概率以及概率知识解决实际问题.
(5)(2004陕、甘、宁,文20)某同学参加科普知识竞赛,需回答3个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6.且各题答对与否相互之间没有影响.
①求这名同学得300分的概率;
②求这名同学至少得300分的概率.
解:记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i=1,2,3),则
P(A1)=0.8,P(A2)=0.7,P(A3)=0.6.
①这名同学得300分的概率
P1=P(A1 A3)+P( A2A3)
=P(A1)P( )P(A3)+P( )P(A2)P(A3)
=0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6
=0.228.
②这名同学至少得300分的概率
P2=P1+P(A1A2A3)
=0.228+P(A1)P(A2)P(A3)
=0.228+0.8×0.7×0.6
=0.564.
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一、参考例题
［例1］甲、乙两同学同时解一道数学题，设事件A：“甲同学做对”，事件B：“乙同学做对”，试用事件A、B表示下列事件.
(1)甲同学做错，乙同学做对；
(2)甲、乙同学同时做错；
(3)甲、乙两同学中至少一人做对；
(4)甲、乙两同学中至多一人做对；
(5)甲、乙两同学中恰有一人做对.
分析：由于事件A：“甲同学做对”，事件B：“乙同学做对”，则 ：“甲同学做错”， ：“乙同学做错”.因为事件A与B是相互独立事件，所以A与 ， 与B， 与 都是相互独立事件.
解：(1)事件 与事件B同时发生，即 ?B;
(2)事件 与事件 同时发生，即 ? ;
(3)事件A? ， ?B，A?B互斥，其有一发生，则事件发生，即A? + ?B+A?B;
(4)事件可表示为 ? + ?B+A? .
(5)事件可表示为A? + ?B.
［例2］两台雷达独立地工作，在一段时间内，甲雷达发现飞行目标的概率为0.9,乙雷达发现目标的概率为0.85,计算在这段时间内，下列各事件的概率.
(1)甲、乙两雷达均未发现目标；
(2)至少有一台雷达发现目标；
(3)至多有一台雷达发现目标.
分析：设这段时间内，事件A：“甲雷达发现目标”，事件B：“乙雷达未发现目标”.由于两雷达独立工作，故事件A与B相互独立.
解：设事件A：“甲雷达发现目标”，事件B：“乙雷达发现目标”.
因甲、乙两台雷达独立工作，故事件A与B相互独立.所以事件A与 ， 与B， 与 也相互独立.
(1)∵甲、乙两雷达均未发现目标，即事件( ? )发生,
∴甲、乙两雷达均未发现目标的概率
P( ? )=P( )?P( )=［1-P(A)］?［1-P(B)］=0.1×0.15=0.015.
(2)解法一：∵至少有一台雷达发现目标，即事件“A? + ?B+A?B”发生,
又∵事件A? ， ?B，A?B彼此互斥,
∴所求的概率
P(A? + ?B+A?B)
=P(A? )+P( ?B)+P(A?B)
=P(A)?P( )+P( )?P(B)+P(A)?P(B)
=0.9×0.15+0.1×0.85+0.9×0.85
=0.985.
解法二：∵事件“至少有一台雷达发现目标”与事件“两台雷达均未发现目标”是对立事件,
∴所求的概率为
1-P( ? )=1-P( )?P( )=1-0.1×0.15=0.985.
(3)解法一：∵至多有一雷达发现目标，即事件A? + ?B+ ? 彼此互斥
∴所求的概率
P(A? + ?B+ ? )
=P(A? )+P( ?B)+P( ? )
=P(A)?P(B)+P( )?P(B)+P( )?P( )
=0.9×0.15+0.1×0.85+0.1×0.15
=0.235.
解法二：∵事件“至多一台雷达发现目标”与事件“两雷达同时发现目标”是对立事件,
∴所求的概率为
1-P(A?B)=1-P(A)?P(B) =1-0.9×0.85=0.235.
［例3］有甲、乙、丙3批罐头，每批100个，其中各有1个是不合法的，从三批罐头中各抽出1个，求抽出的3个中至少有1个不合格的概率.
分析：设从甲、乙、丙3批罐头中各抽出1个，得到不合格的事件分别为A、B、C；因为事件“抽出的3个中至少有1个是不合格的”与事件“抽出的3个全是合格的”是对立事件，且事件A、B、C相互独立，故所求的事件概率可求.
解：设从甲、乙、丙三批罐头中各抽出1个，得到不合格的事件分别为A、B、C；则事件A、B、C相互独立， 、 、 也相互独立.
∵事件“抽出的3个中至少有1个是不合格的”与事件“抽出的3个全是合格的”是对立事件,
∴所求的概率为1-P( ? ? ),
即1-P( )?P( )?P( )
=1- ? ?
=1-0.993≈0.03.
［例4］已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.
(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后被击中的概率；
(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？
分析：因为敌机被击中就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率.
解：(1)设敌机被第k门高炮击中的事件为Ak(k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为 ? ? ? ? .
∵事件A1，A2，A3，A4，A5相互独立,
∴敌机未被击中的概率
P( ? ? ? ? )
=P( )?P( )?P( )?P( )?P( )
=(1-0.2)5=( )5.
∴敌机被击中的概率为1-( )5.
(2)至少需要布置n门高炮才能有0.9以上概率被击中，仿(1)可得敌机被击中的概率为1-( )n,
令1-( )n＞0.9，
即( )n＜ .
两边取常用对数，得n＞ ≈10.3.
∵n∈N*,∴n=11.
∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机.
评述：逆向思维在解决带有词语“至多”“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便.
二、参考练习
1.选择题
(1)同一天内，甲地下雨的概率是0.12,乙地下雨的概率是0.15,假定在这天两地是否下雨相互之间没有影响，那么甲、乙两地都不下雨的概率是
A.0.102B.0.132
C.0.748D.0.982
答案：C
(2)一名学生体育达标的概率是 ，他连续测试2次，那么其中恰有1次达标的概
率为
A. B.
C. D.
答案：C
(3)甲、乙两人独立地解决一道数学题，已知甲能解对的概率为m，乙能解对的概率为n,那么这道数学题被得到正确解答的概率为
A.m+nB.m?n
C.1-(1-m)(1-n)D.1-m?n
答案：C
(4)甲、乙两个学生通过某种英语听力测试的概率分别为 、 ，两人同时参加测试，其中有且只有1个通过的概率是
A. B.
C. D.1
答案：C
(5)有10个均匀的正方体玩具，在它的各面上分别标以数字1，2，3，4，5，6，每次同时抛出，共抛5次，则至少有一次全部都是同一个数字的概率是
A.［1-( )10］5B.［1-( )5］10
C.1-［1-( )5］10D.1-［1-( )10］5
答案：D
2.填空题
(1)在甲盒内有螺杆200个，其中A型有160个，在乙盒内有螺母240个，其中A型有180个，若从甲、乙两盒内各任取一个，则能配套的一对螺杆、螺母的概率是________.
答案：
(2)某种大炮击中目标的概率是0.7,要以m门这种大炮同时射击一次，就可以击中目标的概率超过0.95,则m的最小值为________.
答案：3
3.解答题
(1)某两人负责照看三台机床工作，如果在某一小时内机床不需要照看的概率，第一台是0.8,第二台是0.85,第三台是0.9,假定各台机床是否需要照看相互之间没有影响，计算在这个小时内至少有1台机床要两人照看的概率为多少？
解：由题意，可得至少有一台机床要照看的概率，
P=1-0.8×0.9×0.85=0.388.
∴至少有1台要照看的概率为0.388.
(2)某篮球运动员在罚球上投篮两次，已知该运动员一次投篮进球的概率为0.8，试求下列各事件的概率. ①两次都未投进；
②只有一次投进；
③至少有一次投进；
④至多有一次投进.
解：①P=(1-0.8)2=0.04.
②P=0.8×(1-0.8)+0.2×0.8=0.32.
③P=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96.
④P=0.04+0.32=0.36.
(3)一射手射击时，命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，求该射手射击三次得到不少于27环的概率.
解：“不少于27环”即每次不少于9环,
则P=0.33+3×0.7×0.7×0.3+0.73=0.811.
∴不少于27环的概率为0.811.
(4)甲、乙两人进行射击比赛，先命中目标者为胜，已知甲、乙两人命中目标的概率都是 ，每枪都以甲先乙后的顺序进行比赛，求：
①甲先胜的概率；
②乙先胜的概率.
解：①据题意,可知甲先胜的概率
P= +…
=
= ? .
②P= ? +…
= ?［1+( )2+( )4+…］
= ? .
评述：逆向思维在解决带有词语“至多”“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便.
(5)一次数学测验共有10道单项选择题,每题都有四个选项.评分标准规定:考生每答对一题得4分,不答或答错一题倒扣1分.某考生能正确解答第1~6道题,第7~9题的四个选项中可正确排除其中一个错误选项.因此该考生从余下的三个选项中猜选一个选项.第10题因为题目根本读不懂,只好乱猜.在上述情况下,试求:
(1)该考生这次测试中得20分的概率;
(2)该考生这次测试中得30分的概率.
解:(1)设可排除一个错误选项的试题答对为事件A,乱猜的一题答对事件为B,
则P(A)= ,P(B)= ,那么得分为20分的事件相当于事件A独立重复试验3次没有1次发生而事件B不发生.
其概率为:
.
答:该考生这次测试中得20分的概率为 .
(2)得30分的事件相当于事件A独立重复试验3次有2次发生而且事件B不发生,或事件A独立重复试验3次只有1次发生而且事件B发生.
其概率
.
答：该考生这次测试中得30分的概率为 .
(6)(2004年湖北，文21)为防止某突发事件发生,有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用,单独采用甲、乙、丙、丁预防措后此突发事件不发生的概率(记为P)和所需费用如下表:
预防措施甲乙丙丁
P0.90.80.70.6
费用(万元)90603010
预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施.在总费用不超过120万元的前提下,请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.
解:方案一:单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元.由表可知采用甲措施可使此突发事件不发生的概率最大,其概率为0.9.
方案二:联合采用两种预防措施,费用不超过120万元.由表可知联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大,其概率为1-(1-0.9)(1-0.7)=0.97.
方案三:联合采用三种预防措施,费用不超过120万元,故只能联合乙、丙、丁三种预防措施,此时突发事件不发生的概率为
1-(1-0.8)(1-0.7)(1-0.6) =1-0.2×0.3×0.4=1-0.024=0.976.
综合上述三种预防方案，可知在总费用不超过120万元的前提下,联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大.
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一、参考例题
［例1］求一位病人服用某药品被治愈的概率为90%，求服用这种药的10位患有同样疾病的病人中至少有7人被治愈的概率.
分析：设事件A：“服用此药后病人被治愈，则有P(A)=90%”.
解：∵10位病人独立地服用此药相当于10次独立重复试验，至少7人被治愈即是事件A至少发生7次,
∴所求的概率
P=P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10)
= ?0.97?0.13+ ?0.98?0.12+ ?0.99?0.1+ ?0.910≈0.98.
［例2］某人参加一次考试，若五道题中解对4道则为及格，已知他解一道题的正确率为0.6,试求他能及格的概率.
分析：设事件A：“解题一道正确”则P(A)=0.6,由于解题五道相当于5次独立重复试验，且他若要获得及格需解对4题或5题，因此即在5次独立重复试验中，事件A至少发生4次.
解：设事件A：“解题一道正确”.
∵解五道题相当于5次独立重复试验，且他若要达到及格需解对其中的4道题或5道题,
∴事件A必须发生至少4次，其中“发生4次”与“发生5次”是互斥的.
∴所求的概率P=P5(4)+P5(5)= ?0.64?0.4+ ?0.65≈0.34.
［例3］设在一袋子内装有6只白球，4只黑球，从这袋子内任意取球5次，每次取一只，每次取出的球又立即放回袋子内，求在5次取球中.
(1)取得白球3次的概率；
(2)至少有1次取得白球的概率.
分析：设事件A：“取球一只得白球”，由于每次取出的球又放回袋子内，因此取球5次可以看成5次独立重复试验.
解：(1)设事件A：“取球一只，得到白球”，则P(A)= ，根据题意,可知从袋子里任意取球5次就是5次独立重复试验.
∵取得白球3次相当于事件A发生3次,
∴所求的概率P5(3)= ( )3( )2≈0.35. (2)∵在上述的5次独立重复试验中，事件A恰好发生0次的概率
P5(0)= ( )0( )5≈0.010,
∴所求的概率为1-P5(0)=1-0.01=0.99.
［例4］某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是 ，求1小时内这5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？
分析：设事件A：“一台机床需要工人照管”，则P(A)= ，且5台机床需要照管相当于5次独立重复试验.1小时内这5台机床中至少2台需要照管就是指事件A至少发生2次.
解：设事件A：“一台机床需要工人照管”，则有P(A)= .
∵5台机床需要照管相当于5次独立重复试验,
而事件A至少发生2次的概率为
1-［P5(1)+P5(0)］=1-［ ( )( )4+ ( )0( )5］≈0.37,
∴所求概率为0.37.
［例5］某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不少于0.75,至少应射击n次？
分析：设至少射击n次，事件A：“射击一次命中目标”，则P(A)=0.25.由于“射击n次至少命中1次”与“射击n次命中0次”是对立事件，故射击n次，至少命中1次的概率为1-Pn(0).
解：设至少应射击n次，事件A：“射击一次命中目标”，则P(A)=0.25.
∵射击n次相当于n次独立重复试验,
∴事件A至少发生1次的概率为
1-Pn(0)=1- (0.25)0?(1-0.25)n=1-0.75n.
令1-( )n≥ ,∴( )n≤ ,即
n≥ ≈4.82.
∵n∈N*,∴n=5.
∴至少射击5次.
二、参考练习
1.选择题
(1)在某一次试验中事件A出现的概率为P，则在n次独立重复试验中 出现k次的概率为
A.1-PkB.(1-P)k?Pn-k
C.1-(1-P)kD. (1-P)kPn-k
答案：D
(2)设在一次试验中事件A出现的概率为P，在n次独立重复试验中事件A出现k次的概率为Pk,则
A.P1+P2+…+Pn=0B.P0+P1+P2+…+Pn=1
C.P0+P1+P2+…+Pn=0D.P1+P2…+Pn=1
答案：B
2.填空题
(1)从次品率为0.05的一批产品中任取4件，恰有2件次品的概率为________.
答案： 0.052(1-0.05)2
(2)某事件在5次重复独立试验，一次也没有发生的概率为P5(0)，恰有一次发生的概率为P5(1)，则该事件至少发生1次的概率为________.
答案：1-［P5(0)+P5(1)］
3.解答题
(1)某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为 ，求：
①在任一时刻车间里有3台车床处于停车的概率；
②至少有一台处于停车的概率.
解：①P= ( )3(1- )2≈0.11.
②P=1- ( )0(1- )5≈0.13.
(2)种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：
①全部成活的概率；
②全部死亡的概率；
③恰好成活3棵的概率；
④至少成活4棵的概率.
解：①P=0.95≈0.59.
②P=(1-0.9)5=0.15.
③P= ?0.93(1-0.9)2≈0.073.
④P= ?0.94(1-0.9)+ 0.95≈0.92.
(3)用8门炮摧毁某一目标，如果至少命中2发时，目标就被摧毁，假定每门炮命中目标的概率都是0.6,若8门炮同时向目标发射一发炮弹，求目标被摧毁的概率.
解：分析题意可知“至少要有2门命中目标”其概率
P=1-P8(0)-P8(1) =1- 0.60(1-0.6)8- ?0.6?(1-0.6)7≈0.99.
(4)在抗菌素的生产中，常常需要优良菌株，若一只菌株变成优良菌株的概率是0.05,那么，从一大批经过诱变处理的菌株中，选择多少株进行培养，就能有95%以上的把握至少选到一只优良菌株？
解：设选n只菌株进行培养可得到优良菌株,
∴1-Pn(0)=1- 0.050(1-0.05)n=1-0.95n≥0.95.
∴n=58.
∴至少选择58株.
(5)甲、乙两人下棋，在每盘比赛中，甲取胜的概率为0.5,乙取胜的概率为0.4，平局的概率为0.1,他们决定不管如何都要下完三盘棋，谁胜两盘以上(含两盘)谁就是最后的胜利者，分别计算甲、乙获胜的概率.
解：甲获胜的概率
P1=3×0.52×(1-0.5)+3×0.52×0.1+0.53
=4×0.53+0.52×0.3=0.575.
乙获胜的概率
P2=3×0.42×(1-0.4)+3×0.42×0.1+0.43=0.4.
(6)甲、乙两人投篮，命中率各为0.7和0.6,每人投球三次，求下列事件的概率：
①两人都投进2球；
②两人投进的次数相等.
解：①P=［ 0.72?(1-0.7)］×［ 0.62(1-0.6)］≈0.19.
②P= [ 0.70?(1-0.7)3? 0.60?(1-0.6)3]+ [ 0.7(1-0.7)2? 0.6(1-0.6)2]+ [ 0.72(1-0.7)? 0.62?(1-0.6)]+ [ ?0.73(1-0.7)0? 0.63(1-0.6)0]≈0.148.
(7)在一次试验中，事件A发生的概率为p，求在n次独立重复试验中事件A发生奇数次的概率.
解：据题意,可知
所求概率
P= p(1-p)n-1+ p3(1-p)n-3+ p5(1-p)n-5+…+ {[(1-p)+p]n+ [(1-p)-p]n}= + (1-2p)n.
