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几何圆锥曲线

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M
第十章 圆锥曲线
★知识网络★



第1讲 椭圆
★知识梳理★
1. 椭圆定义:
(1)第一定义:平面内与两个定点 的距离之和为常数 的动点 的轨迹叫椭圆,其中两个定点 叫椭圆的焦点.
当 时, 的轨迹为椭圆 ; ;
当 时, 的轨迹不存在;
当 时, 的轨迹为 以 为端点的线段
(2)椭圆的第二定义:平面内到定点 与定直线 (定点 不在定直线 上)的距离之比是常数 ( )的点的轨迹为椭圆
(利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化).


2.椭圆的方程与几何性质:
标准方程





质参数关系

焦点


焦距

范围


顶点


对称性关于x轴、y轴和原点对称
离心率

准线



3.点 与椭圆 的位置关系:
当 时,点 在椭圆外; 当 时,点 在椭圆内; 当 时,点 在椭圆上;
4.直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆相交 ;直线与椭圆相切 ;直线与椭圆相离
★重难点突破★
重点:掌握椭圆的定义标准方程,会用定义和求椭圆的标准方程,能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用
难点:椭圆的几何元素与参数 的转换
重难点:运用数形结合,围绕“焦点三角形”,用代数方法研究椭圆的性质,把握几何元素转换成参数 的关系
1.要有用定义的意识
问题1已知 为椭圆 的两个焦点,过 的直线交椭圆于A、B两点若 ,则 =______________。
[解析] 的周长为 , =8
2.求标准方程要注意焦点的定位
问题2椭圆 的离心率为 ,则
[解析]当焦点在 轴上时, ;
当焦点在 轴上时, ,
综上 或3
★热点考点题型探析★
考点1 椭圆定义及标准方程
题型1:椭圆定义的运用
[例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、B是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径不计),从点A沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是
A.4aB.2(a-c)C.2(a+c)D.以上答案均有可能
[解析]按小球的运行路径分三种情况:
(1) ,此时小球经过的路程为2(a-c);
(2) , 此时小球经过的路程为2(a+c);
(3) 此时小球经过的路程为4a,故选D
【名师指引】考虑小球的运行路径要全面
【新题导练】
1. (2007?佛山南海)短轴长为 ,离心率 的椭圆两焦点为F1,F2,过F1作直线交椭圆于A、B两点,则△ABF2的周长为( )
A.3 B.6 C.12 D.24
[解析]C. 长半轴a=3,△ABF2的周长为4a=12
2. (广雅中学2008―2009学年度上学期期中考)已知 为椭圆 上的一点, 分别为圆 和圆 上的点,则 的最小值为( )
A. 5 B. 7 C .13 D. 15
[解析]B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点, , 的最小值为10-1-2=7
题型2 求椭圆的标准方程
[例2 ]设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为 -4,求此椭圆方程.
【解题思路】将题中所给条件用关于参数 的式子“描述”出来
[解析]设椭圆的方程为 或 ,
则 ,
解之得: ,b=c=4.则所求的椭圆的方程为 或 .
【名师指引】准确把握图形特征,正确转化出参数 的数量关系.
[警示]易漏焦点在y轴上的情况.
【新题导练】
3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆,那么实数k的取值范围是____________.
[解析](0,1). 椭圆方程化为 + =1. 焦点在y轴上,则 >2,即k<1.
又k>0,∴04.已知方程 ,讨论方程表示的曲线的形状
[解析]当 时, ,方程表示焦点在y轴上的椭圆,
当 时, ,方程表示圆心在原点的圆,
当 时, ,方程表示焦点在x轴上的椭圆
5. 椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离是 ,求这个椭圆方程.
[解析] , ,所求方程为 + =1或 + =1.
考点2 椭圆的几何性质
题型1:求椭圆的离心率(或范围)
[例3 ] 在 中, .若以 为焦点的椭圆经过点 ,则该椭圆的离心率 .
【解题思路】由条件知三角形可解,然后用定义即可求出离心率
[解析] ,


【名师指引】(1)离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量,决定了椭圆的形状;反之,形状确定,离心率也随之确定
(2)只要列出 的齐次关系式,就能求出离心率(或范围)
(3)“焦点三角形”应给予足够关注
【新题导练】
6. (执信中学2008-2009学年度第一学期高三期中考试)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为
. . . .
[解析]选
7. (江苏盐城市三星级高中2009届第一协作片联考)已知m,n,m+n成等差数列,m,n,mn成等比数列,则椭圆 的离心率为
[解析]由 ,椭圆 的离心率为
8. (山东济宁2007―2008学年度高三第一阶段质量检测)
我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星,并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m,远地点到地心的距离为n,第二次变轨后两距离分别为2m、2n(近地点是指卫星距离地面最近的点,远地点是距离地面最远的点),则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率( )
A.不变 B. 变小 C. 变大 D.无法确定
[解析] , ,选A
题型2:椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等)
[例4 ] 已知实数 满足 ,求 的最大值与最小值
【解题思路】 把 看作 的函数
[解析] 由 得 ,


当 时, 取得最小值 ,当 时, 取得最大值6
【名师指引】注意曲线的范围,才能在求最值时不出差错
【新题导练】
9.已知点 是椭圆 ( , )上两点,且 ,则 =
[解析] 由 知点 共线,因椭圆关于原点对称,
10.如图,把椭圆 的长轴 分成 等份,过每个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部分于 七个点, 是椭圆的一个焦点
则 ________________
[解析]由椭圆的对称性知: .
考点3 椭圆的最值问题
题型: 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值
[例5 ]椭圆 上的点到直线l: 的距离的最小值为___________.
【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数
[解析]在椭圆上任取一点P,设P( ). 那么点P到直线l的距离为:
    
【名师指引】也可以直接设点 ,用 表示 后,把动点到直线的距离表示为 的函数,关键是要具有“函数思想”
【新题导练】
11.椭圆 的内接矩形的面积的最大值为
[解析]设内接矩形的一个顶点为 ,
矩形的面积
12. 是椭圆 上一点, 、 是椭圆的两个焦点,求 的最大值与最小值
[解析]
当 时, 取得最大值 ,
当 时, 取得最小值
13. (2007?惠州)已知点 是椭圆 上的在第一象限内的点,又 、 ,
是原点,则四边形 的面积的最大值是_________.
[解析] 设 ,则
考点4 椭圆的综合应用
题型:椭圆与向量、解三角形的交汇问题
[例6 ] 已知椭圆 的中心为坐标原点 ,一个长轴端点为 ,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,直线 与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且 .
(1)求椭圆方程;
(2)求m的取值范围.
【解题思路】通过 ,沟通A、B两点的坐标关系,再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式
[解析](1)由题意可知椭圆 为焦点在 轴上的椭圆,可设
由条件知 且 ,又有 ,解得
故椭圆 的离心率为 ,其标准方程为:
(2)设l与椭圆C交点为A(x1,y1),B(x2,y2)
y=kx+m2x2+y2=1 得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0
Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0 (*)
x1+x2=-2kmk2+2, x1x2=m2-1k2+2 
∵AP=3PB ∴-x1=3x2 ∴x1+x2=-2x2x1x2=-3x22
消去x2,得3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴3(-2kmk2+2)2+4m2-1k2+2=0
整理得4k2m2+2m2-k2-2=0 
m2=14时,上式不成立;m2≠14时,k2=2-2m24m2-1,
因λ=3 ∴k≠0 ∴k2=2-2m24m2-1>0,∴-1容易验证k2>2m2-2成立,所以(*)成立
即所求m的取值范围为(-1,-12)∪(12,1)
【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一,应充分重视向量的功能
【新题导练】
14. (2007?广州四校联考)设过点 的直线分别与 轴的正半轴和 轴的正半轴交于 、 两点,点 与点 关于 轴对称, 为坐标原点,若 ,且 ,则 点的轨迹方程是 ( )
A. B.
C. D.
[解析] ,选A.
15. 如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=2,AC= 。一曲线E过点C,动点P在曲线E上运动,且保持PA+PB的值不变,直线l经过A与曲线E交于M、N两点。
(1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程;
(2)设直线l的斜率为k,若∠MBN为钝角,求k的取值范围。

解:(1)以AB所在直线为x轴,AB的中点O为原点建立直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0)
由题设可得

∴动点P的轨迹方程为 ,

∴曲线E方程为
(2)直线MN的方程为


∴方程有两个不等的实数根

∵∠MBN是钝角


解得:
又M、B、N三点不共线

综上所述,k的取值范围是
★~~抢分频道★
基础巩固训练
1. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线 与BF交于D,且 ,则椭圆的离心率为( )
A B C D
[解析] B .
2. (广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试)设F1、F2为椭圆 +y2=1的两焦点,P在椭圆上,当△F1PF2面积为1时, 的值为
A、0  B、1  C、2  D、3
[解析] A . , P的纵坐标为 ,从而P的坐标为 , 0,
3. (广东广雅中学2008―2009学年度上学期期中考)椭圆 的一条弦被 平分,那么这条弦所在的直线方程是
A. B. C. D.
[解析] D. , ,两式相减得: , ,
4.在 中, , .若以 为焦点的椭圆经过点 ,则该椭圆的离心率 .
[解析]
5. 已知 为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若 , 则此椭圆的离心率为 _________.
[解析] [三角形三边的比是 ]
6. (2008江苏)在平面直角坐标系中,椭圆 1( 0)的焦距为2,以O为圆心, 为半径的圆,过点 作圆的两切线互相垂直,则离心率 = .
[解析]
综合提高训练
7、已知椭圆 与过点A(2,0),B(0,1)的直线l有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率 .求椭圆方程
[解析]直线l的方程为:
  由已知  ①
由  得:
  ∴ ,即  ②
由①②得:
  故椭圆E方程为
8. (广东省汕头市金山中学2008-2009学年高三第一次月考)
已知A、B分别是椭圆 的左右两个焦点,O为坐标原点,点P )在椭圆上,线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点,对于△ABC,求 的值。
[解析](1)∵点 是线段 的中点
∴ 是△ 的中位线
又 ∴

∴椭圆的标准方程为 =1
(2)∵点C在椭圆上,A、B是椭圆的两个焦点
∴AC+BC=2a= ,AB=2c=2

在△ABC中,由正弦定理,
∴ =
9. (海珠区2009届高三综合测试二)已知长方形ABCD, AB=2 ,BC=1.以AB的中点 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系 .
(Ⅰ)求以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P(0,2)的直线 交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线 ,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线 的方程;若不存在,说明理由.
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