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古典概型

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基础训练
1.将1枚硬币抛2次,恰好出现1次正面的概率是
2.任意说出星期一到星期日中的两天(不重复),其中恰有一天是星期六的概率是
3.某银行储蓄卡上的密码是一种4位数字号码,每位上的数字可在0,1,2,…,9这10个数字中选取,某人未记住密码的最后一位数字,若按下密码的最后一位数字,则正好按对密码的概率是
4.连续3次抛掷一枚硬币,则正、反面交替出现 的概率是
5.在坐标平面内,点 在x轴上方的概 率是
典型例题
例1 掷一颗骰子,观察掷出的点数,求掷得奇数点的概率。
分析:掷骰子有6个基本事件,具有有限性和等可能性, 因此是古典概型。
解:这个试验的基本事件共有6个,即(出现1点)、(出现2点)……、(出现6点)
所以基本事件数n=6,
事件A=(掷得奇数点)=(出现1点,出现3点,出现5点),
其包含的基本事件数m=3
所以,P(A)= = = =0.5
小结:利用古典概型的计算公式时应注意两点:
(1)所有的基本事件必须是互斥的;
(2)m为事件A所包含的基本事件数,求m值时,要做到不重不漏。
例2 从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
解:每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有6个,即(a1,a2)和,(a1,b2),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b2,a2)。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中,恰好有一件次品”这一事件,则
A=[(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)]
事件A由4个基本事件组成,因而,P(A)= =
例3 现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品:
(1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续3次取出的都是正品的概率;
(2)如果从中一次取3件,求3件都是正品的概率.
分析:(1)为返 回抽样;(2)为不返回抽样.
解:(1)有放回地抽取3次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x,y,z都有10种可能,所以试验结果有10×10×10=103种;设事件A为“连续3次都取正品”,则包含的基本事件共有8×8×8=83种,因此,P(A)= =0.512.
(2)解法1:可以看作不放回抽样3次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z),则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,所以试验的所有结果为10×9×8=720种.设事件B为“3件都是正品”,则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467.
解法2:可以看作不 放回3次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,但(x,y,z),(x,z,y),(y,x,z),(y,z,x),(z,x,y),(z,y,x),是相同的,所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120,按同样的方法,事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56,因此P(B)= ≈0.467.
小结:关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其结 果是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导致错误.
课堂精炼
1.从一副扑克牌(54张)中抽一张牌,抽到牌“K”的概率是 。
答案:
2.将一枚硬币抛两次,恰好出现一次正面的概率是 。
答案:
3.从标有1,2,3,4,5,6,7, 8,9的9张纸片中任取2张,那么这2 张纸片数字之积为偶数的概率为 。
答案: 4.同时掷两枚骰子,所得点数之和为5的概率为 ;
点数之和大于9的概率为 。
答案: ;
5.一个口袋里装有2个白球和2个黑球,这4 个球除颜色外完全相同,从中摸出2个球,则1个是白球,1个是黑球的概率是 。
答案:
6.先后抛3枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率为 。
答案:
7.一个正方体,它的表面涂满了红色,在它的每个面上切两刀,可得27个小正方体,从中任取一个它恰有一个面涂有红色的概率是 。
答案:
8.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个,则这两个数正好相差1的概率是________。
答案:
9.口袋里装有两个白球和两个黑球,这四个球除颜色外完全相同,四个人按顺序依次从中摸出一球,试求“第二个人摸到白球”的概率。
答案:把四人依次编号为甲、乙、丙、丁,把两白球编上序号1、2,把两黑球也 编上序号1、2,于是四个人按顺序依 次从袋内摸出一个球的所有可能结果,可用树形图直观地表示出来如 下:
从上面的树形图可以看出,试验的所有可能结果数为24,第二人摸到白球的结果有12种,记“第二个人摸到白球”为事件A,则 。
10.袋中有红、白色球各一个,每次任取一个,有放回地抽三次,写出所有的基本事件,并计算下列事件的概率:(1)三次颜色恰有两次同色; (2)三次颜色全相同;
(3)三次抽取 的球中红色球出现的次数多于白色球出现的次数。
答案:(红红红)(红红白)(红白红)(白红红)(红白白)(白红白)(白白红)(白白白)
(1) (2) (3)
11.已知集合 , ;
(1)求 为一次函数的概率; (2)求 为二次函数的概率。
答案:(1) (2)
12.连续掷两次骰子,以先后得到的点数 为点 的坐标,设圆 的方程为 ;
(1)求点 在圆 上的概率; (2)求 点 在圆 外的概率。
答案:(1) (2)
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