基础训练
1．将1枚硬币抛2次，恰好出现1次正面的概率是
2．任意说出星期一到星期日中的两天（不重复），其中恰有一天是星期六的概率是
3．某银行储蓄卡上的密码是一种4位数字号码，每位上的数字可在0，1，2，…，9这10个数字中选取，某人未记住密码的最后一位数字，若按下密码的最后一位数字，则正好按对密码的概率是
4．连续3次抛掷一枚硬币，则正、反面交替出现 的概率是
5．在坐标平面内，点 在x轴上方的概 率是
典型例题
例1 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。
分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性， 因此是古典概型。
解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）
所以基本事件数n=6，
事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），
其包含的基本事件数m=3
所以，P（A）= = = =0.5
小结：利用古典概型的计算公式时应注意两点：
（1）所有的基本事件必须是互斥的；
（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。
例2 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则
A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]
事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）= =
例3 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
分析：（1）为返 回抽样；（2）为不返回抽样．
解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P(A)= =0.512．
（2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467．
解法2：可以看作不 放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467．
小结：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结 果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．
课堂精炼
1.从一副扑克牌(54张)中抽一张牌，抽到牌“K”的概率是 。
答案：
2.将一枚硬币抛两次,恰好出现一次正面的概率是 。
答案：
3.从标有1,2,3,4,5,6,7, 8,9的9张纸片中任取2张,那么这2 张纸片数字之积为偶数的概率为 。
答案： 4.同时掷两枚骰子,所得点数之和为5的概率为 ；
点数之和大于9的概率为 。
答案： ；
5.一个口袋里装有2个白球和2个黑球,这4 个球除颜色外完全相同,从中摸出2个球,则1个是白球,1个是黑球的概率是 。
答案：
6.先后抛3枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率为 。
答案：
7．一个正方体，它的表面涂满了红色，在它的每个面上切两刀，可得27个小正方体，从中任取一个它恰有一个面涂有红色的概率是 。
答案：
8.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个,则这两个数正好相差1的概率是________。
答案：
9．口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出一球，试求“第二个人摸到白球”的概率。
答案：把四人依次编号为甲、乙、丙、丁，把两白球编上序号1、2，把两黑球也 编上序号1、2，于是四个人按顺序依 次从袋内摸出一个球的所有可能结果，可用树形图直观地表示出来如 下：
从上面的树形图可以看出，试验的所有可能结果数为24，第二人摸到白球的结果有12种，记“第二个人摸到白球”为事件A，则 。
10．袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽三次，写出所有的基本事件，并计算下列事件的概率：（1）三次颜色恰有两次同色； （2）三次颜色全相同；
（3）三次抽取 的球中红色球出现的次数多于白色球出现的次数。
答案：（红红红）（红红白）（红白红）（白红红）（红白白）（白红白）（白白红）（白白白）
（1） （2） （3）
11．已知集合 ， ；
（1）求 为一次函数的概率； （2）求 为二次函数的概率。
答案：（1） （2）
12．连续掷两次骰子，以先后得到的点数 为点 的坐标，设圆 的方程为 ；
（1）求点 在圆 上的概率； （2）求 点 在圆 外的概率。
答案：（1） （2）
1．将1枚硬币抛2次，恰好出现1次正面的概率是
2．任意说出星期一到星期日中的两天（不重复），其中恰有一天是星期六的概率是
3．某银行储蓄卡上的密码是一种4位数字号码，每位上的数字可在0，1，2，…，9这10个数字中选取，某人未记住密码的最后一位数字，若按下密码的最后一位数字，则正好按对密码的概率是
4．连续3次抛掷一枚硬币，则正、反面交替出现 的概率是
5．在坐标平面内，点 在x轴上方的概 率是
典型例题
例1 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。
分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性， 因此是古典概型。
解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）
所以基本事件数n=6，
事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），
其包含的基本事件数m=3
所以，P（A）= = = =0.5
小结：利用古典概型的计算公式时应注意两点：
（1）所有的基本事件必须是互斥的；
（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。
例2 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则
A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]
事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）= =
例3 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
分析：（1）为返 回抽样；（2）为不返回抽样．
解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P(A)= =0.512．
（2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467．
解法2：可以看作不 放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x,y,z），（x,z,y），（y,x,z），（y,z,x），（z,x,y），（z,y,x），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467．
小结：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结 果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．
课堂精炼
1.从一副扑克牌(54张)中抽一张牌，抽到牌“K”的概率是 。
答案：
2.将一枚硬币抛两次,恰好出现一次正面的概率是 。
答案：
3.从标有1,2,3,4,5,6,7, 8,9的9张纸片中任取2张,那么这2 张纸片数字之积为偶数的概率为 。
答案： 4.同时掷两枚骰子,所得点数之和为5的概率为 ；
点数之和大于9的概率为 。
答案： ；
5.一个口袋里装有2个白球和2个黑球,这4 个球除颜色外完全相同,从中摸出2个球,则1个是白球,1个是黑球的概率是 。
答案：
6.先后抛3枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率为 。
答案：
7．一个正方体，它的表面涂满了红色，在它的每个面上切两刀，可得27个小正方体，从中任取一个它恰有一个面涂有红色的概率是 。
答案：
8.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个,则这两个数正好相差1的概率是________。
答案：
9．口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出一球，试求“第二个人摸到白球”的概率。
答案：把四人依次编号为甲、乙、丙、丁，把两白球编上序号1、2，把两黑球也 编上序号1、2，于是四个人按顺序依 次从袋内摸出一个球的所有可能结果，可用树形图直观地表示出来如 下：
从上面的树形图可以看出，试验的所有可能结果数为24，第二人摸到白球的结果有12种，记“第二个人摸到白球”为事件A，则 。
10．袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽三次，写出所有的基本事件，并计算下列事件的概率：（1）三次颜色恰有两次同色； （2）三次颜色全相同；
（3）三次抽取 的球中红色球出现的次数多于白色球出现的次数。
答案：（红红红）（红红白）（红白红）（白红红）（红白白）（白红白）（白白红）（白白白）
（1） （2） （3）
11．已知集合 ， ；
（1）求 为一次函数的概率； （2）求 为二次函数的概率。
答案：（1） （2）
12．连续掷两次骰子，以先后得到的点数 为点 的坐标，设圆 的方程为 ；
（1）求点 在圆 上的概率； （2）求 点 在圆 外的概率。
答案：（1） （2）
