2.5 简单复合函数的求导法则

过程：
（一）复习引入
1. 几种常见函数的导数公式
(C )＝0 (C为常数)． (xn)＝nxn－1 (nÎQ)． ( sinx )＝cosx ． ( cosx )＝－sinx ．
2．和（或差）的导数 (u±v)＝u±v．
3．积的导数 (uv)＝uv＋uv． (Cu)＝Cu ．
4．商的导数
（二）讲授新课
1．复合函数：
如 y＝(3x－2)2由二次函数y＝u2 和一次函数u＝3x－2“复合”而成的．y＝u2 ＝(3x－2)2 ．
像y＝(3x－2)2这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数．

练习：指出下列函数是怎样复合而成的．

复合函数的导数
一般地，设函数u＝j(x)在点x处有导数u'x＝j'(x)，函数y＝f(u) 在点x的对应点u处有导数y'u＝f '(u) ，则复合函数y＝f(j(x)) 在点x处也有导数，且 y'x ＝y'u?u'x．
或写作 f 'x (j(x))＝f '(u) j'(x)．
复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量对自变量的导数．

例1 求y ＝(3x－2)2的导数．
解：y'＝[(3x－2)2]' ＝(9x2－12x＋4)'＝18x－12． 法1
函数y ＝(3x－2)2又可以看成由y＝u2 ，u＝3x－2复合而成，其中u称为中间变量．
由于y'u＝2u，u'x＝3，
因而 y'x＝y'u?u'x ＝2u?3＝2u?3＝2(3x－2)?3＝18x－12．
法2 y'x＝y'u?u'x

例2 求y＝(2x＋1)5的导数．
解：设y＝u5，u＝2x＋1，
则 y'x＝y'u?u'x ＝(u5)'u?(2x＋1) 'x＝5u4?2＝5(2x＋1)4?2＝10(2x＋1)4．


练习1.
求函数 的导数.
例4.
解： 设y＝u－4，u＝1－3x，则
y'x＝y'u?u'x＝(u－4)'u?(1－3x)'x＝－4u－5?(－3)＝12u－5＝12(1－3x)－5＝
例5.
例6．求 的导数．
解：
例7． 求 的导数．
解法1：
解法2：


（三）课堂小结
复合函数的导数：