§3.1. 3 空间向量基本定理
一、知识要点
1.空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在惟一的有序实数组 ，使
其中 称为空间的一个基底， 叫做基向量。
2.正交基底：上面的 两两互相垂直时， 这个基底就叫正交基底。
3.单位正交基底：若正交基底 的三个基向量都是单位向量时， 这个正交基底就叫单位正交基底。
4.通常用 表示单位正交基底
5.空间向量基本定理的推论：设 是不共面的四点，则对空间任意一点 ，都存在惟一的有序实数组 ，使 。
二、典型例题
例1.如图：在正方体 中，点 是 与 的交点， 是 与 的交点，试分别用向量 表示向量 和 。
例2.在空间四边形 中，已知 是线段 的中点， 在 上，且 ，试用向量 表示向量 。
三、巩固练习
1.已知空间四边形 中，点 分别是 的中点，且 ，试用向量 表示向量 。
2.如图，在平行六面体 中，已知 ，点 是侧面 的中心，试用向量 表示下列向量： 。
3.已知 是 所在平面外一点， 是 中点，且 ，求 的值。
4.已知 三点不共线，对于平面 外的任意一点 ，分别根据下列条件，判断点 是否与 共面。⑴ ；⑵ 。
四、小结：
1.空间向量基本定理，任意 不共面；2.进一步理解共面向量定理。
五、课后作业
1.在空间四边形 中，已知 为 的重心， 分别为边 和 的中点，化简下列各式：① = ；② = ；③ = 。
2.有以下命题：①如果向量 与任何向量不能构成空间的一个基底，那么 共线；② 为空间四点，且向量 不能构成空间的一个基底，那么点 一定共面；③已知向量 是空间一个基底，则向量 也是空间的一个基底，其中正确的命题的序号是 。
3.在四面体 中， ， 是 的中点， 是 的三等分点，且 ，则 = 。(用 表示)
4.已知 是 所在平面外一点， 是 的中点，若 ，则 = 。
5.已知 不共面， 且，若 ，则 = 。
6.如图，在三棱柱 中，已知 ，点 分别是 的中点，试用基底 表示向量 。
7.如图，在平行六面体 中，已知 ，点 分别是 的中点，点 在 上，且 ，试用基底 表示下列向量：
⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ 。
8.已知 分别是空间四边形 的边 的中点，试用向量法证明。
⑴ 四点共面；⑵ 。
9.如图，在平行六面体 中， 分别是各棱的中点，求证：向量 共面。
10.已知 是两个不共线的向量， ， ， 。求证： 共面。
订正栏：
一、知识要点
1.空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在惟一的有序实数组 ，使
其中 称为空间的一个基底， 叫做基向量。
2.正交基底：上面的 两两互相垂直时， 这个基底就叫正交基底。
3.单位正交基底：若正交基底 的三个基向量都是单位向量时， 这个正交基底就叫单位正交基底。
4.通常用 表示单位正交基底
5.空间向量基本定理的推论：设 是不共面的四点，则对空间任意一点 ，都存在惟一的有序实数组 ，使 。
二、典型例题
例1.如图：在正方体 中，点 是 与 的交点， 是 与 的交点，试分别用向量 表示向量 和 。
例2.在空间四边形 中，已知 是线段 的中点， 在 上，且 ，试用向量 表示向量 。
三、巩固练习
1.已知空间四边形 中，点 分别是 的中点，且 ，试用向量 表示向量 。
2.如图，在平行六面体 中，已知 ，点 是侧面 的中心，试用向量 表示下列向量： 。
3.已知 是 所在平面外一点， 是 中点，且 ，求 的值。
4.已知 三点不共线，对于平面 外的任意一点 ，分别根据下列条件，判断点 是否与 共面。⑴ ；⑵ 。
四、小结：
1.空间向量基本定理，任意 不共面；2.进一步理解共面向量定理。
五、课后作业
1.在空间四边形 中，已知 为 的重心， 分别为边 和 的中点，化简下列各式：① = ；② = ；③ = 。
2.有以下命题：①如果向量 与任何向量不能构成空间的一个基底，那么 共线；② 为空间四点，且向量 不能构成空间的一个基底，那么点 一定共面；③已知向量 是空间一个基底，则向量 也是空间的一个基底，其中正确的命题的序号是 。
3.在四面体 中， ， 是 的中点， 是 的三等分点，且 ，则 = 。(用 表示)
4.已知 是 所在平面外一点， 是 的中点，若 ，则 = 。
5.已知 不共面， 且，若 ，则 = 。
6.如图，在三棱柱 中，已知 ，点 分别是 的中点，试用基底 表示向量 。
7.如图，在平行六面体 中，已知 ，点 分别是 的中点，点 在 上，且 ，试用基底 表示下列向量：
⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ 。
8.已知 分别是空间四边形 的边 的中点，试用向量法证明。
⑴ 四点共面；⑵ 。
9.如图，在平行六面体 中， 分别是各棱的中点，求证：向量 共面。
10.已知 是两个不共线的向量， ， ， 。求证： 共面。
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