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空间向量基本定理学案练习题

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§3.1. 3 空间向量基本定理

一、知识要点
1.空间向量基本定理:如果三个向量 不共面,那么对空间任一向量 ,存在惟一的有序实数组 ,使
其中 称为空间的一个基底, 叫做基向量。
2.正交基底:上面的 两两互相垂直时, 这个基底就叫正交基底。
3.单位正交基底:若正交基底 的三个基向量都是单位向量时, 这个正交基底就叫单位正交基底。
4.通常用 表示单位正交基底
5.空间向量基本定理的推论:设 是不共面的四点,则对空间任意一点 ,都存在惟一的有序实数组 ,使 。
二、典型例题
例1.如图:在正方体 中,点 是 与 的交点, 是 与 的交点,试分别用向量 表示向量 和 。

例2.在空间四边形 中,已知 是线段 的中点, 在 上,且 ,试用向量 表示向量 。


三、巩固练习
1.已知空间四边形 中,点 分别是 的中点,且 ,试用向量 表示向量 。


2.如图,在平行六面体 中,已知 ,点 是侧面 的中心,试用向量 表示下列向量: 。


3.已知 是 所在平面外一点, 是 中点,且 ,求 的值。

4.已知 三点不共线,对于平面 外的任意一点 ,分别根据下列条件,判断点 是否与 共面。⑴ ;⑵ 。


四、小结:
1.空间向量基本定理,任意 不共面;2.进一步理解共面向量定理。
五、课后作业
1.在空间四边形 中,已知 为 的重心, 分别为边 和 的中点,化简下列各式:① = ;② = ;③ = 。
2.有以下命题:①如果向量 与任何向量不能构成空间的一个基底,那么 共线;② 为空间四点,且向量 不能构成空间的一个基底,那么点 一定共面;③已知向量 是空间一个基底,则向量 也是空间的一个基底,其中正确的命题的序号是 。
3.在四面体 中, , 是 的中点, 是 的三等分点,且 ,则 = 。(用 表示)
4.已知 是 所在平面外一点, 是 的中点,若 ,则 = 。
5.已知 不共面, 且,若 ,则 = 。
6.如图,在三棱柱 中,已知 ,点 分别是 的中点,试用基底 表示向量 。


7.如图,在平行六面体 中,已知 ,点 分别是 的中点,点 在 上,且 ,试用基底 表示下列向量:
⑴ ;⑵ ;⑶ ;⑷ 。

8.已知 分别是空间四边形 的边 的中点,试用向量法证明。
⑴ 四点共面;⑵ 。

9.如图,在平行六面体 中, 分别是各棱的中点,求证:向量 共面。


10.已知 是两个不共线的向量, , , 。求证: 共面。


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