题目 第五章平面向量 线段的定比分点与平移
高考要求
掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式 并且能熟练运用掌握平移公式
知识点归纳
1 线段的定比分点定义：设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1,P2的任意一点，则存在一个实数 ，使 ， 叫做点P分有向线段 所成的比 当点P在线段 上时， ；当点P在线段 或 的延长线上时， <0
2 定比分点的向量表达式：点P分有向线段 所成的比是 ，
则 （O为平面内任意点）
3 定比分点的坐标形式: ,其中P1(x1,y1), P2(x2,y2), P (x,y)
4 中点坐标公式: 当 =1时，分点P为线段 的中点，即有
5 的重心坐标公式：
6 图形平移的定义:设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形F’，我们把这一过程叫做图形的平移
7 平移公式: 设点 按向量 平移后得到点 ，则 ＝ + 或 ，曲线 按向量 平移后所得的曲线的函数解析式为：
这个公式叫做点的平移公式，它反映了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系
题型讲解
例1 已知点 ，线段 上的三等分点依次为 、 ，求 、 ，点的坐标以及 、 分 所成的比
解：设 、 ，
则 ，
∴
，即
， ，即
由 ，得： ，∴ ；
由 ，得： ，∴ ；
点评:定比是根据 求得的,必须搞清起点、分点、终点 顺序不可搞错
例2 已知ΔABC的三个顶点为A(1,5),B(─2,4),C(─6,─4),BC边上有一点M，使ΔABM的面积等于ΔABC面积的1/4 求线段AM的长度
分析：关键是求出点M的坐标，而ΔABC和ΔABC共用∠B和边AB 把两个三角形的面积比转化为它们相对应的边的比，再转化为M分 的比λ，这是解决此问题的关键
解：由 = ,知 ,
而M是 的内分点，故λ= ,
由公式求得M(─3,2) ∴AM=5
例3（1）把点A(3,5)按向量 平移，求平移后对应点A’的坐标
（2）把函数 的图象按向量 平移得F’，求F’的函数解析式
解：（1）设A’(x,y)，根据平移坐标公式得，得 得A’(7,10)
（2）设P (x,y)为F上的任意一点，它在F’上的对应点P’(x’,y’)，
则 ，即
代入 中，得到
即
所以F’的函数解析式为
点评：正确选择平移公式，强化代入转移去思想
例4 是否存在这样的平移，使抛物线： 平移后过原点，且平移后的抛物线的顶点和它与 轴的两个交点构成的三角形面积为 ，若不存在，说明理由；若存在，求出函数的解析式
解：假设存在这样的平移 ，
由平移公式 即
代入 得 ，
即平称后的抛物线为 ，顶点为
由已知它过原点得： ①
令 ，求得 因此它在 轴上截得的弦长为
据题意： ，∴ 代入①
得
故存在这样的平移 或
当 时，平移后解析式为 ；
当 时，平移后解析式
点评：确定平移向量一般是配方法和待定系数法，此题采用待定系数法
例5 设函数 试根据函数 的图象
⑴作出 的图象，并写出变换过程；
⑵ 的图象是中心对称图形吗？
⑶写出 的单调区间
解：⑴令 ，化简得 ，
即
又令 得 ，
由平移公式知，由 的图象按向量 平移，可得 的图象，反之，由 的图象按向量 平移，可得到 的图象，即，将 的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，便得到 的图象
⑵由图知， 的图象是中心对称图形，其对称中心为
⑶单调减区间为 和
例6 已知ΔABC的三个顶点的坐标是A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),求ΔABC的内心I坐标
解：根据角平分线的性质定理结合定比分点的概念解法相当简洁
设∠A的平分线交BC于点D，
则λ=
由两点间的距离公式可求出c=AB= ,
类似的可求出CA(设为b)和BC(设为a),
∴由定比分点的坐标公式可得I(x,y)为：
例7 定点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上的动点,∠POA的平分线交PA于Q 求Q点的轨迹方程
分析：角平分线条件的转化，是本题的关键 设Q(x,y),P(x1,y1),思路是找出P和Q两点坐标之间的关系，列参数方程
解：设Q(x,y),P(x1,y1),
点Q分 的比为AQ/QP=OA/OP=3，
∴x= , y= ?x1=4x/3─1, y1=4y/3,
代入 =1化简得: (x─3/4)2+y2=9/16
点评：本题巧妙运用了定比分点的概念，并和角平分线性质定理结合起来,要认真体会并在解题中根据条件灵活运用定比分点的概念
小结：
1 运用有向线段的定比分点公式时，应注意有向线段的起点及终点的位置及“内分”，“外分”的不同特点 P在直线P1P2上的位置与λ的值是一一对应的 具体求λ或定比分点坐标时，要注意根据给定条件利用平面几何的主要结论 比如平行线的性质，角平分线的性质定理等
2 使用平移公式时，要注意：点的平移时，给定平移向量由旧标求新标用公式 ；由新标求旧标用公式 图形平移时，给定平称向量，由旧解析式求新解析式，用式子 代入旧式整理得到；由新解析式求旧解析式，用公式 代入新式整理得到
3 直角坐标系中通过坐标平移，曲线方程的次数不变 曲线的形状大小不变，变化的只是曲线和坐标点的相互位置关系与曲线方程的形式 某些曲线方程可以通过化简给我们的研究曲线带来方便
学生练习
1 已知点A分有向线段 的比为2，则在下列结论中错误的是（ ）
A 点C分 的比是- ?B 点C分 的比是-3?
C 点C分 的比是- ?D 点A分 的比是2
2 已知两点P１（－１，－６）、Ｐ２（３，０），点P（－ ，ｙ）分有向线段 所成的比为λ，则λ、ｙ的值为（ ）
A － ，８ ?B ，－８? ?C － ，－８ ? D ４，
3 △ABC的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标是（ ）
A (2，-7) ?B (-7，2)? C (-3，-5) ?D (-5，-3)
4 已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x=
5 △ABC的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，则C点坐标为
6 已知M为△ABC边AB上的一点，且Ｓ△ＡＭＣ＝ Ｓ△ＡＢＣ，则M分 所成的比为
7．ΔABC的两个顶点是A(1,0),B(0,3),重心G(2,2),则C点的坐标是
8 若点P分 所成的比为2/3, 则点A分 的比是 ,B分 的比是
9．已知点P分 的比为λ（λ≠0),则点P分 的比为 ,点B分 的比为
10．已知A(x,5),B(─2,y),直线AB上的点C(1,1)使得AC=2BC,则x= y=
11 已知点A(-1,-4)、B(5,2)，线段AB上的三等分点依次为P１、Ｐ２，求Ｐ１、Ｐ２点的坐标以及A、B分 所成的比λ．
12 过P１（１，３）、Ｐ２（７，２）的直线与一次函数 的图象交于点P，求P分 所成的比值 ??????
13 已知平行四边形ABCD一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB、CD的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标 ???
参考答案：1 D 2 C 3 A 4 2或 5 (8,-4) 6
7．(5,3) 8 (─2/5)，(─5/3) 9． (1/λ)，(─λ─1)
10．(7或─5); (─1或3) (1)由AC=2BC,则λ=AC/CB有两个值:2和─2, λ=2时，x=7,y=─1; λ=─2时，x=─5,y=3 (2) λ用坐标计算的计算公式
11 P1(1,-2),P2(3,0),A、B分 所成的比λ1、λ2分别为- ,-2
12 13 Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１）?
课前后备注
高考要求
掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式 并且能熟练运用掌握平移公式
知识点归纳
1 线段的定比分点定义：设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1,P2的任意一点，则存在一个实数 ，使 ， 叫做点P分有向线段 所成的比 当点P在线段 上时， ；当点P在线段 或 的延长线上时， <0
2 定比分点的向量表达式：点P分有向线段 所成的比是 ，
则 （O为平面内任意点）
3 定比分点的坐标形式: ,其中P1(x1,y1), P2(x2,y2), P (x,y)
4 中点坐标公式: 当 =1时，分点P为线段 的中点，即有
5 的重心坐标公式：
6 图形平移的定义:设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形F’，我们把这一过程叫做图形的平移
7 平移公式: 设点 按向量 平移后得到点 ，则 ＝ + 或 ，曲线 按向量 平移后所得的曲线的函数解析式为：
这个公式叫做点的平移公式，它反映了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系
题型讲解
例1 已知点 ，线段 上的三等分点依次为 、 ，求 、 ，点的坐标以及 、 分 所成的比
解：设 、 ，
则 ，
∴
，即
， ，即
由 ，得： ，∴ ；
由 ，得： ，∴ ；
点评:定比是根据 求得的,必须搞清起点、分点、终点 顺序不可搞错
例2 已知ΔABC的三个顶点为A(1,5),B(─2,4),C(─6,─4),BC边上有一点M，使ΔABM的面积等于ΔABC面积的1/4 求线段AM的长度
分析：关键是求出点M的坐标，而ΔABC和ΔABC共用∠B和边AB 把两个三角形的面积比转化为它们相对应的边的比，再转化为M分 的比λ，这是解决此问题的关键
解：由 = ,知 ,
而M是 的内分点，故λ= ,
由公式求得M(─3,2) ∴AM=5
例3（1）把点A(3,5)按向量 平移，求平移后对应点A’的坐标
（2）把函数 的图象按向量 平移得F’，求F’的函数解析式
解：（1）设A’(x,y)，根据平移坐标公式得，得 得A’(7,10)
（2）设P (x,y)为F上的任意一点，它在F’上的对应点P’(x’,y’)，
则 ，即
代入 中，得到
即
所以F’的函数解析式为
点评：正确选择平移公式，强化代入转移去思想
例4 是否存在这样的平移，使抛物线： 平移后过原点，且平移后的抛物线的顶点和它与 轴的两个交点构成的三角形面积为 ，若不存在，说明理由；若存在，求出函数的解析式
解：假设存在这样的平移 ，
由平移公式 即
代入 得 ，
即平称后的抛物线为 ，顶点为
由已知它过原点得： ①
令 ，求得 因此它在 轴上截得的弦长为
据题意： ，∴ 代入①
得
故存在这样的平移 或
当 时，平移后解析式为 ；
当 时，平移后解析式
点评：确定平移向量一般是配方法和待定系数法，此题采用待定系数法
例5 设函数 试根据函数 的图象
⑴作出 的图象，并写出变换过程；
⑵ 的图象是中心对称图形吗？
⑶写出 的单调区间
解：⑴令 ，化简得 ，
即
又令 得 ，
由平移公式知，由 的图象按向量 平移，可得 的图象，反之，由 的图象按向量 平移，可得到 的图象，即，将 的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，便得到 的图象
⑵由图知， 的图象是中心对称图形，其对称中心为
⑶单调减区间为 和
例6 已知ΔABC的三个顶点的坐标是A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),求ΔABC的内心I坐标
解：根据角平分线的性质定理结合定比分点的概念解法相当简洁
设∠A的平分线交BC于点D，
则λ=
由两点间的距离公式可求出c=AB= ,
类似的可求出CA(设为b)和BC(设为a),
∴由定比分点的坐标公式可得I(x,y)为：
例7 定点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上的动点,∠POA的平分线交PA于Q 求Q点的轨迹方程
分析：角平分线条件的转化，是本题的关键 设Q(x,y),P(x1,y1),思路是找出P和Q两点坐标之间的关系，列参数方程
解：设Q(x,y),P(x1,y1),
点Q分 的比为AQ/QP=OA/OP=3，
∴x= , y= ?x1=4x/3─1, y1=4y/3,
代入 =1化简得: (x─3/4)2+y2=9/16
点评：本题巧妙运用了定比分点的概念，并和角平分线性质定理结合起来,要认真体会并在解题中根据条件灵活运用定比分点的概念
小结：
1 运用有向线段的定比分点公式时，应注意有向线段的起点及终点的位置及“内分”，“外分”的不同特点 P在直线P1P2上的位置与λ的值是一一对应的 具体求λ或定比分点坐标时，要注意根据给定条件利用平面几何的主要结论 比如平行线的性质，角平分线的性质定理等
2 使用平移公式时，要注意：点的平移时，给定平移向量由旧标求新标用公式 ；由新标求旧标用公式 图形平移时，给定平称向量，由旧解析式求新解析式，用式子 代入旧式整理得到；由新解析式求旧解析式，用公式 代入新式整理得到
3 直角坐标系中通过坐标平移，曲线方程的次数不变 曲线的形状大小不变，变化的只是曲线和坐标点的相互位置关系与曲线方程的形式 某些曲线方程可以通过化简给我们的研究曲线带来方便
学生练习
1 已知点A分有向线段 的比为2，则在下列结论中错误的是（ ）
A 点C分 的比是- ?B 点C分 的比是-3?
C 点C分 的比是- ?D 点A分 的比是2
2 已知两点P１（－１，－６）、Ｐ２（３，０），点P（－ ，ｙ）分有向线段 所成的比为λ，则λ、ｙ的值为（ ）
A － ，８ ?B ，－８? ?C － ，－８ ? D ４，
3 △ABC的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标是（ ）
A (2，-7) ?B (-7，2)? C (-3，-5) ?D (-5，-3)
4 已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x=
5 △ABC的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，则C点坐标为
6 已知M为△ABC边AB上的一点，且Ｓ△ＡＭＣ＝ Ｓ△ＡＢＣ，则M分 所成的比为
7．ΔABC的两个顶点是A(1,0),B(0,3),重心G(2,2),则C点的坐标是
8 若点P分 所成的比为2/3, 则点A分 的比是 ,B分 的比是
9．已知点P分 的比为λ（λ≠0),则点P分 的比为 ,点B分 的比为
10．已知A(x,5),B(─2,y),直线AB上的点C(1,1)使得AC=2BC,则x= y=
11 已知点A(-1,-4)、B(5,2)，线段AB上的三等分点依次为P１、Ｐ２，求Ｐ１、Ｐ２点的坐标以及A、B分 所成的比λ．
12 过P１（１，３）、Ｐ２（７，２）的直线与一次函数 的图象交于点P，求P分 所成的比值 ??????
13 已知平行四边形ABCD一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB、CD的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标 ???
参考答案：1 D 2 C 3 A 4 2或 5 (8,-4) 6
7．(5,3) 8 (─2/5)，(─5/3) 9． (1/λ)，(─λ─1)
10．(7或─5); (─1或3) (1)由AC=2BC,则λ=AC/CB有两个值:2和─2, λ=2时，x=7,y=─1; λ=─2时，x=─5,y=3 (2) λ用坐标计算的计算公式
11 P1(1,-2),P2(3,0),A、B分 所成的比λ1、λ2分别为- ,-2
12 13 Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１）?
课前后备注
