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几何概型
使用说明：此教案旨在帮助教师理解几何概型的基础上设置的，从概念的分析，到例题的设置需要教师花心思针对学生情况重新组织，很多例题需要配套使用，效果更好。
一．正确区分古典概型与几何概型
题组一：1．在区间[0，10]上任意取一个整数 ，则 不大于3的概率为： 。
2．在区间[0，10]上任意取一个实数 ，则 不大于3的概率为： 。
分析：此题组中，问题1因为总的基本事件是[0，10]内的全部整数，所以基本事件总数为有限个11，而不大于3的基本事件有4个，此问题属于古典概型，所以所求概率为 。问题2中，因为总的基本事件是[0，10]内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，此问题属于几何概型，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间[0，10]长度为10，而事件“不大于3”对应区间[0，3]长度为3，所以所求概率为 。
此题组中的两个问题，每个基本事件都是等可能发生的，但是问题1中的总基本事件是有限个，属于古典概型；而问题2中的总基本事件是无限个，属于几何概型；可见古典概型与几何概型有联系也有区别，但在实际解决问题中，关键还在于正确区分古典概型与几何概型。
二．准确分清几何概型中的测度
题组二：1．等腰Rt△ABC中，∠C=900，在直角边BC上任取一点M，求∠CAM<300的概率。
2．等腰Rt△ABC中，∠C=900，在∠CAB内作射线交线段BC于点M，求∠CAM<300的概率。
分析：此题组中的两个问题，很显然都是几何概型的问题，但是考察的测度不一样。问题1的测度定性为线段长度，当∠CAM0=300时， ，合条件的点M等可能的分布在线段 上，所以所求概率等于 。而问题2的测度定性为角度，过点A作射线与线段CB相交，这样的射线有无数条，均匀分布在∠CAB内，∠CAB=450，所以所求概率等于 。
此题组中的两个问题都是几何概型的问题，但是选取的测度不一样，在解决时考察和计算的结果也不一致。可见在解决几何概型问题时，要认真审题，分清问题考察的测度，从而正确解决问题。
知识巩固：
下列概率问题中哪些属于几何概型？
(1)从一批产品中抽取30件进行检查,有5件次品，求正品的概率。
(2)随机地向四方格里投掷硬币50次，统计硬币正面朝上的概率。
(3)箭靶的直径为1m，其中，靶心的直径只有12cm，任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？
(4)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时才可离去，求两人能会面的概率。
对比古典概型和几何概型的特点，判断（1）、（3）属于古典概型；（2）、（4）属于几何概型。
例题1：⑴ 某人午睡醒后，发现表停了，于是打开收音机等候整点报时，那么等待时间不多于10分钟的概率是多大？1）这是什么概型，为什么？(几何概型）
2）借助什么样的几何图形来表示随机事件与所有基本事件？
（圆或线段）
3）该如何建立数学模型？
解：设A=“等待时间不超过10分钟”,则 或
⑵某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。
分析：某人醒来在整点间即60分钟是随机的，等待的时间不多于10分钟可以看作构成事件的区域，整点即60分钟可以看作所有结果构成的区域，因此本题的变量可以看作是时间的长度，于是可以通过长度比公式计算其概率。
可设“等待的时间不多于10分钟”这一事件记作事件A，则
；
显然这是一个与长度有关的几何概型问题，问题比较简单，学生也易于理解。
问题拓展：某人午觉醒来，发现表停了，则表停的分钟数和实际分钟数差异不超过5分钟的概率为多少？
分析：本题的特点在于学生易犯固定思维的错误，习惯性的用上题中的时间长度之比来解决，得到错误的答案 。学生错误的原因在于没有科学的认识题中的变量。本题中包含了两个变量，一个是手表停的分钟数，可以在[0，60]内的任意时刻，另一个变量是实际分钟数，也可以在[0，60]内的任意时刻。所以本题的解决应以 轴和 轴分别表示手表停的分钟数和实际分钟数，那么差异不超过5分钟的充要条件是 ，从而可以绘制坐标轴，数形结合，得到结果。
由于 的所有可能结果是边长为60的正方形，
差异不超过5分钟由图中阴影部分所表示，
记“差异不超过5分钟”为事件
因此,差异不超过5分钟的概率 。
例题2：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环。从外向内分为白色、黑色、蓝
色、红色、靶心是金色。金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm。运动员在70m外射箭。假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？
1、抛阶砖游戏
“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手上的“金币”（设“金币”的半径为1）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为2.1的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获大奖. 不少人被高额奖金所吸引，纷纷参与此游戏但很少有人得到奖品，请用今天所学知识解释这是为什么。
分析：若中奖，金币圆心必位于右图的绿色区域A内.圆心随机地落在“阶砖”的任何位置，所以这是一个几何概型。其概率为
练习：面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r
2a
分析：首先可以判定此试验为几何概型，我们为了描述每一次随机试验的结果只需要确定硬币中心O的位置即可，一旦中心位置确定，只要当中心O到其最近平行线的距离大于其半径时，就满足事件A,由此不难想到由中心O向靠的的最近的平行线引垂线，垂足为M,显然线段OM长度是介于0到a之间的一个实数，接下来我们做一条长度为a的线段，因此这个实数在此线段上就对应着一个点，从而我们每做一次随机试验就可以理解为在此线段上取一个点，所以这条线段就可以理解为区域Ω,其长度为a。接下来我们再来看事件A所理解的区域，首先看一种临界状态，就是当硬币与平行线相切时，此时中心O到最近平行线的距离r,显然只有当中心O到最近平行线的距离大于r时满足事件A,所以事件A理解的区域其长度应为a－r,所以
2、抽奖游戏的再思考:
在两种情况下分别求抽中电视机的概率是多少?
(1)如果在转盘上，区域1缩小为一个单点，那么要求概率是多少？
(2)如果在转盘上，区域1扩大为整个转盘扣除一个单点，那么所求概率又是多少？
总结：用几何概型解释概率为0的事件不一定是不可能事件；概率为1的事件不一定为必然事件。
3、甲乙两人相约在14：00?15：00在某地会面，假定每人在这段时间内的每个时刻到达会面地点的可能性是相等的，先到的的等20分钟后便可以离开，试求两个人会面的概率。
分析：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能会面的充要条件为
?x-y? 20，如图所示。
故所求概率为阴影面积与正方形面积之比。
练习：
一条直线型街道的A、B两盏路灯之间的距离为120米，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C、D，顺序为A、C、D、B. 问A与C、B与D之间的距离都不小于40米的概率是多少？
解： 设A与C、B与D之间的距离分别为x米、y米.则所有可能结果为： ；记A与C、B与D之间的距离都不小于40米为事件A，则事件A的可能结果为 .
如图所示，试验全部结果构成区域Ω为直线 与两坐标轴所围成的△ABC. 而事件A所构成区域是三条直线 ， ， 所夹中间的阴影部分.
根据几何概型公式，得到： 所以，A与C、B与D之间的距离都不小于40米的概率为 .
几何概型
使用说明：此教案旨在帮助教师理解几何概型的基础上设置的，从概念的分析，到例题的设置需要教师花心思针对学生情况重新组织，很多例题需要配套使用，效果更好。
一．正确区分古典概型与几何概型
题组一：1．在区间[0，10]上任意取一个整数 ，则 不大于3的概率为： 。
2．在区间[0，10]上任意取一个实数 ，则 不大于3的概率为： 。
分析：此题组中，问题1因为总的基本事件是[0，10]内的全部整数，所以基本事件总数为有限个11，而不大于3的基本事件有4个，此问题属于古典概型，所以所求概率为 。问题2中，因为总的基本事件是[0，10]内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，此问题属于几何概型，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间[0，10]长度为10，而事件“不大于3”对应区间[0，3]长度为3，所以所求概率为 。
此题组中的两个问题，每个基本事件都是等可能发生的，但是问题1中的总基本事件是有限个，属于古典概型；而问题2中的总基本事件是无限个，属于几何概型；可见古典概型与几何概型有联系也有区别，但在实际解决问题中，关键还在于正确区分古典概型与几何概型。
二．准确分清几何概型中的测度
题组二：1．等腰Rt△ABC中，∠C=900，在直角边BC上任取一点M，求∠CAM<300的概率。
2．等腰Rt△ABC中，∠C=900，在∠CAB内作射线交线段BC于点M，求∠CAM<300的概率。
分析：此题组中的两个问题，很显然都是几何概型的问题，但是考察的测度不一样。问题1的测度定性为线段长度，当∠CAM0=300时， ，合条件的点M等可能的分布在线段 上，所以所求概率等于 。而问题2的测度定性为角度，过点A作射线与线段CB相交，这样的射线有无数条，均匀分布在∠CAB内，∠CAB=450，所以所求概率等于 。
此题组中的两个问题都是几何概型的问题，但是选取的测度不一样，在解决时考察和计算的结果也不一致。可见在解决几何概型问题时，要认真审题，分清问题考察的测度，从而正确解决问题。
知识巩固：
下列概率问题中哪些属于几何概型？
(1)从一批产品中抽取30件进行检查,有5件次品，求正品的概率。
(2)随机地向四方格里投掷硬币50次，统计硬币正面朝上的概率。
(3)箭靶的直径为1m，其中，靶心的直径只有12cm，任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？
(4)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时才可离去，求两人能会面的概率。
对比古典概型和几何概型的特点，判断（1）、（3）属于古典概型；（2）、（4）属于几何概型。
例题1：⑴ 某人午睡醒后，发现表停了，于是打开收音机等候整点报时，那么等待时间不多于10分钟的概率是多大？1）这是什么概型，为什么？(几何概型）
2）借助什么样的几何图形来表示随机事件与所有基本事件？
（圆或线段）
3）该如何建立数学模型？
解：设A=“等待时间不超过10分钟”,则 或
⑵某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。
分析：某人醒来在整点间即60分钟是随机的，等待的时间不多于10分钟可以看作构成事件的区域，整点即60分钟可以看作所有结果构成的区域，因此本题的变量可以看作是时间的长度，于是可以通过长度比公式计算其概率。
可设“等待的时间不多于10分钟”这一事件记作事件A，则
；
显然这是一个与长度有关的几何概型问题，问题比较简单，学生也易于理解。
问题拓展：某人午觉醒来，发现表停了，则表停的分钟数和实际分钟数差异不超过5分钟的概率为多少？
分析：本题的特点在于学生易犯固定思维的错误，习惯性的用上题中的时间长度之比来解决，得到错误的答案 。学生错误的原因在于没有科学的认识题中的变量。本题中包含了两个变量，一个是手表停的分钟数，可以在[0，60]内的任意时刻，另一个变量是实际分钟数，也可以在[0，60]内的任意时刻。所以本题的解决应以 轴和 轴分别表示手表停的分钟数和实际分钟数，那么差异不超过5分钟的充要条件是 ，从而可以绘制坐标轴，数形结合，得到结果。
由于 的所有可能结果是边长为60的正方形，
差异不超过5分钟由图中阴影部分所表示，
记“差异不超过5分钟”为事件
因此,差异不超过5分钟的概率 。
例题2：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环。从外向内分为白色、黑色、蓝
色、红色、靶心是金色。金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm。运动员在70m外射箭。假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？
1、抛阶砖游戏
“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手上的“金币”（设“金币”的半径为1）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为2.1的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获大奖. 不少人被高额奖金所吸引，纷纷参与此游戏但很少有人得到奖品，请用今天所学知识解释这是为什么。
分析：若中奖，金币圆心必位于右图的绿色区域A内.圆心随机地落在“阶砖”的任何位置，所以这是一个几何概型。其概率为
练习：面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r
2a
分析：首先可以判定此试验为几何概型，我们为了描述每一次随机试验的结果只需要确定硬币中心O的位置即可，一旦中心位置确定，只要当中心O到其最近平行线的距离大于其半径时，就满足事件A,由此不难想到由中心O向靠的的最近的平行线引垂线，垂足为M,显然线段OM长度是介于0到a之间的一个实数，接下来我们做一条长度为a的线段，因此这个实数在此线段上就对应着一个点，从而我们每做一次随机试验就可以理解为在此线段上取一个点，所以这条线段就可以理解为区域Ω,其长度为a。接下来我们再来看事件A所理解的区域，首先看一种临界状态，就是当硬币与平行线相切时，此时中心O到最近平行线的距离r,显然只有当中心O到最近平行线的距离大于r时满足事件A,所以事件A理解的区域其长度应为a－r,所以
2、抽奖游戏的再思考:
在两种情况下分别求抽中电视机的概率是多少?
(1)如果在转盘上，区域1缩小为一个单点，那么要求概率是多少？
(2)如果在转盘上，区域1扩大为整个转盘扣除一个单点，那么所求概率又是多少？
总结：用几何概型解释概率为0的事件不一定是不可能事件；概率为1的事件不一定为必然事件。
3、甲乙两人相约在14：00?15：00在某地会面，假定每人在这段时间内的每个时刻到达会面地点的可能性是相等的，先到的的等20分钟后便可以离开，试求两个人会面的概率。
分析：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能会面的充要条件为
?x-y? 20，如图所示。
故所求概率为阴影面积与正方形面积之比。
练习：
一条直线型街道的A、B两盏路灯之间的距离为120米，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C、D，顺序为A、C、D、B. 问A与C、B与D之间的距离都不小于40米的概率是多少？
解： 设A与C、B与D之间的距离分别为x米、y米.则所有可能结果为： ；记A与C、B与D之间的距离都不小于40米为事件A，则事件A的可能结果为 .
如图所示，试验全部结果构成区域Ω为直线 与两坐标轴所围成的△ABC. 而事件A所构成区域是三条直线 ， ， 所夹中间的阴影部分.
根据几何概型公式，得到： 所以，A与C、B与D之间的距离都不小于40米的概率为 .
