1.2.4 平面与平面的位置关系
第1课时 两平面平行的判定及性质
【课时目标】 1．理解并掌握两个平面平行、两个平面相交的定义．2．掌握两个平面平行的判定和性质定理，并能运用其解决一些具体问题．
1．平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为________________________．
2．平面与平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________．
符号表示为：________________?a∥b．
3．面面平行的其他性质：
(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于________________，即α∥βa?α?
________，可用来证明线面平行；
(2)夹在两个平行平面间的平行线段________；
(3)平行于同一平面的两个平面________．
一、填空题
1．平面α∥平面β，a?α，b?β，则直线a、b的位置关系是__________．
2．下列各命题中假命题有________个．
①平行于同一直线的两个平面平行；
②平行于同一平面的两个平面平行；
③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；
④若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行，则α∥β．
3．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
4．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是________．(填序号)
①α内有无数条直线平行于β；
②α内不共线三点到β的距离相等；
③l、m是平面α内的直线，且l∥α，m∥β；
④l、m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥α，m∥β．
5．已知α∥β且α与β间的距离为d，直线a与α相交于点A、与β相交于B，若AB＝233d，则直线a与α所成的角等于________．
6．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________．
7．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是________(填序号)．
①a∥cb∥c?a∥b； ②a∥γb∥γ?a∥b；
③α∥cβ∥c?α∥β； ④α∥γβ∥γ?α∥β；
⑤α∥ca∥c?α∥a; ⑥α∥γa∥γ?a∥α．
8．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．
9．如图所示，在正方体ABCD―A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．
二、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1．
11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．
求证：N为AC的中点．
能力提升
12．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．
13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．
(1)求证平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ADC．
1．判定平面与平面平行的常用方法有：(1)利用定义，证明两个平面没有公共点，常用反证法．(2)利用判定定理．(3)利用平行平面的传递性，即α∥β，β∥γ，则α∥γ．
2．平面与平面平行主要有以下性质：(1)面面平行的性质定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．(3)夹在两个平行平面之间的平行线段相等．
1．2．4 平面与平面的位置关系
第1课时 两平面平行的判定及性质
答案
知识梳理
1．两条相交直线
a?α，b?α，a∩b＝A，a∥β，b∥β?α∥β
2．那么所得的两条交线平行 α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b
3．(1)另一个平面 a∥β (2)相等 (3)平行
作业设计
1．平行或异面 2．2
3．平行
解析 由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．
4．④ 5．60°
6．4∶25
解析 面α∥面ABC，面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，
易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC＝(A′B′AB)2＝(PA′PA)2＝425．
7．②③⑤⑥
解析 由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．
8．24或245
解析 当P点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD＝24，当平面α和平面β在点P同侧时可求得BD＝245．
9．M∈线段FH
解析 ∵HN∥BD，HF∥DD1，
HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，
∴平面NHF∥平面B1BDD1，
故线段FH上任意点M与N连结，
有MN∥平面B1BDD1．
10．
证明 如图所示，连结SB，SD，
∵F、G分别是DC、SC的中点，
∴FG∥SD．
又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，
∴直线FG∥平面BDD1B1．
同理可证EG∥平面BDD1B1，
又∵EG?平面EFG，
FG?平面EFG，
EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1．
11．证明 ∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四边形ANC1M为平行四边形，
∴AN?C1M＝12A1C1＝12AC，
∴N为AC的中点．
12．证明 方法一 过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连结MN．
∵BB1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴EM∥BB1，FN∥BB1，
∴EM∥FN，
∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，
∴AE＝BF，
又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，
∴Rt△AME≌Rt△BNF，
∴EM＝FN．
∴四边形MNFE是平行四边形，
∴EF∥MN．
又MN?平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
方法二
过E作EG∥AB交BB1于G，连结GF，
∴B1EB1A＝B1GB1B，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1FC1B＝B1GB1B，
∴FG∥B1C1∥BC．
又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，
∴平面EFG∥平面ABCD．
又EF?平面EFG，∴EF∥平面ABCD．
13．(1)证明 (1)连结BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．
∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，
则有BMMP＝BNNF＝BGGH＝2，
且P，H，F分别为AC，CD，AD的中点．
连结PF，FH，PH，有MN∥PF．
又PF?平面ACD，MN?平面ACD，
∴MN∥平面ACD．
同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD．
(2)解 由(1)可知MGPH＝BGBH＝23，
∴MG＝23PH．
又PH＝12AD，∴MG＝13AD．
同理NG＝13AC，MN＝13CD．
∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3．
∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．
第2课时 两平面垂直的判定
【课时目标】 1．掌握二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．
1．二面角：一条直线和由这条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．______________叫做二面角的棱．________________叫做二面角的面．二面角α的范围为________________．
2．平面与平面的垂直
①定义：如果两个平面所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直．
②面面垂直的判定定理
文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条______，那么这两个平面互相垂直．符号表示：l⊥α ?α⊥β．
一、填空题
1．下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是________(填序号)．
2．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条．
3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①若m∥n，n⊥β，m?α，则α⊥β；
②若m⊥n，α∩β＝m，n?α，则α⊥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β．
4．过两点与一个已知平面垂直的平面有________个．
5．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝32，则二面角B－AC－D的大小为________．
6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中成立的是________(填序号)．
①BC∥面PDF; ②DF⊥面PAE；
③面PDF⊥面ABC; ④面PAE⊥面ABC．
7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．
8．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．
9．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________．
二、解答题
10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．
求证：平面BEF⊥平面BGD．
11．如图所示，四棱锥P―ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A―BE―P的大小．
能力提升
12．如图，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．
13．如图，在三棱锥P―ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
(1)求证：BC⊥ 平面PAC．
(2)是否存在点E使得二面角A―DE―P为直二面角？并说明理由．
1．证明两个平面垂直的主要途径
(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．
(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．
3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．
第2课时 两平面垂直的判定 答案
知识梳理
1．两个半平面 这条直线 每个半平面 0°≤α≤180°
2．①直二面角 ②垂线 l?β
作业设计
1．②④
解析 ①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．
2．0
解析 若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．
3．①③
解析 ②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．
4．1或无数
解析 当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．
5．60°
解析
如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．
∵DO＝OB＝BD＝32，
∴∠BOD＝60°．
6．①②④
解析
如图所示，∵BC∥DF，
∴BC∥平面PDF．
∴①正确．
由BC⊥PE，BC⊥AE，
∴BC⊥平面PAE．
∴DF⊥平面PAE．
∴②正确．
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．
∴④正确．
7．45°
解析 可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．
8．5
解析 由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，
又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，
∴∠DAB为二面角D―PA―B的平面角，
∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB，
∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA，
∴面PDC⊥面PDA．
9．①③④?②(或②③④?①)
10．证明 ∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，
∴BG⊥AC，DG⊥AC，
∴AC⊥平面BGD．
又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．
∵EF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．
11．(1)证明 如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．
又AB∥CD，所以BE⊥AB．
又因为PA⊥平面ABCD，
BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB．
又BE?平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB．
(2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以PB⊥BE．又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A―BE―P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，
则∠PBA＝60°．
故二面角A―BE―P的大小是60°．
12．证明 (1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知
EF∥BC．
因为EF?平面ABC．
BC?平面ABC．
所以EF∥平面ABC．
(2)由三棱柱ABC―A1B1C1为直三棱柱知
CC1⊥平面A1B1C1．
又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．
又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，
所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．
13．(1)证明 ∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．
又∠BCA＝90°，
∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC．
(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，
BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC．
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE．
∴∠AEP为二面角A―DE―P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC．
这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A―DE―P为直二面角．
第3课时 两平面垂直的性质
【课时目标】 1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．
3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．
1．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面．
用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?________．
2．两个重要结论：
(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________________________________________________________．
图形表示为：
符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β?________．
(2)已知平面α⊥平面β，a?α，a⊥β，那么__________(a与α的位置关系)．
一、填空题
1．平面α⊥平面β，a?α，b?β，且b∥α，a⊥b，则a和β的位置关系是________．
2．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α，β，有下列命题：
①若m∥n，n?α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α．
其中正确的命题是________(填序号)．
3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条．
4．设α－l－β是直二面角，直线a?α，直线b?β，a，b与l都不垂直，那么下列说法正确的序号为________．
①a与b可能垂直，但不可能平行；
②a与b可能垂直，也可能平行；
③a与b不可能垂直，但可能平行；
④a与b不可能垂直，也不可能平行．
5．如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别是BD和AE的中点，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN、CE异面．
其中结论正确的是________(填序号)．
6．
如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′＝________．
7．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，PD/∈l，则下列命题中正确的为________．(只填序号)
①过P垂直于l的平面垂直于β；
②过P垂直于l的直线垂直于β；
③过P垂直于α的直线平行于β；
④过P垂直于β的直线在α内．
8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O，空间一点P到α、β、γ的距离分别是2 cm、3 cm、6 cm，则点P到O的距离为________ cm．
9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在________．
二、解答题
10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．
求证：BC⊥AB．
11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB．
能力提升
12．如图所示，四棱锥P―ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．
13．如图所示，在多面体P―ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝45．
(1)设M是PC上的一点，
求证：平面MBD⊥平面PAD；
(2)求P点到平面ABCD的距离．
1．运用两个平面垂直的性质定理时，一般需要作辅助线，其基本作法是过其中一个平面内一点在此平面内作交线的垂线，这样，就把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．
2．无论从判定还是从性质来看，线线垂直、线面垂直和面面垂直都是密切相关的，面对复杂的空间图形，要善于发现它们之间的内在联系，找出解决问题的切入点，垂直关系的转化为：
第3课时 两平面垂直的性质 答案
知识梳理
1．垂直 交线 a⊥β
2．(1)第一个平面内 a?α (2)a∥α
作业设计
1．a⊥β
2．②④
3．0
解析 若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．
4．③
5．①②③
6．2∶1
解析 如图：
由已知得AA′⊥面β，
∠ABA′＝π6，
BB′⊥面α，∠BAB′＝π4，
设AB＝a，则BA′＝32a，BB′＝22a，
在Rt△BA′B′中，A′B′＝12a，∴ABA′B′＝21．
7．①③④
解析 由性质定理知②错误．
8．7
解析 P到O的距离恰好为以2 cm,3 cm,6 cm为长、宽、高的长方体的对角线的长．
9．直线AB上
解析 由AC⊥BC1，AC⊥AB，
得AC⊥面ABC1，又AC?面ABC，
∴面ABC1⊥面ABC．
∴C1在面ABC上的射影H必在交线AB上．
10．证明 在平面PAB内，作AD⊥PB于D．
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB．
∴AD⊥平面PBC．
又BC?平面PBC，
∴AD⊥BC．
又∵PA⊥平面ABC，
BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．
又AB?平面PAB，
∴BC⊥AB．
11．证明
(1)连结PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD，
∴PG⊥BG．
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴BG⊥AD．
又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．
所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB．
12．
证明 设AC∩BD＝O，
连结EO，
则EO∥PC．∵PC＝CD＝a，
PD＝2a，
∴PC2＋CD2＝PD2，
∴PC⊥CD．
∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，
∴PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD．
又EO?平面EDB，
∴平面EDB⊥平面ABCD．
13．(1)证明 在△ABD中，
∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，
∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．
又∵面PAD⊥面ABCD，
面PAD∩面ABCD＝AD，
BD?面ABCD，
∴BD⊥面PAD，又BD?面BDM，
∴面MBD⊥面PAD．
(2)解
过P作PO⊥AD，
∵面PAD⊥面ABCD，
∴PO⊥面ABCD，
即PO为四棱锥P―ABCD的高．
又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23．
第1课时 两平面平行的判定及性质
【课时目标】 1．理解并掌握两个平面平行、两个平面相交的定义．2．掌握两个平面平行的判定和性质定理，并能运用其解决一些具体问题．
1．平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为________________________．
2．平面与平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________．
符号表示为：________________?a∥b．
3．面面平行的其他性质：
(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于________________，即α∥βa?α?
________，可用来证明线面平行；
(2)夹在两个平行平面间的平行线段________；
(3)平行于同一平面的两个平面________．
一、填空题
1．平面α∥平面β，a?α，b?β，则直线a、b的位置关系是__________．
2．下列各命题中假命题有________个．
①平行于同一直线的两个平面平行；
②平行于同一平面的两个平面平行；
③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；
④若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行，则α∥β．
3．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
4．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是________．(填序号)
①α内有无数条直线平行于β；
②α内不共线三点到β的距离相等；
③l、m是平面α内的直线，且l∥α，m∥β；
④l、m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥α，m∥β．
5．已知α∥β且α与β间的距离为d，直线a与α相交于点A、与β相交于B，若AB＝233d，则直线a与α所成的角等于________．
6．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________．
7．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是________(填序号)．
①a∥cb∥c?a∥b； ②a∥γb∥γ?a∥b；
③α∥cβ∥c?α∥β； ④α∥γβ∥γ?α∥β；
⑤α∥ca∥c?α∥a; ⑥α∥γa∥γ?a∥α．
8．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．
9．如图所示，在正方体ABCD―A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．
二、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1．
11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．
求证：N为AC的中点．
能力提升
12．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．
13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．
(1)求证平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ADC．
1．判定平面与平面平行的常用方法有：(1)利用定义，证明两个平面没有公共点，常用反证法．(2)利用判定定理．(3)利用平行平面的传递性，即α∥β，β∥γ，则α∥γ．
2．平面与平面平行主要有以下性质：(1)面面平行的性质定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．(3)夹在两个平行平面之间的平行线段相等．
1．2．4 平面与平面的位置关系
第1课时 两平面平行的判定及性质
答案
知识梳理
1．两条相交直线
a?α，b?α，a∩b＝A，a∥β，b∥β?α∥β
2．那么所得的两条交线平行 α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b
3．(1)另一个平面 a∥β (2)相等 (3)平行
作业设计
1．平行或异面 2．2
3．平行
解析 由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．
4．④ 5．60°
6．4∶25
解析 面α∥面ABC，面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，
易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC＝(A′B′AB)2＝(PA′PA)2＝425．
7．②③⑤⑥
解析 由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．
8．24或245
解析 当P点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD＝24，当平面α和平面β在点P同侧时可求得BD＝245．
9．M∈线段FH
解析 ∵HN∥BD，HF∥DD1，
HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，
∴平面NHF∥平面B1BDD1，
故线段FH上任意点M与N连结，
有MN∥平面B1BDD1．
10．
证明 如图所示，连结SB，SD，
∵F、G分别是DC、SC的中点，
∴FG∥SD．
又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，
∴直线FG∥平面BDD1B1．
同理可证EG∥平面BDD1B1，
又∵EG?平面EFG，
FG?平面EFG，
EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1．
11．证明 ∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四边形ANC1M为平行四边形，
∴AN?C1M＝12A1C1＝12AC，
∴N为AC的中点．
12．证明 方法一 过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连结MN．
∵BB1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴EM∥BB1，FN∥BB1，
∴EM∥FN，
∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，
∴AE＝BF，
又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，
∴Rt△AME≌Rt△BNF，
∴EM＝FN．
∴四边形MNFE是平行四边形，
∴EF∥MN．
又MN?平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
方法二
过E作EG∥AB交BB1于G，连结GF，
∴B1EB1A＝B1GB1B，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1FC1B＝B1GB1B，
∴FG∥B1C1∥BC．
又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，
∴平面EFG∥平面ABCD．
又EF?平面EFG，∴EF∥平面ABCD．
13．(1)证明 (1)连结BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．
∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，
则有BMMP＝BNNF＝BGGH＝2，
且P，H，F分别为AC，CD，AD的中点．
连结PF，FH，PH，有MN∥PF．
又PF?平面ACD，MN?平面ACD，
∴MN∥平面ACD．
同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD．
(2)解 由(1)可知MGPH＝BGBH＝23，
∴MG＝23PH．
又PH＝12AD，∴MG＝13AD．
同理NG＝13AC，MN＝13CD．
∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3．
∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．
第2课时 两平面垂直的判定
【课时目标】 1．掌握二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．
1．二面角：一条直线和由这条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．______________叫做二面角的棱．________________叫做二面角的面．二面角α的范围为________________．
2．平面与平面的垂直
①定义：如果两个平面所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直．
②面面垂直的判定定理
文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条______，那么这两个平面互相垂直．符号表示：l⊥α ?α⊥β．
一、填空题
1．下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是________(填序号)．
2．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条．
3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①若m∥n，n⊥β，m?α，则α⊥β；
②若m⊥n，α∩β＝m，n?α，则α⊥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β．
4．过两点与一个已知平面垂直的平面有________个．
5．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝32，则二面角B－AC－D的大小为________．
6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中成立的是________(填序号)．
①BC∥面PDF; ②DF⊥面PAE；
③面PDF⊥面ABC; ④面PAE⊥面ABC．
7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．
8．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．
9．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________．
二、解答题
10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．
求证：平面BEF⊥平面BGD．
11．如图所示，四棱锥P―ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A―BE―P的大小．
能力提升
12．如图，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．
13．如图，在三棱锥P―ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
(1)求证：BC⊥ 平面PAC．
(2)是否存在点E使得二面角A―DE―P为直二面角？并说明理由．
1．证明两个平面垂直的主要途径
(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．
(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．
3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．
第2课时 两平面垂直的判定 答案
知识梳理
1．两个半平面 这条直线 每个半平面 0°≤α≤180°
2．①直二面角 ②垂线 l?β
作业设计
1．②④
解析 ①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．
2．0
解析 若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．
3．①③
解析 ②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．
4．1或无数
解析 当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．
5．60°
解析
如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．
∵DO＝OB＝BD＝32，
∴∠BOD＝60°．
6．①②④
解析
如图所示，∵BC∥DF，
∴BC∥平面PDF．
∴①正确．
由BC⊥PE，BC⊥AE，
∴BC⊥平面PAE．
∴DF⊥平面PAE．
∴②正确．
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．
∴④正确．
7．45°
解析 可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．
8．5
解析 由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，
又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，
∴∠DAB为二面角D―PA―B的平面角，
∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB，
∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA，
∴面PDC⊥面PDA．
9．①③④?②(或②③④?①)
10．证明 ∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，
∴BG⊥AC，DG⊥AC，
∴AC⊥平面BGD．
又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．
∵EF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．
11．(1)证明 如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．
又AB∥CD，所以BE⊥AB．
又因为PA⊥平面ABCD，
BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB．
又BE?平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB．
(2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以PB⊥BE．又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A―BE―P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，
则∠PBA＝60°．
故二面角A―BE―P的大小是60°．
12．证明 (1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知
EF∥BC．
因为EF?平面ABC．
BC?平面ABC．
所以EF∥平面ABC．
(2)由三棱柱ABC―A1B1C1为直三棱柱知
CC1⊥平面A1B1C1．
又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．
又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，
所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．
13．(1)证明 ∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．
又∠BCA＝90°，
∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC．
(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，
BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC．
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE．
∴∠AEP为二面角A―DE―P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC．
这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A―DE―P为直二面角．
第3课时 两平面垂直的性质
【课时目标】 1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．
3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．
1．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面．
用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?________．
2．两个重要结论：
(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________________________________________________________．
图形表示为：
符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β?________．
(2)已知平面α⊥平面β，a?α，a⊥β，那么__________(a与α的位置关系)．
一、填空题
1．平面α⊥平面β，a?α，b?β，且b∥α，a⊥b，则a和β的位置关系是________．
2．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α，β，有下列命题：
①若m∥n，n?α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α．
其中正确的命题是________(填序号)．
3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条．
4．设α－l－β是直二面角，直线a?α，直线b?β，a，b与l都不垂直，那么下列说法正确的序号为________．
①a与b可能垂直，但不可能平行；
②a与b可能垂直，也可能平行；
③a与b不可能垂直，但可能平行；
④a与b不可能垂直，也不可能平行．
5．如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别是BD和AE的中点，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN、CE异面．
其中结论正确的是________(填序号)．
6．
如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′＝________．
7．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，PD/∈l，则下列命题中正确的为________．(只填序号)
①过P垂直于l的平面垂直于β；
②过P垂直于l的直线垂直于β；
③过P垂直于α的直线平行于β；
④过P垂直于β的直线在α内．
8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O，空间一点P到α、β、γ的距离分别是2 cm、3 cm、6 cm，则点P到O的距离为________ cm．
9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在________．
二、解答题
10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．
求证：BC⊥AB．
11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB．
能力提升
12．如图所示，四棱锥P―ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．
13．如图所示，在多面体P―ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝45．
(1)设M是PC上的一点，
求证：平面MBD⊥平面PAD；
(2)求P点到平面ABCD的距离．
1．运用两个平面垂直的性质定理时，一般需要作辅助线，其基本作法是过其中一个平面内一点在此平面内作交线的垂线，这样，就把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．
2．无论从判定还是从性质来看，线线垂直、线面垂直和面面垂直都是密切相关的，面对复杂的空间图形，要善于发现它们之间的内在联系，找出解决问题的切入点，垂直关系的转化为：
第3课时 两平面垂直的性质 答案
知识梳理
1．垂直 交线 a⊥β
2．(1)第一个平面内 a?α (2)a∥α
作业设计
1．a⊥β
2．②④
3．0
解析 若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．
4．③
5．①②③
6．2∶1
解析 如图：
由已知得AA′⊥面β，
∠ABA′＝π6，
BB′⊥面α，∠BAB′＝π4，
设AB＝a，则BA′＝32a，BB′＝22a，
在Rt△BA′B′中，A′B′＝12a，∴ABA′B′＝21．
7．①③④
解析 由性质定理知②错误．
8．7
解析 P到O的距离恰好为以2 cm,3 cm,6 cm为长、宽、高的长方体的对角线的长．
9．直线AB上
解析 由AC⊥BC1，AC⊥AB，
得AC⊥面ABC1，又AC?面ABC，
∴面ABC1⊥面ABC．
∴C1在面ABC上的射影H必在交线AB上．
10．证明 在平面PAB内，作AD⊥PB于D．
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB．
∴AD⊥平面PBC．
又BC?平面PBC，
∴AD⊥BC．
又∵PA⊥平面ABC，
BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．
又AB?平面PAB，
∴BC⊥AB．
11．证明
(1)连结PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD，
∴PG⊥BG．
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴BG⊥AD．
又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．
所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB．
12．
证明 设AC∩BD＝O，
连结EO，
则EO∥PC．∵PC＝CD＝a，
PD＝2a，
∴PC2＋CD2＝PD2，
∴PC⊥CD．
∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，
∴PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD．
又EO?平面EDB，
∴平面EDB⊥平面ABCD．
13．(1)证明 在△ABD中，
∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，
∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．
又∵面PAD⊥面ABCD，
面PAD∩面ABCD＝AD，
BD?面ABCD，
∴BD⊥面PAD，又BD?面BDM，
∴面MBD⊥面PAD．
(2)解
过P作PO⊥AD，
∵面PAD⊥面ABCD，
∴PO⊥面ABCD，
即PO为四棱锥P―ABCD的高．
又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23．
