第4节 万有引力与航天
【考纲知识梳理】
一、开普勒行星运动定律
1．开普勒第一定律（轨道定律）:所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
2．开普勒第二定律（面积定律）:对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的相等的面积。（近日点速率最大，远日点速率最小）
3．开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的平方的比值都相等。
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。
2.公式：
3.适用条件:适用于质点间的相互作用
三、万有定律的应用
1.讨论重力加速度g随离地面高度h的变化情况： 物体的重力近似为地球对物体的引力，即 。所以重力加速度 ，可见，g随h的增大而减小。
2．算中心天体的质量的基本思路：
(1)从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的周期T和轨道半径r;就可以求出中心天体的质量M
(2)从中心天体本身出发:只要知道中心天体的表面重力加速度g和半径R就可以求出中心天体的质量M。
3．解卫星的有关问题：在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：
（1）是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力。即
（2）是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即 从而得出 (黄金代换，不考虑地球自转)
4.卫星：相对地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星。
①定高：h=36000km ②定速：v=3.08km/s ③定周期：=24h ④定轨道：赤道平面
5、三种宇宙速度：第一、第二、第三宇宙速度
①第一宇宙速度（环绕速度）：是卫星环绕地球表面运行的速度，也是绕地球做匀速圆周运动的最大速度，也是发射卫星的最小速度V1=7.9Km/s。
②第二宇宙速度（脱离速度）：使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，V2=11.2Km/s。
③第三宇宙速度（逃逸速度）：使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，V3=16.7 Km/s。
【要点名师透析】
一、应用万有引力定律分析天体的运动
1.解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即 (g0表示天体表面的重力加速度).
注意：①在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g0时，常运用GM＝g0R2作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来.由于这种代换的作用巨大，此式通常称为黄金代换式.
②利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度：
在行星表面重力加速度：
在离地面高为h的轨道处重力加速度： ，所以
2.应用实例
(1)估算中心天体质量的基本思路
①从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的周期T和轨道半径r就可以求出中心天体的质量M.
②从中心天体本身出发:只要知道中心天体表面的重力加速度g和半径R就可以求出中心天体的质量M.
(2)估算中心天体的密度ρ测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，由
【例1】(2010?安徽高考)为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”.假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出( )
A.火星的密度和火星表面的重力加速度
B.火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C.火星的半径和“萤火一号”的质量
D.火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
【答案】选A.设火星的半径为R，火星的质量为M，
由F万=F向可得：
联立可以求出火星的半径R，火星的质量M，由密度公式 ，可进一步求出火星的密度；由 可进一步求出火星表面的重力加速度.由于不知道“萤火一号”的质量，所以不能求出火星对“萤火一号”的引力，只有A正确.
二、卫星的运行规律
1.卫星的动力学规律
由万有引力提供向心力
3.卫星的“变轨问题”分析
卫星在运行中的变轨有两种情况，即离心运动和向心运动.
当万有引力恰好提供卫星所需向心力时，即
时，卫星做匀速圆周运动；当某时刻速度发生突变时，轨道半径将发生变化.
(1)速度突然增大时 ，万有引力小于向心力，做离心运动.
(2)速度突然减小时， ，万有引力大于向心力，做向心运动.
4.地球同步卫星的特点
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合.
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h＝86 400 s.
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同.
(4)高度一定：据 得 ＝4.24×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量).
(5)速率一定：运动速度v＝2πr/T＝3.07 km/s(为恒量).
(6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致.
5.极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖.
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心.
【例2】(2010?江苏高考)2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )
A.在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B.在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能
C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D.在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
【答案】选A、B、C.
【详解】根据开普勒定律可知，航天飞机在近地点的速度大于在远地点的速度，A正确；在轨道Ⅰ上航天飞机受到的万有引力恰好提供向心力，而在轨道Ⅱ上万有引力大于向心力，航天飞机做向心运动，因此在轨道Ⅱ上经过A的速度小于在轨道Ⅰ上经过A的速度，所以B正确；由开普勒第三定律可知， ,R2【感悟高考真题】
1.（2011?江苏物理?T7）一行星绕恒星作圆周运动。由天文观测可得，其运动周期为T，速度为v，引力常量为G，则
A．恒星的质量为 B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为 D．行星运动的加速度为
【答案】选ACD.
【详解】根据周期公式 可得 ，C对，根据向心加速度公式 ，D对，根据万有引力提供向心力 ，可得 ,A对。
2.（2011?福建理综?T13）“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。若测得“嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式 ，则可估算月球的
A.密度 B.质量 C.半径 D.自转周期
【答案】选A.
【详解】由万有引力提供向心力有 ，由于在月球表面
轨道有r=R，由球体体积公式 联立解得月球的密度 ，故选A。
3.（2011?新课标全国卷?T19）卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送。如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105km，运行周期约为27天，地球半径约为6400km，无线电信号的传播速度为3×108m/s，）
A.0.1s B.0.25s C.0.5s D.1s
【答案】选B。
【详解】根据开普勒第三定律可得： ，则同步卫星的轨道半径为 ，代入题设已知得，r卫=r月3272 =4.22×107m，因此同步卫星到地面的最近距离为L= r卫－r=4.22×107m－6.4×106m=3.58×107m，从发出信号至对方接收到信号所需最短时间?t=2Lc =2.4s，即A、C、D错，B正确。
4.【答案】甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。以下判断正确的是
A.甲的周期大于乙的周期 B.乙的速度大于第一宇宙速度
C.甲的加速度小于乙的加速度 D.甲在运行时能经过北极的正上方
【答案】选A、C。
【详解】由题意知甲卫星的轨道半径比乙大，由万有引力提供向心力可得 ，得出周期和轨道半径的关系 ，轨道半径越大，卫星周期越长。可得出A选项正确。有由万有引力充当向心力的另一个表达式 可得线速度和轨道半径的关系 ，轨道半径越大，线速度越小。可得出B项错误。又由 ，得 ，故轨道半径越大，向心加速度越小。可得出C项正确。地球同步卫星的轨道应在赤道正上方，不可能经过北极，D项错误。
5.（2011?天津理综?T8）质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的
A.线速度 B.角速度
C.运行周期 D.向心加速度
【答案】选AC．
【详解】月球对探月航天器的万有引力提供探月航天器在月球附近做匀速圆周运动所需要的向心力，根据牛顿第二定律列方程得 ，则探月航天器的线速度为 ,选项A正确，其加速度 ,选项D错误，又知，在月球附近满足 ，因此探月航天器的角速度 ，其周期为 ，选项B错误，而选项C正确。
6.（2011?浙江理综?T19）为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1。随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2 的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2则
A. X星球的质量为
B. X星球表面的重力加速度为
C. 登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为
D. 登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期为
【答案】选AD.
【详解】探测飞船绕星球运动时，由万有引力充当向心力，满足 ，可得： ，A正确； 又根据 （R为星球半径），B错误；根据： ，可得： ，C错误；根据： ，可得： ，D正确.
7.（2011?广东理综?T20）已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G。有关同步卫星，下列表述正确的是
A.卫星距离地面的高度为
B.卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C.卫星运行时受到的向心力大小为
D.卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
【答案】选B.D.
【详解】对同步卫星有万有引力提供向心力 ,所以 ,故A错误；第一宇宙速度是最大的环绕速度，B正确；同步卫星运动的向心力等于万有引力，应为: ,C错误；同步卫星的向心加速度为 ，地球表面的重力加速度 ,知 ，D正确。
8.（2011?四川理综?T17）据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55Cancri e”该行星绕母星（中心天体）运行的周期约为地球绕太阳运行周期的 ，母星的体积约为太阳的60倍.假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的
A.轨道半径之比约为 B. 轨道半径之比约为
C.向心加速度之比约为 D. 向心加速度之比约为
【答案】选B.
【详解】由公式 ，可得通式 ，从而判断A错B对；再由 得通式 ，可知C、D皆错.
9.（2011?北京高考?T15）由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的
A. 质量可以不同 B. 轨道半径可以不同
C. 轨道平面可以不同 D. 速率可以不同
【答案】选A.
【详解】万有引力提供卫星的向心力 ，解得周期 ，环绕速度 ，可见周期相同的情况下轨道半径必然相同，B错误，轨道半径相同必然环绕速度相同，D错误，同步卫星相对于地面静止在赤道上空，所有的同步卫星轨道运行在赤道上空同一个圆轨道上，C错误，同步卫星的质量可以不同，A正确.
10.（2011?大纲版全国?T19）我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比，
A．卫星动能增大，引力势能减小B．卫星动能增大，引力势能增大
C．卫星动能减小，引力势能减小D．卫星动能减小，引力势能增大
【答案】选D.
【详解】当卫星在圆周轨道上做匀速圆周运动时，万有引力充当向心力 ，所以环绕周期 ，环绕速度 可以看出，周期越大，轨道半径越大，轨道半径越大，环绕速度越小，动能越小.在变轨过程中，克服引力做功，引力势能增加，所以D选项正确。
11.（2011?重庆理综?T21）某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如题21图所示。该行星与地球的公转半径之比为
A． B.
C． D.
【答案】选B.
【详解】地球周期 年，经过N年，地球比行星多转一圈，即多转 ，角速度之差为 ，所以 ，即 ，由开普勒第三定律 得
12.（2011?海南物理?T12）2011年4月10日，我国成功发射第8颗北斗导航卫星，建成以后北斗导航卫星系统将包含多颗地球同步卫星，这有助于减少我国对GPS导航系统的依赖，GPS由运行周期为12小时的卫星群组成，设北斗导航系统的同步卫星和GPS导航卫星的轨道半径分别为 和 ，向心加速度分别为 和 ，则 =_______， =_____（可用根式表示）
【答案】
【详解】依据题意可知 h， h，由开普勒第三定律 ，所以 ；由万有引力提供向心力公式 ，可得 .
13.（2011?安徽高考?T22）（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即 ， 是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量 的表达式。已知引力常量为G，太阳的质量为 。
（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为 m，月球绕地球运动的周期为 S，试计算地球的质量 。（ ，结果保留一位有效数字）
【答案】（1） （2）
【详解】（1）因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道半长轴a即为轨道半径r，根据万有引力定律和牛顿第二定律有 ①
于是有 ②
即
（2）在地月系统中，
得 解得
14.（2011?上海高考物理?T22B）人造地球卫星在运行过程中由于受到微小的阻力，轨道半径将缓慢减小。在此运动过程中，卫星所受万有引力大小将 (填“减小”或“增大”)；其动能将 (填“减小”或“增大”)。
【答案】根据万有引力公式 ，当轨道半径 减小的过程中，万有引力增大，根据环绕速度公式 ，当轨道半径 减小的过程中，环绕速度增大，卫星动能增大．
〖答案〗增大，增大
15. （2010?全国卷2）21.已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为
A．6小时 B. 12小时 C. 24小时 D. 36小时
【答案】B
【解析】地球的同步卫星的周期为T1=24小时，轨道半径为r1=7R1，密度ρ1。某行星的同步卫星周期为T2，轨道半径为r2=3.5R2，密度ρ2。根据牛顿第二定律和万有引力定律分别有
两式化简得 小时
【命题意图与考点定位】牛顿第二定律和万有引力定律应用于天体运动。
16（2010?新课标卷）20.太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道.下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像.图中坐标系的横轴是 ，纵轴是 ;这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径， 和 分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径.下列4幅图中正确的是
答案：B
解析：根据开普勒周期定律：周期平方与轨道半径三次方正比可知 ,
两式相除后取对数，得： ，整理得： ，选项B正确。
17 （2010?北京卷）16．一物体静置在平均密度为 的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量Ｇ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：D
【解析】赤道表面的物体对天体表面的压力为零，说明天体对物体的万有引力恰好等于物体随天体转动所需要的向心力，有 ，化简得 ，正确答案为D。
18 （2010?上海物理）15. 月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为 ，设月球表面的重力加速度大小为 ，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为 ，则
（A） （B） （C） （D）
解析：
根据月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球引力提供，选B。
本题考查万有引力定律和圆周运动。难度：中等。这个题出的好。
19 （2010?上海物理）24.如图，三个质点a、b、c质量分别为 、 、 （ ）.在C的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比 ,则它们的周期之比 =______;从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了____次。
【解析】根据 ，得 ,所以 ，
在b运动一周的过程中，a运动8周，所以a、b、c共线了8次。
本题考查万有引力和圆周运动。难度：中等。
20 （2010?天津卷）6.探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比
A.轨道半径变小 B.向心加速度变小
C.线速度变小 D.角速度变小
答案：A
21（2010?福建卷）14.火星探测项目我过继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行周期为 ，神州飞船在地球表面附近圆形轨道运行周期为 ，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则 、 之比为
A. B. C. D.
答案：D
解析：设中心天体的质量为M，半径为R，当航天器在星球表面飞行时，由
和 ，解得 ，即 ；又因为 ，所以 ， 。
【命题特点】本题关注我国航天事业的发展，考查万有引力在天体运动中的应用，这也几乎是每年高考中必考的题型。
22 （2010?山东卷）18．1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元。“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点 和运地点 的高度分别为439km和2384km，则
A．卫星在 点的势能大于 点的势能
B．卫星在 点的角速度大于 点的角速度
C．卫星在 点的加速度大于 点的加速度
D．卫星在 点的速度大于7．9km/s
答案：BC
解析：
A．根据 ，因为 ＜ ，所以 ＜ ，A错误；
B．根据 ，因为 ＞ ，且 ＜ ，所以 ＞ ，B正确；
C．根据 ，因为 ＜ ，所以 ＞ ，C正确；
D．根据 ，因为 ＞R，R为地球半径，所以 ＜7．9km/s，D错误。
本题选BC。
本题考查万有引力定律和圆周运动。
难度：中等。
23（2010?重庆卷）16.月球与地球质量之比约为1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成 的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动。据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为
A 1：6400 B 1：80
C 80：1 D 6400：1
【答案】C
【解析】月球和地球绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等。且月球和地球和O始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期。因此有 ，所以 ，线速度和质量成反比，正确答案C。
24 （2010?浙江卷）20. 宇宙飞船以周期为T绕地地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球处置周期为T。太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出的张角为 ，则
A. 飞船绕地球运动的线速度为
B. 一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T0
C. 飞船每次“日全食”过程的时间为
D. 飞船周期为T=
答案：AD
25（2010?全国卷1）25．（18分）如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。
求两星球做圆周运动的周期。
在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）
【答案】⑴ ⑵1.01
【解析】 ⑴A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等。且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期。因此有
， ，连立解得 ，
对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得
化简得
⑵将地月看成双星，由⑴得
将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得
化简得
所以两种周期的平方比值为
【考点模拟演练】
1．近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常数)( )
A．ρ＝kT B．ρ＝kT
C．ρ＝kT2 D．ρ＝kT2
【答案】D
【详解】火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动时，GMmR2＝m4π2T2R，又M＝43πR3?ρ，可得：ρ＝3πGT2＝kT2，故只有D正确．
2．(2011?辅仁检测)宇宙飞船在半径为R1的轨道上运行，变轨后的半径为R2，R1＞R2.宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，则变轨后宇宙飞船的( )
A．线速度变小 B．角速度变小
C．周期变大 D．向心加速度变大
【答案】D
【详解】根据GmMr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2rT2＝ma向得v＝ GMr，可知变轨后飞船的线速度变大，A错；角速度变大，B错；周期变小，C错；向心加速度变大，D正确．
3．在圆轨道上做匀速圆周运动的国际空间站里，一宇航员手拿一只小球相对于太空舱静止“站立”于舱内朝向地球一侧的“地面”上，如图所示．下列说法正确的是( )
A．宇航员相对于地球的速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间
B．若宇航员相对于太空舱无初速释放小球，小球将落到“地面”上
C．宇航员将不受地球的引力作用
D．宇航员对“地面”的压力等于零
【答案】D
【详解】7.9 km/s是发射卫星的最小速度，是卫星环绕地球运行的最大速度，可见，所有环绕地球运转的卫星、飞船等，其运行速度均小于7.9 km/s，故A错误；若宇航员相对于太空舱无初速释放小球，由于惯性，小球仍具有原来的速度，所以地球对小球的万有引力正好提供它做匀速圆周运动需要的向心力，即GMm′r2＝m′v2r，其中m′为小球的质量，
故小球不会落到“地面”上，而是沿原来的轨道继续做匀速圆周运动，故B错误；宇航员受地球的引力作用，此引力提供宇航员随空间站绕地球作圆周运动的向心力，否则宇航员将脱圆周轨道，故C错；因宇航员受的引力全部提供了向心力，宇航员不能对“地面”产生压力，处于完全失重状态，D正确．
4．我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．如图4－4－10所示，关闭动力的航天飞机在月球引力作用下经椭圆轨道向月球靠近，并将与空间站在B处对接．已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，下列说法中正确的是( )
A．图中航天飞机在飞向B处的过程中，月球引力做正功
B．航天飞机在B处由椭圆轨道可直接进入空间站轨道
C．根据题中条件可以算出月球质量
D．根据题中条件可以算出空间站受到月球引力的大小
【答案】AC
【详解】航天飞机在飞向B处的过程中，飞机受到的引力方向和飞行方向之间的夹角是锐角，月球引力做正功；由运动的可逆性知，航天飞机在B处先减速才能由椭圆轨道进入空间站轨道；设绕月球飞行的空间站质量为m，GMmr2＝m4π2T2r，可以算出月球质量M；空间站的质量不知，不能算出空间站受到的月球引力大小．
5．为纪念伽利略将望远镜用于天文观测400周年，2009年被定为以“探索我的宇宙”为主题的国际天文年．我国发射的“嫦娥一号”卫星绕月球经过一年多的运行，完成了既定任务，于2009年3月1日16时13分成功撞月．如图所示为“嫦娥一号”卫星撞月的模拟图，卫星在控制点开始进入撞月轨道．假设卫星绕月球做圆周运动的轨道半径为R，周期为T，引力常量为G.根据题中信息，以下说法正确的是( )
A．可以求出月球的质量
B．可以求出月球对“嫦娥一号”卫星的引力
C．“嫦娥一号”卫星在控制点处应减速
D．“嫦娥一号”在地面的发射速度大于11.2 km/s
【答案】AC
【详解】卫星绕月球做圆周运动万有引力提供向心力，有
GM月mR2＝m4π2T2R，则M月＝4π2R3GT2，选项A正确；因卫星质量m未知，无法求出月球对“嫦娥一号”卫星的引力，选项B错误；卫星在控制点开始进入撞月轨道，做近心运动，则速度要减小，选项C正确；“嫦娥一号”在地面的发射速度大于7.9 km/s，小于11.2 km/s，选项D错误．
6．(2011?广东六校联合体联考)我们在推导第一宇宙速度的公式v＝gR时，需要做一些假设和选择一些理论依据，下列必要的假设和理论依据有( )
A．卫星做半径等于2倍地球半径的匀速圆周运动
B．卫星所受的重力全部作为其所需的向心力
C．卫星所受的万有引力仅有一部分作为其所需的向心力
D．卫星的运转周期必须等于地球的自转周期
【答案】 B
【详解】第一宇宙速度是卫星的最大环绕速度，只有其运行轨道半径最小时，它的运行速度才最大，而卫星的最小轨道半径等于地球半径，故A错误；在地球表面附近我们认为万有引力近似等于重力，故B正确，C错误；同步卫星的运转周期等于地球的自转周期，而同步卫星的运行轨道半径大于地球半径，即大于近地轨道卫星半径，故同步卫星的周期大于近地轨道卫星，D错误．
7．1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元．“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N的高度分别为439 km和2 384 km，则( )
A．卫星在M点的势能大于N点的势能
B．卫星在M点的角速度小于N点的角速度
C．卫星在M点的加速度大于N点的加速度
D．卫星在N点的速度大于7.9 km/s
【答案】 C
【详解】卫星从M点到N点，万有引力做负功，势能增大，A项错误；由开普勒第二定律知，M点的角速度大于N点的角速度，B项错误；由于卫星在M点所受万有引力较大，因而加速度较大，C项正确；卫星在远地点N的速度小于其在该点做圆周运动的线速度，而第一宇宙速度7.9 km/s是线速度的最大值，D项错误．
8．如图所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是( )
A．M＝4π2?R＋h?3Gt2，ρ＝3π??R＋h?3Gt2R3
B．M＝4π2?R＋h?2Gt2，ρ＝3π??R＋h?2Gt2R3
C．M＝4π2t2?R＋h?3Gn2，ρ＝3π?t2??R＋h?3Gn2R3
D．M＝4π2n2?R＋h?3Gt2，ρ＝3π?n2??R＋h?3Gt2R3
【答案】 D
【详解】 设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M，“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，GMm?R＋h?2＝m(R＋h)2πT2，其中T＝tn，解得M＝4π2n2?R＋h?3Gt2.又土星体积V＝43πR3，所以ρ＝MV＝3π?n2??R＋h?3Gt2R3.
9．宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面(设月球半径为R)．据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为
( )
A.2Rht B.2Rht
C.Rht D.Rh2t
【答案】B
【详解】设月球表面处的重力加速度为g0，则h＝12g0t2，设飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为v，由牛顿第二定律得mg0＝mv2R，两式联立解得v＝2Rht，选项B对．
10．下表是卫星发射的几组数据，其中发射速度v0是燃料燃烧完毕时火箭具有的速度，之后火箭带着卫星依靠惯性继续上升，到达指定高度h后再星箭分离，分离后的卫星以环绕速度v绕地球运动．根据发射过程和表格中的数据，下面哪些说法是正确的
( )
卫星离地面
高度h(km)环绕速度
v(km/s)发射速度v0
(km/s)
07.917.91
2007.788.02
5007.618.19
10007.358.42
50005.529.48
∞011.18
A.不计空气阻力，在火箭依靠惯性上升的过程中机械能守恒
B．离地越高的卫星机械能越大
C．离地越高的卫星环绕周期越大
D．当发射速度达到11.18 km/s时，卫星能脱离地球到达宇宙的任何地方
【答案】AC
【详解】由机械能守恒定律知，A正确．对B选项，由于卫星的机械能除了与高度有关外，还与质量有关，所以是错误的；由GMmr2＝m4π2T2r知，离地面越高的卫星周期越大，C正确；从列表中可以看出，11.18 km/s的发射速度是第二宇宙速度，此速度是使卫星脱离地球围绕太阳运转，成为太阳的人造行星的最小发射速度，但逃逸不出太阳系，D错误．
11．如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h，已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．
(1)求卫星B的运动周期；
(2)若卫星B运行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，则至少经过多少时间，它们再一次相距最近？
【答案】(1)2π?R＋h?3gR2 (2)2πgR2?R＋h?3－ω0
【详解】根据万有引力提供向心力，列出万有引力与周期的关系，即可求出卫星B的运行周期．第二问关键是要寻找A、B两卫星再一次相距最近时它们转过的角度关系，只要分析出A、B两卫星哪一个角速度大，就能确定相同时间内A、B转过的角度之间的关系．
(1)设卫星B的运行周期为TB，由万有引力定律和向心力公式得
GMm?R＋h?2＝m4π2TB2(R＋h)，①
GMmR2＝mg，②
联立①②得TB＝2π?R＋h?3gR2.③
(2)用ω表示卫星的角速度，r表示卫星的轨道半径，由万有引力定律和向心力公式得GMmr2＝mrω2，④
联立②④得ω＝gR2r3，⑤
因为rA>rB，所以ω0<ωB，用t表示所需的时间
(ωB－ω0)t＝2π，⑥
由③得ωB＝gR2?R＋h?3，⑦
代入⑥得t＝2πgR2?R＋h?3－ω0.
12．(17分)一飞船在某星球表面附近，受星球引力作用而绕其做匀速圆周运动的速率为v1，飞船在离该星球表面高度为h处，受星球引力作用而绕其做匀速圆周运动的速率为v2，已知万有引力常量为G.试求：
(1)该星球的质量；
(2)若设该星球的质量为M，一个质量为m的物体在离该星球球心r远处具有的引力势能为Ep＝－GMmr，则一颗质量为m1的卫星由r1轨道变为r2(r1＜r2)轨道，对卫星至少做多少功？(卫星在r1、r2轨道上均做匀速圆周运动，结果请用M、m1、r1、r2、G表示)
设星球的半径为R，质量为M，则
【答案】(1)hv21v22G?v21－v22? (2)G(Mm12r1－Mm12r2)
【详解】 (1)飞船需要的向心力由万有引力提供，则
GMmR2＝mv21R
GMm?R＋h?2＝mv22?R＋h?
解得M＝hv21v22G?v21－v22?.
(2)卫星在轨道上有动能和势能，其总和为E(机械能)，则GMm1r2＝m1v2r
E＝Ek＋Ep＝12m1v2＋(－GMm1r)＝－GMm12r
W＝ΔE＝E2－E1＝G(Mm12r1－Mm12r2)．
【考纲知识梳理】
一、开普勒行星运动定律
1．开普勒第一定律（轨道定律）:所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
2．开普勒第二定律（面积定律）:对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的相等的面积。（近日点速率最大，远日点速率最小）
3．开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的平方的比值都相等。
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。
2.公式：
3.适用条件:适用于质点间的相互作用
三、万有定律的应用
1.讨论重力加速度g随离地面高度h的变化情况： 物体的重力近似为地球对物体的引力，即 。所以重力加速度 ，可见，g随h的增大而减小。
2．算中心天体的质量的基本思路：
(1)从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的周期T和轨道半径r;就可以求出中心天体的质量M
(2)从中心天体本身出发:只要知道中心天体的表面重力加速度g和半径R就可以求出中心天体的质量M。
3．解卫星的有关问题：在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：
（1）是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力。即
（2）是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即 从而得出 (黄金代换，不考虑地球自转)
4.卫星：相对地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星。
①定高：h=36000km ②定速：v=3.08km/s ③定周期：=24h ④定轨道：赤道平面
5、三种宇宙速度：第一、第二、第三宇宙速度
①第一宇宙速度（环绕速度）：是卫星环绕地球表面运行的速度，也是绕地球做匀速圆周运动的最大速度，也是发射卫星的最小速度V1=7.9Km/s。
②第二宇宙速度（脱离速度）：使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，V2=11.2Km/s。
③第三宇宙速度（逃逸速度）：使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，V3=16.7 Km/s。
【要点名师透析】
一、应用万有引力定律分析天体的运动
1.解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即 (g0表示天体表面的重力加速度).
注意：①在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g0时，常运用GM＝g0R2作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来.由于这种代换的作用巨大，此式通常称为黄金代换式.
②利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度：
在行星表面重力加速度：
在离地面高为h的轨道处重力加速度： ，所以
2.应用实例
(1)估算中心天体质量的基本思路
①从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的周期T和轨道半径r就可以求出中心天体的质量M.
②从中心天体本身出发:只要知道中心天体表面的重力加速度g和半径R就可以求出中心天体的质量M.
(2)估算中心天体的密度ρ测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，由
【例1】(2010?安徽高考)为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”.假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出( )
A.火星的密度和火星表面的重力加速度
B.火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C.火星的半径和“萤火一号”的质量
D.火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
【答案】选A.设火星的半径为R，火星的质量为M，
由F万=F向可得：
联立可以求出火星的半径R，火星的质量M，由密度公式 ，可进一步求出火星的密度；由 可进一步求出火星表面的重力加速度.由于不知道“萤火一号”的质量，所以不能求出火星对“萤火一号”的引力，只有A正确.
二、卫星的运行规律
1.卫星的动力学规律
由万有引力提供向心力
3.卫星的“变轨问题”分析
卫星在运行中的变轨有两种情况，即离心运动和向心运动.
当万有引力恰好提供卫星所需向心力时，即
时，卫星做匀速圆周运动；当某时刻速度发生突变时，轨道半径将发生变化.
(1)速度突然增大时 ，万有引力小于向心力，做离心运动.
(2)速度突然减小时， ，万有引力大于向心力，做向心运动.
4.地球同步卫星的特点
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合.
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h＝86 400 s.
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同.
(4)高度一定：据 得 ＝4.24×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量).
(5)速率一定：运动速度v＝2πr/T＝3.07 km/s(为恒量).
(6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致.
5.极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖.
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心.
【例2】(2010?江苏高考)2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )
A.在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B.在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能
C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D.在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
【答案】选A、B、C.
【详解】根据开普勒定律可知，航天飞机在近地点的速度大于在远地点的速度，A正确；在轨道Ⅰ上航天飞机受到的万有引力恰好提供向心力，而在轨道Ⅱ上万有引力大于向心力，航天飞机做向心运动，因此在轨道Ⅱ上经过A的速度小于在轨道Ⅰ上经过A的速度，所以B正确；由开普勒第三定律可知， ,R2
1.（2011?江苏物理?T7）一行星绕恒星作圆周运动。由天文观测可得，其运动周期为T，速度为v，引力常量为G，则
A．恒星的质量为 B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为 D．行星运动的加速度为
【答案】选ACD.
【详解】根据周期公式 可得 ，C对，根据向心加速度公式 ，D对，根据万有引力提供向心力 ，可得 ,A对。
2.（2011?福建理综?T13）“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。若测得“嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式 ，则可估算月球的
A.密度 B.质量 C.半径 D.自转周期
【答案】选A.
【详解】由万有引力提供向心力有 ，由于在月球表面
轨道有r=R，由球体体积公式 联立解得月球的密度 ，故选A。
3.（2011?新课标全国卷?T19）卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送。如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105km，运行周期约为27天，地球半径约为6400km，无线电信号的传播速度为3×108m/s，）
A.0.1s B.0.25s C.0.5s D.1s
【答案】选B。
【详解】根据开普勒第三定律可得： ，则同步卫星的轨道半径为 ，代入题设已知得，r卫=r月3272 =4.22×107m，因此同步卫星到地面的最近距离为L= r卫－r=4.22×107m－6.4×106m=3.58×107m，从发出信号至对方接收到信号所需最短时间?t=2Lc =2.4s，即A、C、D错，B正确。
4.【答案】甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。以下判断正确的是
A.甲的周期大于乙的周期 B.乙的速度大于第一宇宙速度
C.甲的加速度小于乙的加速度 D.甲在运行时能经过北极的正上方
【答案】选A、C。
【详解】由题意知甲卫星的轨道半径比乙大，由万有引力提供向心力可得 ，得出周期和轨道半径的关系 ，轨道半径越大，卫星周期越长。可得出A选项正确。有由万有引力充当向心力的另一个表达式 可得线速度和轨道半径的关系 ，轨道半径越大，线速度越小。可得出B项错误。又由 ，得 ，故轨道半径越大，向心加速度越小。可得出C项正确。地球同步卫星的轨道应在赤道正上方，不可能经过北极，D项错误。
5.（2011?天津理综?T8）质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的
A.线速度 B.角速度
C.运行周期 D.向心加速度
【答案】选AC．
【详解】月球对探月航天器的万有引力提供探月航天器在月球附近做匀速圆周运动所需要的向心力，根据牛顿第二定律列方程得 ，则探月航天器的线速度为 ,选项A正确，其加速度 ,选项D错误，又知，在月球附近满足 ，因此探月航天器的角速度 ，其周期为 ，选项B错误，而选项C正确。
6.（2011?浙江理综?T19）为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1。随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2 的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2则
A. X星球的质量为
B. X星球表面的重力加速度为
C. 登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为
D. 登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期为
【答案】选AD.
【详解】探测飞船绕星球运动时，由万有引力充当向心力，满足 ，可得： ，A正确； 又根据 （R为星球半径），B错误；根据： ，可得： ，C错误；根据： ，可得： ，D正确.
7.（2011?广东理综?T20）已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G。有关同步卫星，下列表述正确的是
A.卫星距离地面的高度为
B.卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C.卫星运行时受到的向心力大小为
D.卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
【答案】选B.D.
【详解】对同步卫星有万有引力提供向心力 ,所以 ,故A错误；第一宇宙速度是最大的环绕速度，B正确；同步卫星运动的向心力等于万有引力，应为: ,C错误；同步卫星的向心加速度为 ，地球表面的重力加速度 ,知 ，D正确。
8.（2011?四川理综?T17）据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55Cancri e”该行星绕母星（中心天体）运行的周期约为地球绕太阳运行周期的 ，母星的体积约为太阳的60倍.假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的
A.轨道半径之比约为 B. 轨道半径之比约为
C.向心加速度之比约为 D. 向心加速度之比约为
【答案】选B.
【详解】由公式 ，可得通式 ，从而判断A错B对；再由 得通式 ，可知C、D皆错.
9.（2011?北京高考?T15）由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的
A. 质量可以不同 B. 轨道半径可以不同
C. 轨道平面可以不同 D. 速率可以不同
【答案】选A.
【详解】万有引力提供卫星的向心力 ，解得周期 ，环绕速度 ，可见周期相同的情况下轨道半径必然相同，B错误，轨道半径相同必然环绕速度相同，D错误，同步卫星相对于地面静止在赤道上空，所有的同步卫星轨道运行在赤道上空同一个圆轨道上，C错误，同步卫星的质量可以不同，A正确.
10.（2011?大纲版全国?T19）我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比，
A．卫星动能增大，引力势能减小B．卫星动能增大，引力势能增大
C．卫星动能减小，引力势能减小D．卫星动能减小，引力势能增大
【答案】选D.
【详解】当卫星在圆周轨道上做匀速圆周运动时，万有引力充当向心力 ，所以环绕周期 ，环绕速度 可以看出，周期越大，轨道半径越大，轨道半径越大，环绕速度越小，动能越小.在变轨过程中，克服引力做功，引力势能增加，所以D选项正确。
11.（2011?重庆理综?T21）某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如题21图所示。该行星与地球的公转半径之比为
A． B.
C． D.
【答案】选B.
【详解】地球周期 年，经过N年，地球比行星多转一圈，即多转 ，角速度之差为 ，所以 ，即 ，由开普勒第三定律 得
12.（2011?海南物理?T12）2011年4月10日，我国成功发射第8颗北斗导航卫星，建成以后北斗导航卫星系统将包含多颗地球同步卫星，这有助于减少我国对GPS导航系统的依赖，GPS由运行周期为12小时的卫星群组成，设北斗导航系统的同步卫星和GPS导航卫星的轨道半径分别为 和 ，向心加速度分别为 和 ，则 =_______， =_____（可用根式表示）
【答案】
【详解】依据题意可知 h， h，由开普勒第三定律 ，所以 ；由万有引力提供向心力公式 ，可得 .
13.（2011?安徽高考?T22）（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即 ， 是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量 的表达式。已知引力常量为G，太阳的质量为 。
（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为 m，月球绕地球运动的周期为 S，试计算地球的质量 。（ ，结果保留一位有效数字）
【答案】（1） （2）
【详解】（1）因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道半长轴a即为轨道半径r，根据万有引力定律和牛顿第二定律有 ①
于是有 ②
即
（2）在地月系统中，
得 解得
14.（2011?上海高考物理?T22B）人造地球卫星在运行过程中由于受到微小的阻力，轨道半径将缓慢减小。在此运动过程中，卫星所受万有引力大小将 (填“减小”或“增大”)；其动能将 (填“减小”或“增大”)。
【答案】根据万有引力公式 ，当轨道半径 减小的过程中，万有引力增大，根据环绕速度公式 ，当轨道半径 减小的过程中，环绕速度增大，卫星动能增大．
〖答案〗增大，增大
15. （2010?全国卷2）21.已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为
A．6小时 B. 12小时 C. 24小时 D. 36小时
【答案】B
【解析】地球的同步卫星的周期为T1=24小时，轨道半径为r1=7R1，密度ρ1。某行星的同步卫星周期为T2，轨道半径为r2=3.5R2，密度ρ2。根据牛顿第二定律和万有引力定律分别有
两式化简得 小时
【命题意图与考点定位】牛顿第二定律和万有引力定律应用于天体运动。
16（2010?新课标卷）20.太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道.下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像.图中坐标系的横轴是 ，纵轴是 ;这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径， 和 分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径.下列4幅图中正确的是
答案：B
解析：根据开普勒周期定律：周期平方与轨道半径三次方正比可知 ,
两式相除后取对数，得： ，整理得： ，选项B正确。
17 （2010?北京卷）16．一物体静置在平均密度为 的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量Ｇ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：D
【解析】赤道表面的物体对天体表面的压力为零，说明天体对物体的万有引力恰好等于物体随天体转动所需要的向心力，有 ，化简得 ，正确答案为D。
18 （2010?上海物理）15. 月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为 ，设月球表面的重力加速度大小为 ，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为 ，则
（A） （B） （C） （D）
解析：
根据月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球引力提供，选B。
本题考查万有引力定律和圆周运动。难度：中等。这个题出的好。
19 （2010?上海物理）24.如图，三个质点a、b、c质量分别为 、 、 （ ）.在C的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比 ,则它们的周期之比 =______;从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了____次。
【解析】根据 ，得 ,所以 ，
在b运动一周的过程中，a运动8周，所以a、b、c共线了8次。
本题考查万有引力和圆周运动。难度：中等。
20 （2010?天津卷）6.探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比
A.轨道半径变小 B.向心加速度变小
C.线速度变小 D.角速度变小
答案：A
21（2010?福建卷）14.火星探测项目我过继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行周期为 ，神州飞船在地球表面附近圆形轨道运行周期为 ，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则 、 之比为
A. B. C. D.
答案：D
解析：设中心天体的质量为M，半径为R，当航天器在星球表面飞行时，由
和 ，解得 ，即 ；又因为 ，所以 ， 。
【命题特点】本题关注我国航天事业的发展，考查万有引力在天体运动中的应用，这也几乎是每年高考中必考的题型。
22 （2010?山东卷）18．1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元。“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点 和运地点 的高度分别为439km和2384km，则
A．卫星在 点的势能大于 点的势能
B．卫星在 点的角速度大于 点的角速度
C．卫星在 点的加速度大于 点的加速度
D．卫星在 点的速度大于7．9km/s
答案：BC
解析：
A．根据 ，因为 ＜ ，所以 ＜ ，A错误；
B．根据 ，因为 ＞ ，且 ＜ ，所以 ＞ ，B正确；
C．根据 ，因为 ＜ ，所以 ＞ ，C正确；
D．根据 ，因为 ＞R，R为地球半径，所以 ＜7．9km/s，D错误。
本题选BC。
本题考查万有引力定律和圆周运动。
难度：中等。
23（2010?重庆卷）16.月球与地球质量之比约为1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成 的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动。据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为
A 1：6400 B 1：80
C 80：1 D 6400：1
【答案】C
【解析】月球和地球绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等。且月球和地球和O始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期。因此有 ，所以 ，线速度和质量成反比，正确答案C。
24 （2010?浙江卷）20. 宇宙飞船以周期为T绕地地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球处置周期为T。太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出的张角为 ，则
A. 飞船绕地球运动的线速度为
B. 一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T0
C. 飞船每次“日全食”过程的时间为
D. 飞船周期为T=
答案：AD
25（2010?全国卷1）25．（18分）如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。
求两星球做圆周运动的周期。
在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）
【答案】⑴ ⑵1.01
【解析】 ⑴A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等。且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期。因此有
， ，连立解得 ，
对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得
化简得
⑵将地月看成双星，由⑴得
将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得
化简得
所以两种周期的平方比值为
【考点模拟演练】
1．近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常数)( )
A．ρ＝kT B．ρ＝kT
C．ρ＝kT2 D．ρ＝kT2
【答案】D
【详解】火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动时，GMmR2＝m4π2T2R，又M＝43πR3?ρ，可得：ρ＝3πGT2＝kT2，故只有D正确．
2．(2011?辅仁检测)宇宙飞船在半径为R1的轨道上运行，变轨后的半径为R2，R1＞R2.宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，则变轨后宇宙飞船的( )
A．线速度变小 B．角速度变小
C．周期变大 D．向心加速度变大
【答案】D
【详解】根据GmMr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2rT2＝ma向得v＝ GMr，可知变轨后飞船的线速度变大，A错；角速度变大，B错；周期变小，C错；向心加速度变大，D正确．
3．在圆轨道上做匀速圆周运动的国际空间站里，一宇航员手拿一只小球相对于太空舱静止“站立”于舱内朝向地球一侧的“地面”上，如图所示．下列说法正确的是( )
A．宇航员相对于地球的速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间
B．若宇航员相对于太空舱无初速释放小球，小球将落到“地面”上
C．宇航员将不受地球的引力作用
D．宇航员对“地面”的压力等于零
【答案】D
【详解】7.9 km/s是发射卫星的最小速度，是卫星环绕地球运行的最大速度，可见，所有环绕地球运转的卫星、飞船等，其运行速度均小于7.9 km/s，故A错误；若宇航员相对于太空舱无初速释放小球，由于惯性，小球仍具有原来的速度，所以地球对小球的万有引力正好提供它做匀速圆周运动需要的向心力，即GMm′r2＝m′v2r，其中m′为小球的质量，
故小球不会落到“地面”上，而是沿原来的轨道继续做匀速圆周运动，故B错误；宇航员受地球的引力作用，此引力提供宇航员随空间站绕地球作圆周运动的向心力，否则宇航员将脱圆周轨道，故C错；因宇航员受的引力全部提供了向心力，宇航员不能对“地面”产生压力，处于完全失重状态，D正确．
4．我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．如图4－4－10所示，关闭动力的航天飞机在月球引力作用下经椭圆轨道向月球靠近，并将与空间站在B处对接．已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，下列说法中正确的是( )
A．图中航天飞机在飞向B处的过程中，月球引力做正功
B．航天飞机在B处由椭圆轨道可直接进入空间站轨道
C．根据题中条件可以算出月球质量
D．根据题中条件可以算出空间站受到月球引力的大小
【答案】AC
【详解】航天飞机在飞向B处的过程中，飞机受到的引力方向和飞行方向之间的夹角是锐角，月球引力做正功；由运动的可逆性知，航天飞机在B处先减速才能由椭圆轨道进入空间站轨道；设绕月球飞行的空间站质量为m，GMmr2＝m4π2T2r，可以算出月球质量M；空间站的质量不知，不能算出空间站受到的月球引力大小．
5．为纪念伽利略将望远镜用于天文观测400周年，2009年被定为以“探索我的宇宙”为主题的国际天文年．我国发射的“嫦娥一号”卫星绕月球经过一年多的运行，完成了既定任务，于2009年3月1日16时13分成功撞月．如图所示为“嫦娥一号”卫星撞月的模拟图，卫星在控制点开始进入撞月轨道．假设卫星绕月球做圆周运动的轨道半径为R，周期为T，引力常量为G.根据题中信息，以下说法正确的是( )
A．可以求出月球的质量
B．可以求出月球对“嫦娥一号”卫星的引力
C．“嫦娥一号”卫星在控制点处应减速
D．“嫦娥一号”在地面的发射速度大于11.2 km/s
【答案】AC
【详解】卫星绕月球做圆周运动万有引力提供向心力，有
GM月mR2＝m4π2T2R，则M月＝4π2R3GT2，选项A正确；因卫星质量m未知，无法求出月球对“嫦娥一号”卫星的引力，选项B错误；卫星在控制点开始进入撞月轨道，做近心运动，则速度要减小，选项C正确；“嫦娥一号”在地面的发射速度大于7.9 km/s，小于11.2 km/s，选项D错误．
6．(2011?广东六校联合体联考)我们在推导第一宇宙速度的公式v＝gR时，需要做一些假设和选择一些理论依据，下列必要的假设和理论依据有( )
A．卫星做半径等于2倍地球半径的匀速圆周运动
B．卫星所受的重力全部作为其所需的向心力
C．卫星所受的万有引力仅有一部分作为其所需的向心力
D．卫星的运转周期必须等于地球的自转周期
【答案】 B
【详解】第一宇宙速度是卫星的最大环绕速度，只有其运行轨道半径最小时，它的运行速度才最大，而卫星的最小轨道半径等于地球半径，故A错误；在地球表面附近我们认为万有引力近似等于重力，故B正确，C错误；同步卫星的运转周期等于地球的自转周期，而同步卫星的运行轨道半径大于地球半径，即大于近地轨道卫星半径，故同步卫星的周期大于近地轨道卫星，D错误．
7．1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元．“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N的高度分别为439 km和2 384 km，则( )
A．卫星在M点的势能大于N点的势能
B．卫星在M点的角速度小于N点的角速度
C．卫星在M点的加速度大于N点的加速度
D．卫星在N点的速度大于7.9 km/s
【答案】 C
【详解】卫星从M点到N点，万有引力做负功，势能增大，A项错误；由开普勒第二定律知，M点的角速度大于N点的角速度，B项错误；由于卫星在M点所受万有引力较大，因而加速度较大，C项正确；卫星在远地点N的速度小于其在该点做圆周运动的线速度，而第一宇宙速度7.9 km/s是线速度的最大值，D项错误．
8．如图所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是( )
A．M＝4π2?R＋h?3Gt2，ρ＝3π??R＋h?3Gt2R3
B．M＝4π2?R＋h?2Gt2，ρ＝3π??R＋h?2Gt2R3
C．M＝4π2t2?R＋h?3Gn2，ρ＝3π?t2??R＋h?3Gn2R3
D．M＝4π2n2?R＋h?3Gt2，ρ＝3π?n2??R＋h?3Gt2R3
【答案】 D
【详解】 设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M，“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，GMm?R＋h?2＝m(R＋h)2πT2，其中T＝tn，解得M＝4π2n2?R＋h?3Gt2.又土星体积V＝43πR3，所以ρ＝MV＝3π?n2??R＋h?3Gt2R3.
9．宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面(设月球半径为R)．据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为
( )
A.2Rht B.2Rht
C.Rht D.Rh2t
【答案】B
【详解】设月球表面处的重力加速度为g0，则h＝12g0t2，设飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为v，由牛顿第二定律得mg0＝mv2R，两式联立解得v＝2Rht，选项B对．
10．下表是卫星发射的几组数据，其中发射速度v0是燃料燃烧完毕时火箭具有的速度，之后火箭带着卫星依靠惯性继续上升，到达指定高度h后再星箭分离，分离后的卫星以环绕速度v绕地球运动．根据发射过程和表格中的数据，下面哪些说法是正确的
( )
卫星离地面
高度h(km)环绕速度
v(km/s)发射速度v0
(km/s)
07.917.91
2007.788.02
5007.618.19
10007.358.42
50005.529.48
∞011.18
A.不计空气阻力，在火箭依靠惯性上升的过程中机械能守恒
B．离地越高的卫星机械能越大
C．离地越高的卫星环绕周期越大
D．当发射速度达到11.18 km/s时，卫星能脱离地球到达宇宙的任何地方
【答案】AC
【详解】由机械能守恒定律知，A正确．对B选项，由于卫星的机械能除了与高度有关外，还与质量有关，所以是错误的；由GMmr2＝m4π2T2r知，离地面越高的卫星周期越大，C正确；从列表中可以看出，11.18 km/s的发射速度是第二宇宙速度，此速度是使卫星脱离地球围绕太阳运转，成为太阳的人造行星的最小发射速度，但逃逸不出太阳系，D错误．
11．如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h，已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．
(1)求卫星B的运动周期；
(2)若卫星B运行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，则至少经过多少时间，它们再一次相距最近？
【答案】(1)2π?R＋h?3gR2 (2)2πgR2?R＋h?3－ω0
【详解】根据万有引力提供向心力，列出万有引力与周期的关系，即可求出卫星B的运行周期．第二问关键是要寻找A、B两卫星再一次相距最近时它们转过的角度关系，只要分析出A、B两卫星哪一个角速度大，就能确定相同时间内A、B转过的角度之间的关系．
(1)设卫星B的运行周期为TB，由万有引力定律和向心力公式得
GMm?R＋h?2＝m4π2TB2(R＋h)，①
GMmR2＝mg，②
联立①②得TB＝2π?R＋h?3gR2.③
(2)用ω表示卫星的角速度，r表示卫星的轨道半径，由万有引力定律和向心力公式得GMmr2＝mrω2，④
联立②④得ω＝gR2r3，⑤
因为rA>rB，所以ω0<ωB，用t表示所需的时间
(ωB－ω0)t＝2π，⑥
由③得ωB＝gR2?R＋h?3，⑦
代入⑥得t＝2πgR2?R＋h?3－ω0.
12．(17分)一飞船在某星球表面附近，受星球引力作用而绕其做匀速圆周运动的速率为v1，飞船在离该星球表面高度为h处，受星球引力作用而绕其做匀速圆周运动的速率为v2，已知万有引力常量为G.试求：
(1)该星球的质量；
(2)若设该星球的质量为M，一个质量为m的物体在离该星球球心r远处具有的引力势能为Ep＝－GMmr，则一颗质量为m1的卫星由r1轨道变为r2(r1＜r2)轨道，对卫星至少做多少功？(卫星在r1、r2轨道上均做匀速圆周运动，结果请用M、m1、r1、r2、G表示)
设星球的半径为R，质量为M，则
【答案】(1)hv21v22G?v21－v22? (2)G(Mm12r1－Mm12r2)
【详解】 (1)飞船需要的向心力由万有引力提供，则
GMmR2＝mv21R
GMm?R＋h?2＝mv22?R＋h?
解得M＝hv21v22G?v21－v22?.
(2)卫星在轨道上有动能和势能，其总和为E(机械能)，则GMm1r2＝m1v2r
E＝Ek＋Ep＝12m1v2＋(－GMm1r)＝－GMm12r
W＝ΔE＝E2－E1＝G(Mm12r1－Mm12r2)．
