一．知识点
1．定义: 设y=f(x)，定义域为A，如果对于任意 ∈A，都有 ，称y=f(x)为偶函数。
设y=f(x) ，定义域为A，如果对于任意 ∈A，都有 ，称y=f(x)为奇函数。
如果函数 是奇函数或偶函数，则称函数y= 具有奇偶性。
2.性质：
①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，
②y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于 轴对称,
y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称,
③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，
奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，
④若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和
⑤奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇
[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]
⑥对于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数
若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数
若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数
3．函数奇偶性的判断
①看定义域是否关于原点对称 ；②看f(x)与f(-x)的关系；
二．例题选讲
例1．判断下列函数的奇偶性
(1) ； (2) ;
(3) ; (4)
解：（1）定义域为 ，对称于原点，又
， 为奇函数
（2）由 得定义域为 ，关于原点不对称，所以 没有奇、偶性。
（3）由 且 得定义域为 ，对称于原点
，得 ，知 是奇函数
（4）定义域为 ，对称于原点，
当 时， ，所以
当 时， ，所以 ，故 是奇函数
例2．已知g(x)为奇函数， ，且f(-3)= ，求f(3)；
解： ，
，将两式相加，结合g(x)为奇函数，可得：
；
变式：已知函数f(x)，当x<0时，f(x)=x2+2x-1
① 若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。
② 若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。
解：① 可确定: ②不可确定: 处没有定义；
例3．函数 的定义域为D= ，且对于任意的 ，都有
；（1）求 的值； （2）判断 的奇偶性并证明；
（3）如果 ， ，且 在 上是增函数，求 的取值范围。
解：（1）令 可得：
（2）令 可得： ；再令 可得： ；
所以： 为偶函数
（3） ，
原不等式可化为：
又 在 上是增函数
解得： 或 或
变式一：定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)?f(y)且
f(0)≠0 ；①求证：f(0)=1 ；②求证：y=f(x)是偶函数；
证：①令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f2(0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1；
②令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)?f(y)；∴f(-y)=f(y) ； ∴y=f(x)是偶函数；
变式二：设函数 是奇函数，且当 时是增函数，若f(1)=0，求不等式 的解集；
解：由 可得： ，
由前一不等式可解得； ；
由后一不等式可解得： ，
故原不等式的解集为：
例4．已知函数 是奇函数，（1）求m的值；（2）当 时，求 的最大值与最小值。
解：（1）因为 是奇函数，所以 ，即 ，得m=0
(2) 因为 ， ①当p<0时， ，所以 在 上是增函数，
②当p>0时，知 在 上是减函数，在 上是增函数；
（A）当 时， 在 上是增函数，
（B）当 时， 是 在 上的一个极小值点，且
；
（C）当 时， 是 在 上的一个极小值点，且f(1)
（D）当 时， 在 上是减函数，
；
1．定义: 设y=f(x)，定义域为A，如果对于任意 ∈A，都有 ，称y=f(x)为偶函数。
设y=f(x) ，定义域为A，如果对于任意 ∈A，都有 ，称y=f(x)为奇函数。
如果函数 是奇函数或偶函数，则称函数y= 具有奇偶性。
2.性质：
①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，
②y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于 轴对称,
y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称,
③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，
奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，
④若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和
⑤奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇
[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]
⑥对于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数
若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数
若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数
3．函数奇偶性的判断
①看定义域是否关于原点对称 ；②看f(x)与f(-x)的关系；
二．例题选讲
例1．判断下列函数的奇偶性
(1) ； (2) ;
(3) ; (4)
解：（1）定义域为 ，对称于原点，又
， 为奇函数
（2）由 得定义域为 ，关于原点不对称，所以 没有奇、偶性。
（3）由 且 得定义域为 ，对称于原点
，得 ，知 是奇函数
（4）定义域为 ，对称于原点，
当 时， ，所以
当 时， ，所以 ，故 是奇函数
例2．已知g(x)为奇函数， ，且f(-3)= ，求f(3)；
解： ，
，将两式相加，结合g(x)为奇函数，可得：
；
变式：已知函数f(x)，当x<0时，f(x)=x2+2x-1
① 若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。
② 若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。
解：① 可确定: ②不可确定: 处没有定义；
例3．函数 的定义域为D= ，且对于任意的 ，都有
；（1）求 的值； （2）判断 的奇偶性并证明；
（3）如果 ， ，且 在 上是增函数，求 的取值范围。
解：（1）令 可得：
（2）令 可得： ；再令 可得： ；
所以： 为偶函数
（3） ，
原不等式可化为：
又 在 上是增函数
解得： 或 或
变式一：定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)?f(y)且
f(0)≠0 ；①求证：f(0)=1 ；②求证：y=f(x)是偶函数；
证：①令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f2(0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1；
②令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)?f(y)；∴f(-y)=f(y) ； ∴y=f(x)是偶函数；
变式二：设函数 是奇函数，且当 时是增函数，若f(1)=0，求不等式 的解集；
解：由 可得： ，
由前一不等式可解得； ；
由后一不等式可解得： ，
故原不等式的解集为：
例4．已知函数 是奇函数，（1）求m的值；（2）当 时，求 的最大值与最小值。
解：（1）因为 是奇函数，所以 ，即 ，得m=0
(2) 因为 ， ①当p<0时， ，所以 在 上是增函数，
②当p>0时，知 在 上是减函数，在 上是增函数；
（A）当 时， 在 上是增函数，
（B）当 时， 是 在 上的一个极小值点，且
；
（C）当 时， 是 在 上的一个极小值点，且f(1)
（D）当 时， 在 上是减函数，
；
