【例题就解】
【例1】 如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则CD长度的最小值为 ．
思路点拨 如图，作CC′⊥AB于C，DD′⊥AB于D′，DQ⊥CC′，CD2=DQ2+CQ2，DQ= AB一常数，当CQ越小，CD越小，本例也可设AP= ，则PB= ，从代数角度探求CD的最小值．
注：从特殊位 置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：
(1)中点处、垂直位置关系等；
(2)端点处、临界位置等．
【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动，切点为T，圆交AC、BC于M、N，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN为的度数（ ）
A．从30°到60°变动 B ．从60°到90°变动
C．保持30°不变 D．保持60°不变
(湖北赛区选拔赛试题)；
思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．
注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值．
【例3】 如图，已知平行四边形ABCD，AB= ，BC= ( > )，P为AB边上的一动点，
直线DP交CB的延长线于Q，求AP+BQ的最小值．
(永州市竞赛题)
思路点拨 设AP= ，把AP、BQ分别用 的代数式表示，运用不等式 (当且仅当 时取等号)来求最小值．
【例4】 如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点M，设直线AC与BM相交于K， 直线CB与AM相交于点N，证明：线段AK和BN的乘积与M点的选择无关．
思路点拨 即要证AK?BN是一个定值，在图形中△ABC的边长是一个定值，说明AK?BN与AB有关，从图知AB为△ABM与△ANB的公共边，作一个大胆的猜想，AK?BN=AB2，从而我们的证明目标更加明确．
注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．
【例5】 已知△XYZ是直 角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC直角边长的最大可能值．
( “宇振杯”上海市初中数学竞赛题)
思路点拨 顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z在斜边AB上时，取xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在(AC或CB)上时，设CX= ，CZ= ，建立 ， 的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．
注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：
(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；
(2)构造二次函数求几何最值．
学力训练
1．如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C 点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为 ，最小值为 ．
(江苏省竞赛题)
2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有 两点Q，R(均不同于点O)，则△PQR的周长的最小值为 ．
(湖北省黄冈市竞赛题)
3．如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则 的最大值等于 ．
( “希望杯”邀请赛试题)
4．如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为( )
A．1 B． C． D．
(湖北省荆州市中考题)
5．如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是( )
A． B． C． D．
(贵阳市中考题)
6．如图、已知矩形ABCD，R，P户分别是DC、BC上的点，E，F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是( )
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定
(桂林市中考题)
7．如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．
(1)求证：MN∥AB；
(2)若AB的长为l0cm，当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长?若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由．
(2002年云南省中考题)
8．如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角．
(加拿大数学奥林匹克试题)
9．已知△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F．
(1)当点P在线段AB上时(如图)，求证：PA?PB=PE?PF；
(2)当点P为线段BA延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由．
10．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是( )
A．8 B．12 C． D．14
11．如图，AB是半圆的直径，线段CA上AB于 点A，线段DB上AB于点B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是( )
A． B． C． D．
12．如图，在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，试求这 样线段的最小长度．
(全国初中数学联赛试题)
13．如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上 的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．
( “弘晟杯”上海市竞赛题)
14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大?
(河南省竞赛题)
15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为 800平方米．
(1)设矩形的边AB= (米)，AM= (米)，用含 的代数式表示 为 ．
(2)现计划在正方 形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．
①设该工程的总造价为S(元)，求S关于工的函数关系式．
②若该工程的银行贷款为235 000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．
③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．
(镇江市中考题)
16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(精确到1m2)．
(北京市数学知识应用竞赛试题)
【例1】 如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则CD长度的最小值为 ．
思路点拨 如图，作CC′⊥AB于C，DD′⊥AB于D′，DQ⊥CC′，CD2=DQ2+CQ2，DQ= AB一常数，当CQ越小，CD越小，本例也可设AP= ，则PB= ，从代数角度探求CD的最小值．
注：从特殊位 置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：
(1)中点处、垂直位置关系等；
(2)端点处、临界位置等．
【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动，切点为T，圆交AC、BC于M、N，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN为的度数（ ）
A．从30°到60°变动 B ．从60°到90°变动
C．保持30°不变 D．保持60°不变
(湖北赛区选拔赛试题)；
思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．
注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值．
【例3】 如图，已知平行四边形ABCD，AB= ，BC= ( > )，P为AB边上的一动点，
直线DP交CB的延长线于Q，求AP+BQ的最小值．
(永州市竞赛题)
思路点拨 设AP= ，把AP、BQ分别用 的代数式表示，运用不等式 (当且仅当 时取等号)来求最小值．
【例4】 如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点M，设直线AC与BM相交于K， 直线CB与AM相交于点N，证明：线段AK和BN的乘积与M点的选择无关．
思路点拨 即要证AK?BN是一个定值，在图形中△ABC的边长是一个定值，说明AK?BN与AB有关，从图知AB为△ABM与△ANB的公共边，作一个大胆的猜想，AK?BN=AB2，从而我们的证明目标更加明确．
注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．
【例5】 已知△XYZ是直 角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC直角边长的最大可能值．
( “宇振杯”上海市初中数学竞赛题)
思路点拨 顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z在斜边AB上时，取xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在(AC或CB)上时，设CX= ，CZ= ，建立 ， 的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．
注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：
(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；
(2)构造二次函数求几何最值．
学力训练
1．如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C 点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为 ，最小值为 ．
(江苏省竞赛题)
2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有 两点Q，R(均不同于点O)，则△PQR的周长的最小值为 ．
(湖北省黄冈市竞赛题)
3．如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则 的最大值等于 ．
( “希望杯”邀请赛试题)
4．如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为( )
A．1 B． C． D．
(湖北省荆州市中考题)
5．如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是( )
A． B． C． D．
(贵阳市中考题)
6．如图、已知矩形ABCD，R，P户分别是DC、BC上的点，E，F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是( )
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定
(桂林市中考题)
7．如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．
(1)求证：MN∥AB；
(2)若AB的长为l0cm，当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长?若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由．
(2002年云南省中考题)
8．如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角．
(加拿大数学奥林匹克试题)
9．已知△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F．
(1)当点P在线段AB上时(如图)，求证：PA?PB=PE?PF；
(2)当点P为线段BA延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由．
10．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是( )
A．8 B．12 C． D．14
11．如图，AB是半圆的直径，线段CA上AB于 点A，线段DB上AB于点B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是( )
A． B． C． D．
12．如图，在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，试求这 样线段的最小长度．
(全国初中数学联赛试题)
13．如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上 的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．
( “弘晟杯”上海市竞赛题)
14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大?
(河南省竞赛题)
15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为 800平方米．
(1)设矩形的边AB= (米)，AM= (米)，用含 的代数式表示 为 ．
(2)现计划在正方 形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．
①设该工程的总造价为S(元)，求S关于工的函数关系式．
②若该工程的银行贷款为235 000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．
③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．
(镇江市中考题)
16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(精确到1m2)．
(北京市数学知识应用竞赛试题)
