1．2．2 空间两条直线的位置关系
【课时目标】 1．会判断空间两直线的位置关系．2．理解两异面直线的定义及判定定理，会求两异面直线所成的角．3．能用公理4及等角定理解决一些简单的相关证明．
1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：________、____________、____________．
2．公理4：平行于同一条直线的两条直线____________．
3．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________．
4．异面直线
(1)定义：________________________的两条直线叫做异面直线．
(2)判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是______________．
5．异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使__________，__________，我们把a′与b′所成的________________叫做异面直线a与b所成的角．
如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角α的取值范围是____________．
一、填空题
1．若空间两条直线a，b没有公共点，则其位置关系是____________．
2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是______________．
3．在正方体ABCD―A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱共有________条．
4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是________．
5．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是________．
6．有下列命题：
①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；
②四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；
③经过直线外一点有无数条直线和已知直线垂直；
④若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，则OB∥O1B1．
其中正确命题的序号为________．
7．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．
8．已知正方体ABCD―A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为________；
(2)AD与BC′所成的角为________．
9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD．
以上结论中正确结论的序号为________．
二、解答题
10．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1．
11．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
能力提升
12．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．
13．如图所示，在正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF和CD所成的角是______．
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．
2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角α的范围为0°<α≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．
作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
1．2．2 空间两条直线的位置关系 答案
知识梳理
1．相交直线 平行直线 异面直线
2．互相平行 3．相等
4．(1)不同在任何一个平面内 (2)异面直线
5．a′∥a b′∥b 锐角(或直角) 直角 0°<α≤90°
作业设计
1．平行或异面
2．相交、平行或异面
解析 异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．
3．6
4．矩形
解析
易证四边形EFGH为平行四边形．
又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，
又FG∥BD，
∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．
而AC与BD所成的角为90°，
∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．
5．2
解析 ①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．
④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；
当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．
6．③
7．60°或120°
8．(1)60° (2)45°
解析
连结BA′，则BA′∥CD′，连结A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．
由△A′BC′为正三角形，
知∠A′BC′＝60°，
由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．
易知∠C′BC＝45°．
9．①③
解析
把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
10．
证明 (1)如图，连结AC，
在△ACD中，
∵M、N分别是CD、AD的中点，
∴MN是三角形的中位线，
∴MN∥AC，MN＝12AC．
由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1．
∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1．
11．解 取AC的中点G，
连结EG、FG，
则EG∥AB，GF∥CD，
且由AB＝CD知EG＝FG，
∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成的角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°．
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，
∠GEF＝15°．
故EF与AB所成的角为15°或75°．
12．②④
解析 ①中HG∥MN．
③中GM∥HN且GM≠HN，
∴HG、MN必相交．
13．45°
解析 连结B1D1，则E为B1D1中点，
连结AB1，EF∥AB1，
又CD∥AB，∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角，
即∠B1AB＝45°．
【课时目标】 1．会判断空间两直线的位置关系．2．理解两异面直线的定义及判定定理，会求两异面直线所成的角．3．能用公理4及等角定理解决一些简单的相关证明．
1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：________、____________、____________．
2．公理4：平行于同一条直线的两条直线____________．
3．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角________．
4．异面直线
(1)定义：________________________的两条直线叫做异面直线．
(2)判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是______________．
5．异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使__________，__________，我们把a′与b′所成的________________叫做异面直线a与b所成的角．
如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角α的取值范围是____________．
一、填空题
1．若空间两条直线a，b没有公共点，则其位置关系是____________．
2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是______________．
3．在正方体ABCD―A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱共有________条．
4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是________．
5．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是________．
6．有下列命题：
①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；
②四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；
③经过直线外一点有无数条直线和已知直线垂直；
④若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，则OB∥O1B1．
其中正确命题的序号为________．
7．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．
8．已知正方体ABCD―A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为________；
(2)AD与BC′所成的角为________．
9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD．
以上结论中正确结论的序号为________．
二、解答题
10．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1．
11．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
能力提升
12．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．
13．如图所示，在正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF和CD所成的角是______．
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．
2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角α的范围为0°<α≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．
作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
1．2．2 空间两条直线的位置关系 答案
知识梳理
1．相交直线 平行直线 异面直线
2．互相平行 3．相等
4．(1)不同在任何一个平面内 (2)异面直线
5．a′∥a b′∥b 锐角(或直角) 直角 0°<α≤90°
作业设计
1．平行或异面
2．相交、平行或异面
解析 异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．
3．6
4．矩形
解析
易证四边形EFGH为平行四边形．
又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，
又FG∥BD，
∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．
而AC与BD所成的角为90°，
∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．
5．2
解析 ①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．
④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；
当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．
6．③
7．60°或120°
8．(1)60° (2)45°
解析
连结BA′，则BA′∥CD′，连结A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．
由△A′BC′为正三角形，
知∠A′BC′＝60°，
由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．
易知∠C′BC＝45°．
9．①③
解析
把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
10．
证明 (1)如图，连结AC，
在△ACD中，
∵M、N分别是CD、AD的中点，
∴MN是三角形的中位线，
∴MN∥AC，MN＝12AC．
由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1．
∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1．
11．解 取AC的中点G，
连结EG、FG，
则EG∥AB，GF∥CD，
且由AB＝CD知EG＝FG，
∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成的角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°．
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，
∠GEF＝15°．
故EF与AB所成的角为15°或75°．
12．②④
解析 ①中HG∥MN．
③中GM∥HN且GM≠HN，
∴HG、MN必相交．
13．45°
解析 连结B1D1，则E为B1D1中点，
连结AB1，EF∥AB1，
又CD∥AB，∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角，
即∠B1AB＝45°．
