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2012届高考数学第一轮立体几何专项复习 空间两条直线的位置关系

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1.2.2 空间两条直线的位置关系

【课时目标】 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义及判定定理,会求两异面直线所成的角.3.能用公理4及等角定理解决一些简单的相关证明.


1.空间两条直线的位置关系有且只有三种:________、____________、____________.
2.公理4:平行于同一条直线的两条直线____________.
3.等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角________.
4.异面直线
(1)定义:________________________的两条直线叫做异面直线.
(2)判定定理:过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是______________.
5.异面直线所成的角:直线a,b是异面直线,经过空间任一点O,作直线a′,b′,使__________,__________,我们把a′与b′所成的________________叫做异面直线a与b所成的角.
如果两条直线所成的角是________,那么我们就说这两条异面直线互相垂直,两条异面直线所成的角α的取值范围是____________.


一、填空题
1.若空间两条直线a,b没有公共点,则其位置关系是____________.
2.若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是______________.
3.在正方体ABCD―A1B1C1D1中,与对角线AC1异面的棱共有________条.
4.空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连结四边中点的四边形的形状是________.
5.给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行;
②平行于同一直线的两直线平行;
③若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a⊥c;
④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是________.
6.有下列命题:
①两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行;
②四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形;
③经过直线外一点有无数条直线和已知直线垂直;
④若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,则OB∥O1B1.
其中正确命题的序号为________.
7.空间两个角α、β,且α与β的两边对应平行且α=60°,则β为________.
8.已知正方体ABCD―A′B′C′D′中:
(1)BC′与CD′所成的角为________;
(2)AD与BC′所成的角为________.
9.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:

①AB⊥EF;
②AB与CM所成的角为60°;
③EF与MN是异面直线;
④MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为________.

二、解答题
10.已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD、AD的中点.
求证:(1)四边形MNA1C1是梯形;
(2)∠DNM=∠D1A1C1.

11.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为30°,E、F分别是BC、AD的中点,求EF与AB所成角的大小.

能力提升
12.如图所示,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________(填序号).

13.如图所示,在正方体AC1中,E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心,则EF和CD所成的角是______.


1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下,定义就是一种常用的判定方法.另外,我们解决空间有关线线问题时,不要忘了我们生活中的模型,比如说教室就是一个长方体模型,里面的线线关系非常丰富,我们要好好地利用它,它是我们培养空间想象能力的好工具.
2.在研究异面直线所成角的大小时,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化,这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是,两条异面直线所成角α的范围为0°<α≤90°,解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小.
作异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:①直接平移法(可利用图中已有的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).

1.2.2 空间两条直线的位置关系 答案

知识梳理
1.相交直线 平行直线 异面直线
2.互相平行 3.相等
4.(1)不同在任何一个平面内 (2)异面直线
5.a′∥a b′∥b 锐角(或直角) 直角 0°<α≤90°
作业设计
1.平行或异面
2.相交、平行或异面


解析 异面直线不具有传递性,可以以长方体为载体加以说明a、b异面,直线c的位置可如图所示.
3.6
4.矩形
解析 

易证四边形EFGH为平行四边形.
又∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF∥AC,
又FG∥BD,
∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角.
而AC与BD所成的角为90°,
∴∠EFG=90°,故四边形EFGH为矩形.
5.2
解析 ①④均为假命题.①可举反例,如a、b、c三线两两垂直.
④如图甲时,c、d与异面直线l1、l2交于四个点,此时c、d异面,一定不会平行;
当点A在直线a上运动(其余三点不动),会出现点A与B重合的情形,如图乙所示,此时c、d共面相交.

6.③
7.60°或120°
8.(1)60° (2)45°
解析 

连结BA′,则BA′∥CD′,连结A′C′,则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角.
由△A′BC′为正三角形,
知∠A′BC′=60°,
由AD∥BC,知AD与BC′所成的角就是∠C′BC.
易知∠C′BC=45°.
9.①③
解析 

把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.
10.

证明 (1)如图,连结AC,
在△ACD中,
∵M、N分别是CD、AD的中点,
∴MN是三角形的中位线,
∴MN∥AC,MN=12AC.
由正方体的性质得:AC∥A1C1,AC=A1C1.
∴MN∥A1C1,且MN=12A1C1,即MN≠A1C1,
∴四边形MNA1C1是梯形.
(2)由(1)可知MN∥A1C1,又因为ND∥A1D1,
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角,
∴∠DNM=∠D1A1C1.
11.解 取AC的中点G,
连结EG、FG,
则EG∥AB,GF∥CD,

且由AB=CD知EG=FG,
∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成的角为30°,
∴∠EGF=30°或150°.
由EG=FG知△EFG为等腰三角形,当∠EGF=30°时,∠GEF=75°;
当∠EGF=150°时,
∠GEF=15°.
故EF与AB所成的角为15°或75°.
12.②④
解析 ①中HG∥MN.
③中GM∥HN且GM≠HN,
∴HG、MN必相交.
13.45°
解析 连结B1D1,则E为B1D1中点,

连结AB1,EF∥AB1,
又CD∥AB,∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角,
即∠B1AB=45°.
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