2012届高考数学二轮复习
专题四 三角函数
【重点知识回顾】
三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力
方法技巧：
1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记忆，这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记忆方法可概括为“奇变偶不变，符号看象限”，变与不变是相对于对偶关系的函数而言的
2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中，显得十分重要，根据三角函数的，可简记为“一全正，二正弦，三两切，四余弦”，其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正
3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取
4.求三角函数值域的常用方法：
求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下方法：
（1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域；
（2）利用 的有界性求值域；
（3）换元法，利用换元法求三角函数的值域，要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意等价性
5. 三角函数的图象与性质
（一）列表综合三个三角函数 ， ， 的图象与性质，并挖掘：
⑴最值的情况；
⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求 的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；
⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；
的对称轴是 ，对称中心是 ；
的对称轴是 ，对称中心是
的对称中心是
注意加了绝对值后的情况变化.
⑷写单调区间注意 .
（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数 的简图，并能由图象写出解析式．
⑴“五点法”作图的列表方式；
⑵求解析式 时处相 的确定方法：代（最高、低）点法、公式 .
（三）正弦型函数 的图象变换方法如下：
先平移后伸缩
的图象
得 的图象
得 的图象
得 的图象
得 的图象．
先伸缩后平移
的图象
得 的图象
得 的图象
得 的图象 得 的图象．
【典型例题】
例1.已知 ，求（1） ；（2） 的值.
解：（1） ；
(2)
.
说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化
例2.已知向量
，且 ，
(1)求函数 的表达式；
(2)若 ，求 的最大值与最小值
解：(1) ， ， ，又 ，
所以 ，
所以 ，即 ；
(2)由(1)可得，令 导数 ，解得 ，列表如下：
t－1(－1，1)1(1，3)
导数0－0+
极大值递减极小值递增
而 所以
说明：本题将三角函数与平面向量、导数等综合考察，体现了知识之间的融会贯通。
例3. 平面直角坐标系有点
（1）求向量 和 的夹角 的余弦用 表示的函数 ；
（2）求 的最值.
解：（1） ，
即
（2） ， 又 ，
， ， .
说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意
例4. 设 q Î[0, ], 且 cos2q+2msinq-2m-2<0 恒成立, 求 m 的取值范围.
解法 1 由已知 0≤sinq≤1 且 1-sin2q+2msinq-2m-2<0 恒成立.
令 t=sinq, 则 0≤t≤1 且 1-t2+2mt-2m-2<0 恒成立.
即 f(t)=t2-2mt+2m+1=(t-m)2-m2+2m+1>0 对 tÎ[0, 1] 恒成立.
故可讨论如下:
(1)若 m<0, 则 f(0)>0. 即 2m+1>0. 解得 m> , ∴(2)若 0≤m≤1, 则 f(m)>0. 即 -m2+2m+1>0. 亦即 m2-2m-1<0. 解得: 1 (3)若 m>1, 则 f(1)>0. 即 0×m+2>0. ∴mÎR, ∴m>1.
综上所述 m> . 即 m 的取值范围是 ( , +∞).
解法 2 题中不等式即为 2(1-sinq)m>-1-sin2q.∵qÎ[0, ], ∴0≤sinq≤1.
当 sinq=1 时, 不等式显然恒成立, 此时 mÎR;
当 0≤sinq<1 时, 恒成立.
令 t=1-sinq, 则 tÎ(0, 1], 且 恒成立.
易证 g(t)=1- 在 (0, 1] 上单调递增, 有最大值 - ,
∴m> . 即 m 的取值范围是 ( , +∞).
说明：三角函数与不等式综合，注意“恒成立”问题的解决方式
【模拟演练】
一、选择
1．点 位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．函数 在区间( ， )内的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．已知∠A．∠B．∠C为三角形的三个内角，且 ，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定
7．关于函数 的图象，有以下四个说法：
①关于点 对称；②关于点 对称；
③关于直线 对称；④关于直线 对称
则正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
9.如图，某走私船在航行中被我军发现，我海军舰艇在 处获悉后，测出该走私船在方位角为 ，距离为 的 处，并测得走私船正沿方位角为 的方向，以 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以 的速度沿直线方向前去追击.舰艇并在B处靠近走私船所需的时间为 （ ）
A．20 B． C．30 D．50
11．在 中， 分别为三个内角 的对边，设向量 ，若向量 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空
13．已知向量 且 ，则与 方向相反的单位向量的坐标为_________。
原专题三的平面向量与三角函数的第15题
16．已知函数 （ ， ， ）的一段图象如图所示，则这个函数的单调递增区间为 。
18．（12分）已知 ，
（1）求 的最大值和最小值；
（2）若不等式 在 上恒成立，求m的取值范围。
19．（12分）已知向量 ，且 分别为 的三边 所对的角。
（1）求角C的大小；
（2）若 成等差数列，且 ，求c的边长。
21．（12）已知：向量 ， ，函数
（1）若 且 ，求 的值；
（2）求函数 的单调增区间以及函数取得最大值时，向量 与 的夹角．
专题训练答案
1．D 解析： ，易知 角终边在第三象限，从而有 为正， 为负，所以点 位于第四象限。
2．A．解：y＝ ，所以，选A．。
6．B．解：因为 ，所以
即： ，有
即 ＝ ，即
则 ，又因为 为三角形的内角，则 ，所以为等腰三角形。
7．B．解：当 时， ＝1，当x＝ 时， ＝0，所以，②③正确。
9．B 解：设舰艇收到信号后 在 处靠拢走私船，则 ， ，又 nmile， .
由余弦定理，得
，
即
.
化简，得
，
解得 （负值舍去）.
答案：B
11．B 解析：由 ，得 ，又 ，所以 ，所以 。
13. 解：因为 ，所以 ，解得： ，所以 ，所以 ，所以与 方向相反的单位向量的坐标为 。
16． 解：由图象可知： ；A＝ ＝3。所以，y＝3sin（2x＋ ），
将 代入上式，得： ＝1， ＝2k ＋ ，即 ＝2k ＋ ，
由｜ ｜＜ ，可得： 所以，所求函数解析式为： 。
∵当 时， 单调递增
∴
18．解：（1）
。 4分
所以当 =1时 。
所以当 =-1时 。 6分
（2） 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
只需 ， 。 8分
令 ， ，
。
所以当 时， 有最小值 ， ，
故 。 12分
19．解：（1） ，
，
。 2分
又 ， ，
。 4分
， 。 6分
（2） 成等差数列， 。
。 8分
又 ， 。
， 。 10分
， ，
， 。 12分
21.解：∵ ＝ 。 2分
（1）由 得 即 ，
∵ ∴ 或
∴ 或 。 4分
（2）∵
＝
。 8分
由 得 ，
∴ 的单调增区间 . 10分
由上可得 ，当 时，由 得
， ， ∴ 。 12分
专题四 三角函数
【重点知识回顾】
三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力
方法技巧：
1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记忆，这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记忆方法可概括为“奇变偶不变，符号看象限”，变与不变是相对于对偶关系的函数而言的
2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中，显得十分重要，根据三角函数的，可简记为“一全正，二正弦，三两切，四余弦”，其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正
3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取
4.求三角函数值域的常用方法：
求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下方法：
（1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域；
（2）利用 的有界性求值域；
（3）换元法，利用换元法求三角函数的值域，要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意等价性
5. 三角函数的图象与性质
（一）列表综合三个三角函数 ， ， 的图象与性质，并挖掘：
⑴最值的情况；
⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求 的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；
⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；
的对称轴是 ，对称中心是 ；
的对称轴是 ，对称中心是
的对称中心是
注意加了绝对值后的情况变化.
⑷写单调区间注意 .
（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数 的简图，并能由图象写出解析式．
⑴“五点法”作图的列表方式；
⑵求解析式 时处相 的确定方法：代（最高、低）点法、公式 .
（三）正弦型函数 的图象变换方法如下：
先平移后伸缩
的图象
得 的图象
得 的图象
得 的图象
得 的图象．
先伸缩后平移
的图象
得 的图象
得 的图象
得 的图象 得 的图象．
【典型例题】
例1.已知 ，求（1） ；（2） 的值.
解：（1） ；
(2)
.
说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化
例2.已知向量
，且 ，
(1)求函数 的表达式；
(2)若 ，求 的最大值与最小值
解：(1) ， ， ，又 ，
所以 ，
所以 ，即 ；
(2)由(1)可得，令 导数 ，解得 ，列表如下：
t－1(－1，1)1(1，3)
导数0－0+
极大值递减极小值递增
而 所以
说明：本题将三角函数与平面向量、导数等综合考察，体现了知识之间的融会贯通。
例3. 平面直角坐标系有点
（1）求向量 和 的夹角 的余弦用 表示的函数 ；
（2）求 的最值.
解：（1） ，
即
（2） ， 又 ，
， ， .
说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意
例4. 设 q Î[0, ], 且 cos2q+2msinq-2m-2<0 恒成立, 求 m 的取值范围.
解法 1 由已知 0≤sinq≤1 且 1-sin2q+2msinq-2m-2<0 恒成立.
令 t=sinq, 则 0≤t≤1 且 1-t2+2mt-2m-2<0 恒成立.
即 f(t)=t2-2mt+2m+1=(t-m)2-m2+2m+1>0 对 tÎ[0, 1] 恒成立.
故可讨论如下:
(1)若 m<0, 则 f(0)>0. 即 2m+1>0. 解得 m> , ∴
综上所述 m> . 即 m 的取值范围是 ( , +∞).
解法 2 题中不等式即为 2(1-sinq)m>-1-sin2q.∵qÎ[0, ], ∴0≤sinq≤1.
当 sinq=1 时, 不等式显然恒成立, 此时 mÎR;
当 0≤sinq<1 时, 恒成立.
令 t=1-sinq, 则 tÎ(0, 1], 且 恒成立.
易证 g(t)=1- 在 (0, 1] 上单调递增, 有最大值 - ,
∴m> . 即 m 的取值范围是 ( , +∞).
说明：三角函数与不等式综合，注意“恒成立”问题的解决方式
【模拟演练】
一、选择
1．点 位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．函数 在区间( ， )内的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．已知∠A．∠B．∠C为三角形的三个内角，且 ，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定
7．关于函数 的图象，有以下四个说法：
①关于点 对称；②关于点 对称；
③关于直线 对称；④关于直线 对称
则正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
9.如图，某走私船在航行中被我军发现，我海军舰艇在 处获悉后，测出该走私船在方位角为 ，距离为 的 处，并测得走私船正沿方位角为 的方向，以 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以 的速度沿直线方向前去追击.舰艇并在B处靠近走私船所需的时间为 （ ）
A．20 B． C．30 D．50
11．在 中， 分别为三个内角 的对边，设向量 ，若向量 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空
13．已知向量 且 ，则与 方向相反的单位向量的坐标为_________。
原专题三的平面向量与三角函数的第15题
16．已知函数 （ ， ， ）的一段图象如图所示，则这个函数的单调递增区间为 。
18．（12分）已知 ，
（1）求 的最大值和最小值；
（2）若不等式 在 上恒成立，求m的取值范围。
19．（12分）已知向量 ，且 分别为 的三边 所对的角。
（1）求角C的大小；
（2）若 成等差数列，且 ，求c的边长。
21．（12）已知：向量 ， ，函数
（1）若 且 ，求 的值；
（2）求函数 的单调增区间以及函数取得最大值时，向量 与 的夹角．
专题训练答案
1．D 解析： ，易知 角终边在第三象限，从而有 为正， 为负，所以点 位于第四象限。
2．A．解：y＝ ，所以，选A．。
6．B．解：因为 ，所以
即： ，有
即 ＝ ，即
则 ，又因为 为三角形的内角，则 ，所以为等腰三角形。
7．B．解：当 时， ＝1，当x＝ 时， ＝0，所以，②③正确。
9．B 解：设舰艇收到信号后 在 处靠拢走私船，则 ， ，又 nmile， .
由余弦定理，得
，
即
.
化简，得
，
解得 （负值舍去）.
答案：B
11．B 解析：由 ，得 ，又 ，所以 ，所以 。
13. 解：因为 ，所以 ，解得： ，所以 ，所以 ，所以与 方向相反的单位向量的坐标为 。
16． 解：由图象可知： ；A＝ ＝3。所以，y＝3sin（2x＋ ），
将 代入上式，得： ＝1， ＝2k ＋ ，即 ＝2k ＋ ，
由｜ ｜＜ ，可得： 所以，所求函数解析式为： 。
∵当 时， 单调递增
∴
18．解：（1）
。 4分
所以当 =1时 。
所以当 =-1时 。 6分
（2） 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
只需 ， 。 8分
令 ， ，
。
所以当 时， 有最小值 ， ，
故 。 12分
19．解：（1） ，
，
。 2分
又 ， ，
。 4分
， 。 6分
（2） 成等差数列， 。
。 8分
又 ， 。
， 。 10分
， ，
， 。 12分
21.解：∵ ＝ 。 2分
（1）由 得 即 ，
∵ ∴ 或
∴ 或 。 4分
（2）∵
＝
。 8分
由 得 ，
∴ 的单调增区间 . 10分
由上可得 ，当 时，由 得
， ， ∴ 。 12分
