1.2.3 直线与平面的位置关系
第1课时 至厦门与平面平行的判定
【课时目标】 1．理解直线与平面平行的判定定理的含义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理；2．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．
1．一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：
位置
关系直线a在
平面α内直线a与
平面α相交直线a与
平面α平行
公共点有无数个公共点有且只有一个
公共点没有公共点
符号
表示a?αa∩α＝Aa∥α
图形
表示
我们把直线a与平面α相交或平行的情况统称为__________________，记作________．
2．直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和________________________平行，那么这条直线和这个平面平行．
用符号表示为a?α，b?α且a∥b?a∥α．
一、填空题
1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为________．
①若a∥b，b?α，则a∥α；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b∥α，则a∥α；
④若a∥α，b?α，则a∥b．
2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是________．
3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系是______________________________________________________________________．
4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．
5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面为____________个．
6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．
7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．
8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：
(1)与直线AB平行的平面是______________；
(2)与直线AA1平行的平面是______________；
(3)与直线AD平行的平面是______________．
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是__________________________________________________________________．
二、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD―A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．
求证：EF∥平面BDD1B1．
11．如图所示，P是?ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．
求证：EF∥平面PBC．
能力提升
12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)
13．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ．求证PQ∥平面BCE．(用两种方法证明)
直线与平面平行的判定方法
(1)利用定义：证明直线a与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．
(2)利用直线和平面平行的判定定理：a?α，a∥b，b?α，则a∥α．使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．
1．2．3 直线与平面的位置关系
第1课时 直线与平面平行的判定
答案
知识梳理
1．直线在平面外 a?α
2．这个平面内的一条直线
作业设计
1．0
解析 ①a?α也可能成立；②a，b还有可能相交或异面；③a?α也可能成立；④a，b还有可能异面．
2．b∥α或b与α相交
3．平行或相交
4．平行 5．0,1或无数
6．12
解析 如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条．
7．无数
8．(1)平面A1C1和平面DC1 (2)平面BC1和平面DC1 (3)平面B1C和平面A1C1
9．平行
解析 设BD的中点为F，则EF∥BD1．
10．证明 取D1B1的中点O，
连结OF，OB．
∵OF?12B1C1，BE?12B1C1，
∴OF?BE．
∴四边形OFEB是平行四边形，
∴EF∥BO．
∵EF?平面BDD1B1，
BO?平面BDD1B1，
∴EF∥平面BDD1B1．
11．证明 连结AF延长交BC于G，
连结PG．
在?ABCD中，
易证△BFG∽△DFA．
∴GFFA＝BFFD＝PEEA，
∴EF∥PG．
而EF?平面PBC，
PG?平面PBC，
∴EF∥平面PBC．
12．①③
13．证明 方法一 如图(1)所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连结MN．
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，
∴AE＝BD．
又∵AP＝DQ，∴PE＝QB．
又∵PM∥AB∥QN，
∴PMAB＝PEAE，QNDC＝BQBD．
∴PM?QN．
∴四边形PQNM是平行四边形．∴PQ∥MN．
又MN?平面BCE，PQ?平面BCE，
∴PQ∥平面BCE．
方法二 如图(2)所示，连结AQ并延长交BC(或其延长线)于K，连结EK．
∵KB∥AD，∴DQBQ＝AQQK．∵AP＝DQ，AE＝BD，
∴BQ＝PE．
∴DQBQ＝APPE．∴AQQK＝APPE．∴PQ∥EK．
又PQ?面BCE，EK?面BCE，∴PQ∥面BCE．
第2课时 直线与平面平行的性质
【课时目标】 1．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．2．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．
直线与平面平行的性质定理：
经过一条直线和一个平面________，经过这条直线的平面和这个平面__________，那么这条直线就和交线________．
(1)符号语言描述：______________．
(2)性质定理的作用：
可以作为________________平行的判定方法，也提供了一种作__________的方法．
一、填空题
1．已知直线l∥平面α，直线m?α，则直线l和m的位置关系是________．
2．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC与面α的位置关系为____________．
3．若直线m不平行于平面α，且m?α，则下列结论成立的是________(填序号)．
①α内的所有直线与m异面；
②α内不存在与m平行的直线；
③α内存在唯一的直线与m平行；
④α内的直线与m都相交．
4．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是________．
5．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线条数为________．
6．如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是__________(填序号)．
①l1平行于l3，且l2平行于l3；
②l1平行于l3，且l2不平行于l3；
③l1不平行于l3，且l2不平行于l3；
④l1不平行于l3，但l2平行于l3．
7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α．以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________．(用序号表示)
8．如图所示，ABCD―A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．
9．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________．
二、解答题
第1课时 至厦门与平面平行的判定
【课时目标】 1．理解直线与平面平行的判定定理的含义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理；2．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．
1．一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：
位置
关系直线a在
平面α内直线a与
平面α相交直线a与
平面α平行
公共点有无数个公共点有且只有一个
公共点没有公共点
符号
表示a?αa∩α＝Aa∥α
图形
表示
我们把直线a与平面α相交或平行的情况统称为__________________，记作________．
2．直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和________________________平行，那么这条直线和这个平面平行．
用符号表示为a?α，b?α且a∥b?a∥α．
一、填空题
1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为________．
①若a∥b，b?α，则a∥α；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b∥α，则a∥α；
④若a∥α，b?α，则a∥b．
2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是________．
3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系是______________________________________________________________________．
4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．
5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面为____________个．
6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．
7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．
8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：
(1)与直线AB平行的平面是______________；
(2)与直线AA1平行的平面是______________；
(3)与直线AD平行的平面是______________．
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是__________________________________________________________________．
二、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD―A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．
求证：EF∥平面BDD1B1．
11．如图所示，P是?ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．
求证：EF∥平面PBC．
能力提升
12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)
13．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ．求证PQ∥平面BCE．(用两种方法证明)
直线与平面平行的判定方法
(1)利用定义：证明直线a与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．
(2)利用直线和平面平行的判定定理：a?α，a∥b，b?α，则a∥α．使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．
1．2．3 直线与平面的位置关系
第1课时 直线与平面平行的判定
答案
知识梳理
1．直线在平面外 a?α
2．这个平面内的一条直线
作业设计
1．0
解析 ①a?α也可能成立；②a，b还有可能相交或异面；③a?α也可能成立；④a，b还有可能异面．
2．b∥α或b与α相交
3．平行或相交
4．平行 5．0,1或无数
6．12
解析 如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条．
7．无数
8．(1)平面A1C1和平面DC1 (2)平面BC1和平面DC1 (3)平面B1C和平面A1C1
9．平行
解析 设BD的中点为F，则EF∥BD1．
10．证明 取D1B1的中点O，
连结OF，OB．
∵OF?12B1C1，BE?12B1C1，
∴OF?BE．
∴四边形OFEB是平行四边形，
∴EF∥BO．
∵EF?平面BDD1B1，
BO?平面BDD1B1，
∴EF∥平面BDD1B1．
11．证明 连结AF延长交BC于G，
连结PG．
在?ABCD中，
易证△BFG∽△DFA．
∴GFFA＝BFFD＝PEEA，
∴EF∥PG．
而EF?平面PBC，
PG?平面PBC，
∴EF∥平面PBC．
12．①③
13．证明 方法一 如图(1)所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连结MN．
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，
∴AE＝BD．
又∵AP＝DQ，∴PE＝QB．
又∵PM∥AB∥QN，
∴PMAB＝PEAE，QNDC＝BQBD．
∴PM?QN．
∴四边形PQNM是平行四边形．∴PQ∥MN．
又MN?平面BCE，PQ?平面BCE，
∴PQ∥平面BCE．
方法二 如图(2)所示，连结AQ并延长交BC(或其延长线)于K，连结EK．
∵KB∥AD，∴DQBQ＝AQQK．∵AP＝DQ，AE＝BD，
∴BQ＝PE．
∴DQBQ＝APPE．∴AQQK＝APPE．∴PQ∥EK．
又PQ?面BCE，EK?面BCE，∴PQ∥面BCE．
第2课时 直线与平面平行的性质
【课时目标】 1．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．2．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．
直线与平面平行的性质定理：
经过一条直线和一个平面________，经过这条直线的平面和这个平面__________，那么这条直线就和交线________．
(1)符号语言描述：______________．
(2)性质定理的作用：
可以作为________________平行的判定方法，也提供了一种作__________的方法．
一、填空题
1．已知直线l∥平面α，直线m?α，则直线l和m的位置关系是________．
2．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC与面α的位置关系为____________．
3．若直线m不平行于平面α，且m?α，则下列结论成立的是________(填序号)．
①α内的所有直线与m异面；
②α内不存在与m平行的直线；
③α内存在唯一的直线与m平行；
④α内的直线与m都相交．
4．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是________．
5．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线条数为________．
6．如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是__________(填序号)．
①l1平行于l3，且l2平行于l3；
②l1平行于l3，且l2不平行于l3；
③l1不平行于l3，且l2不平行于l3；
④l1不平行于l3，但l2平行于l3．
7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α．以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________．(用序号表示)
8．如图所示，ABCD―A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．
9．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________．
二、解答题
