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2012届高考数学三角函数概念知识归纳复习教案

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1.三角函数概念
一、知识清单
1. 角的概念
2. 象限角
第I象限角的集合:
第II角限角的集合:
第III象限角的集合:
第IV象限角的集合:

3. 轴线角
4. 终边相同的角
①与 (0°≤ <360°)终边相同的角的集合(角 与角 的终边重合): ;
②终边在x轴上的角的集合: ;
③终边在y轴上的角的集合: ;
④终边在坐标轴上的角的集合: .
5. 弧度制定义:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角
角度制与弧度制的互化:
1弧度
6.弧度制下的公式
扇形弧长公式 ,扇形面积公式 ,其中 为弧所对圆心角的弧度数。
7. 任意角的三角函数定义:
利用直角坐标系,可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在 终边上任取一点 (与原点不重合),记 ,

则 , , ,
注: ⑴三角函数值只与角 的终边的位置有关,由角 的大小唯一确定, 三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.(2)正弦、余弦、正切函数的定义域
8. 各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦

典型例题
命题方向:角的概念
例1(1)写出与 终边相同的角的集合M;
(2)把 的角写成 ( )的形式;
(3)若角 ,且 求 ;
解:(1)
(2)
(3)∵ 且
∴ ∴
∴ 又 ∵ ∴
∴ 或
例2 已知“ 是第三象限角,则 是第几象限角?
分析 由 是第三象限角,可得到 角的范围,进而可得到 的取值范围,再根据范围确定其象限即可也可用几何法来确定 所在的象限
解法一: 因为 是第三象限角,所以

∴当k=3m(m∈Z)时, 为第一象限角;
当k= 3m+1(m∈Z)时, 为第三象限角,
当k= 3m+2(m∈Z)时, 为第四象限角
故 为第一、三、四象限角
解法二: 把各象限均分3等份,再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,并依次循环一周,则 原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为 的终边所在的区域
由图可知, 是第一、三、四象限角
小结:已知角 的范围或所在的象限,求 所在的象限是常考题之一,一般解法有直接法和几何法,其中几何法具体操作如下:
把各象限均分n等份,再从x轴的正向的上方起,依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,并循环一周,则 原来是第几象限的符号所表示的区域即为 (n∈N*)的终边所在的区域

命题方向:三角函数符号的判断
例3.已知sin = ,cos =- ,那么α的终边在
A.第一象限B.第三或第四象限
C.第三象限D.第四象限
解析:sinα=2sin cos =- <0,
cosα=cos2 -sin2 = >0,
∴α终边在第四象限.
答案:D
变式.若 且 是,则 是( C )
A.第一象限角 B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角

例4. 若θ是第二象限的角,则 的符号是什么?
剖析:确定符号,关键是确定每个因式的符号,而要分析每个因式的符号,则关键看角所在象限.
解:∵2kπ+ <θ<2kπ+π(k∈Z),
∴-1<cosθ<0,4kπ+π<2θ<4kπ+2π,-1<sin2θ<0.
∴sin(cosθ)<0,cos(sin2θ)>0.
∴ <0.
命题方向:弧长公式的应用
例5、在复平面内,复数 对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解:D
例6 已知一扇形的中心角是 ,所在圆的半径是R,(1)若 ,R= ,求扇形的弧长交该弧所在的弓形面积。(2)若扇形的周长是一定值 ,当 为多少弧度时,该扇形有最大面积?
解:(1)设弧长为 ,弓形面积为 ,因为 ,R=10,所以

(2)因为扇形周长 ,所以 ,
所以
所以当且仅当 ,即 ( 舍去)时,扇形面积有最大值

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