M
1.三角函数概念
一、知识清单
1. 角的概念
2. 象限角
第I象限角的集合：
第II角限角的集合：
第III象限角的集合：
第IV象限角的集合：
3. 轴线角
4. 终边相同的角
①与 （0°≤ <360°）终边相同的角的集合（角 与角 的终边重合）: ;
②终边在x轴上的角的集合: ;
③终边在y轴上的角的集合： ;
④终边在坐标轴上的角的集合： .
5. 弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角
角度制与弧度制的互化：
1弧度
6.弧度制下的公式
扇形弧长公式 ，扇形面积公式 ，其中 为弧所对圆心角的弧度数。
7. 任意角的三角函数定义:
利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在 终边上任取一点 （与原点不重合），记 ，
则 ， ， ，
注: ⑴三角函数值只与角 的终边的位置有关，由角 的大小唯一确定, 三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.（2）正弦、余弦、正切函数的定义域
8. 各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦
典型例题
命题方向：角的概念
例1（1）写出与 终边相同的角的集合M；
（2）把 的角写成 （ ）的形式；
（3）若角 ，且 求 ；
解：（1）
（2）
（3）∵ 且
∴ ∴
∴ 又 ∵ ∴
∴ 或
例2 已知“ 是第三象限角，则 是第几象限角?
分析 由 是第三象限角，可得到 角的范围，进而可得到 的取值范围，再根据范围确定其象限即可也可用几何法来确定 所在的象限
解法一： 因为 是第三象限角，所以
∴
∴当k=3m（m∈Z）时， 为第一象限角；
当k= 3m＋1（m∈Z）时， 为第三象限角，
当k= 3m＋2（m∈Z）时， 为第四象限角
故 为第一、三、四象限角
解法二： 把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则 原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为 的终边所在的区域
由图可知， 是第一、三、四象限角
小结：已知角 的范围或所在的象限，求 所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：
把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则 原来是第几象限的符号所表示的区域即为 (n∈N*)的终边所在的区域
命题方向：三角函数符号的判断
例3.已知sin = ，cos =－ ，那么α的终边在
A.第一象限B.第三或第四象限
C.第三象限D.第四象限
解析：sinα=2sin cos =－ ＜0，
cosα=cos2 －sin2 = ＞0，
∴α终边在第四象限.
答案：D
变式．若 且 是，则 是（ C ）
A．第一象限角 B． 第二象限角C． 第三象限角D． 第四象限角
例4. 若θ是第二象限的角，则 的符号是什么?
剖析：确定符号，关键是确定每个因式的符号，而要分析每个因式的符号，则关键看角所在象限.
解：∵2kπ+ ＜θ＜2kπ+π（k∈Z），
∴－1＜cosθ＜0，4kπ+π＜2θ＜4kπ+2π，－1＜sin2θ＜0.
∴sin（cosθ）＜0，cos（sin2θ）＞0.
∴ ＜0.
命题方向：弧长公式的应用
例5、在复平面内，复数 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：D
例6 已知一扇形的中心角是 ，所在圆的半径是R，（1）若 ，R= ，求扇形的弧长交该弧所在的弓形面积。（2）若扇形的周长是一定值 ，当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解：（1）设弧长为 ，弓形面积为 ，因为 ，R=10，所以
（2）因为扇形周长 ，所以 ，
所以
所以当且仅当 ，即 （ 舍去）时，扇形面积有最大值
1.三角函数概念
一、知识清单
1. 角的概念
2. 象限角
第I象限角的集合：
第II角限角的集合：
第III象限角的集合：
第IV象限角的集合：
3. 轴线角
4. 终边相同的角
①与 （0°≤ <360°）终边相同的角的集合（角 与角 的终边重合）: ;
②终边在x轴上的角的集合: ;
③终边在y轴上的角的集合： ;
④终边在坐标轴上的角的集合： .
5. 弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角
角度制与弧度制的互化：
1弧度
6.弧度制下的公式
扇形弧长公式 ，扇形面积公式 ，其中 为弧所对圆心角的弧度数。
7. 任意角的三角函数定义:
利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在 终边上任取一点 （与原点不重合），记 ，
则 ， ， ，
注: ⑴三角函数值只与角 的终边的位置有关，由角 的大小唯一确定, 三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.（2）正弦、余弦、正切函数的定义域
8. 各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦
典型例题
命题方向：角的概念
例1（1）写出与 终边相同的角的集合M；
（2）把 的角写成 （ ）的形式；
（3）若角 ，且 求 ；
解：（1）
（2）
（3）∵ 且
∴ ∴
∴ 又 ∵ ∴
∴ 或
例2 已知“ 是第三象限角，则 是第几象限角?
分析 由 是第三象限角，可得到 角的范围，进而可得到 的取值范围，再根据范围确定其象限即可也可用几何法来确定 所在的象限
解法一： 因为 是第三象限角，所以
∴
∴当k=3m（m∈Z）时， 为第一象限角；
当k= 3m＋1（m∈Z）时， 为第三象限角，
当k= 3m＋2（m∈Z）时， 为第四象限角
故 为第一、三、四象限角
解法二： 把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则 原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为 的终边所在的区域
由图可知， 是第一、三、四象限角
小结：已知角 的范围或所在的象限，求 所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：
把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则 原来是第几象限的符号所表示的区域即为 (n∈N*)的终边所在的区域
命题方向：三角函数符号的判断
例3.已知sin = ，cos =－ ，那么α的终边在
A.第一象限B.第三或第四象限
C.第三象限D.第四象限
解析：sinα=2sin cos =－ ＜0，
cosα=cos2 －sin2 = ＞0，
∴α终边在第四象限.
答案：D
变式．若 且 是，则 是（ C ）
A．第一象限角 B． 第二象限角C． 第三象限角D． 第四象限角
例4. 若θ是第二象限的角，则 的符号是什么?
剖析：确定符号，关键是确定每个因式的符号，而要分析每个因式的符号，则关键看角所在象限.
解：∵2kπ+ ＜θ＜2kπ+π（k∈Z），
∴－1＜cosθ＜0，4kπ+π＜2θ＜4kπ+2π，－1＜sin2θ＜0.
∴sin（cosθ）＜0，cos（sin2θ）＞0.
∴ ＜0.
命题方向：弧长公式的应用
例5、在复平面内，复数 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：D
例6 已知一扇形的中心角是 ，所在圆的半径是R，（1）若 ，R= ，求扇形的弧长交该弧所在的弓形面积。（2）若扇形的周长是一定值 ，当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解：（1）设弧长为 ，弓形面积为 ，因为 ，R=10，所以
（2）因为扇形周长 ，所以 ，
所以
所以当且仅当 ，即 （ 舍去）时，扇形面积有最大值
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