专题六：概率与统计、推理与证明、算法初步、复数
第五讲 算法初步、复数
【最新考纲透析】
1．算法的含义、程序框图
（1）了解算法的含义，了解算法的思想；
（2）理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
2．基本算法语句
理解几种基本算法语句的含义
3．复数的概念
（1）理解复数的基本概念；
（2）理解复数相等的充要条件；
（3）了解复数的代数表示法及其几何意义。
4．复数的四则运算
（1）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义；
（2）会进行复数代数形式的四则运算。
【核心要点突破】
要点考向1：程序（算法）框图
考情聚焦：1．程序（算法）框图是新课标新增内容，也是近几年高考的热点之一；
2．多以选择题、填空题的形式考查，属容易题。
考向链接：1．解答有关程序（算法）框图问题，首先要读懂程序（算法）框图，要熟练掌握程序（算法）框图的三个基本结构；
2．循环结构常常用在一些有规律的科学计算中，如累加求和，累乘求积，多次输入等。利用循环结构表示算法：第一要选择准确的表示累计的变量，第二要注意在哪一步结束循环。解答循环结构的程序（算法）框图，最好的方法是执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误。
例1：（2010?湖南高考理科?Ｔ4）如图是求 的值的程序框图，则正整数 ．
【命题立意】从自然语言过渡到框图语言，能训练学生开阔的视 野和更为严谨的逻辑思维能力.
【思路点拨】框图→循环结构→当循环
【规范解答】i=1, s=s+i2=12；i=2,s=12+22；…；i=100,s= ,∴n=100
【答案】100
【方法技巧】框图→结构→注意关节点：条件结构的条件，循环结构的分类，是当循环还是直到型循环.
简单随机抽样方法更好.
要点考向2：复数的相关概念及复数的几何意义
考情聚焦：1．复数的相关概念及复数的几何意义是高考重点考查的内容；
2．以选择题或填空题的形式呈现，属容易题。
考向链接：1．与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是先变形分离出实部和虚部，把复数的非代数形式化为代数形式。然后根据条件，列方程或方程组；
2．与复数z的模z和共轭复数 有关的问题，一般都要先设出复数z的代数形式 ，供稿条件，用待定系数法解决。
例2：已知复数
(1)求 ； （2）当 时，求a的取值范围.
解析：（1）
（2）
要点考向3：复数的运算
考情聚焦：1．复数的运算是高考每年必考的内容，常与复数的相关概念和复数的几何意义结合起来考查；
2．以选择题、填空题的形式呈现，属容易题。
例3：如果复数 为纯虚数，则实数 的值为（ ）
（A）０ （B）１ （C）－１ （D）０或１
【解析】选A.
注：1．熟练掌握复数的加减乘除四则运算法则是解决此类问题的关键；
2．在有关复数z的等式中，可设出 ，用待定系 数法求解，也可把z看作自变量直接求解；
3．熟记一些 常见的运算结果可提高运算速度，
【高考真题探究】
1．（2010?陕西高考理科?Ｔ6）右图是求样本 平均数 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（ ）
(A) S=S+x n (B) S=S+
(C) S=S+ n (D) S=S+
【命题立意】本题考查框图的识别，属保分题。
【思路点拨】读懂框图是解决本题的关键
【规范解答】选A 由题意及框图知：先求和，
再求 ，故空白框中应填S=S+x n
【方法技巧】关于算法初步的命题类型与解题方法技巧
算法初步肯定要考，但不难，都局限于（ 读懂）框图．算法语句考的可能性不大，这是因为，同一种算法，同一种框图，所使用的语言不同，算法语 句就不同．考查由算法步骤画出框图的可能性也不大，根据同一算法步骤，可以画出不同的框图，批改很麻烦，甚至可能造成评分不公．因而算法的复习重点应放在读懂框图，尤其是条件结构、循环结构．
2．（2010?辽宁高考理科?Ｔ4）)如果执行右面的程序框图，输入正整数n，m，满足n≥m，那么输出的P等于
（A）
(B)
(C)
(D)
【命题立意】本题考查考生的读图、识图能力。
【思路点拨】写出输出的p的表达式，观察判断。
【规范解答】选D。由于n≥ m，所以输出的p=1×(n-m+1) ×(n-m+2) ×(n-m+3) ×……×(n-m+m)
= ( n-m+1) ×(n-m+2) ×(n-m+3) ×……× n
=
【方法技巧】正确写出表达式，务必仔细认真。
3．（2010?天津高考理科?Ｔ4）阅读右边的程序框图，若输出s的值为-7，则判断框内可填写 ( )
(A)i＜3? （B）i＜4? （C）i＜5? （D）i＜6?
【命题立意】考查流程图中循环结构的应用。
【思路点拨】按流程图进行计算判断。
【规范解答】选D，共执行3次运算：
所以应填i＜6。
【方法技巧】应用循环结构解决问题时，要注意两个变量i和s的初始值，及计数变量到底是什么，它递加的值是多大，由输出的结果来判断对应的判断条件应是多少。
4．（2010?湖南高考文科?Ｔ１） 复数 等于
A. 1+i B. 1-i C. -1+i D. -1-i
命题立意：以分式结构可以考查学生对复数的除法的掌握。
思路点拨：分子分母同乘以1+i.
规范解答： = = =1+i.∴选A.
方法技巧：分母实数化常常分子分母同乘以分母的共轭复数.
5．（2010 海南高考 理科T2）已知复数 ， 是 的共轭复数，则 = ( )
（A） （B） （C）1 （D）2
【命题立意】本题主要考查复数的四则运算性质以及共轭复数的概念.解答本题的关键是准确应用相关的公式进行计算.
【思路点拨】先求出复数 ，再求 .
【规范解答】选A. ，
= .所以， = ，故选A.
6．（2010?北京高考理科?Ｔ9）在复平面内，复数 对应的点的坐标为 。
【命题立意】：本题考查复数的除法与复数的几何表示。
【思路点拨】分子分母同乘以分母的共轭复数，可计算出 。
【规范解答】（-1,1）。 ，在复平面上对应的点为 。
【跟踪模拟训练】
一、选择题（每小题6分，共36分）
1．已知 （ ）
A． B． C． D．
2． 是虚数单位，若 ，则 （ ）
. ． ． ．
3.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的B等于( )
(A)7(B)15 (C)31(D)63
4.如图流程图中,语句“S=S×n”将被执行的次数是( )
(A)4(B)5(C)6(D)7
5．已知 ，其中i是虚数单位，那么实数a等于 （ ）
A．3 B． C．-3 D．-
6.执行如图的程序，如果输出的x=256,那么可以在判断框内填入( )
(A)i≥3？ (B)i≥4？
(C)i≤3？ (D)i≤4？
二、填空题（每小题6分，共18分）
7．复数 .
8．已经复数 满足 （i是虚数单位），则复数 的模是
9．如图，是一程序框图，则输出结果为K=______,S=_____________.
(说明，M=N是赋值语句，也可以写成M←N，或M：=N)
三、解答题（10、11题每题15分，12题16分，共46分）
10．已知复数 ， ， ,
求：（1）求 的值;
（2）若 ,且 ,求 的值.
11.某市居民用水原价为2.25元/立方米,从2008年1月1日
起实行阶梯式计价:
其中p是用水总量的一次函数,已知用水总量40立方米时p=3.0元/立方米,用水总量50立方米时p=3.5元/立方米.
(1)写出水价调整后居民每月水费总额y与用水量x的函数关系式;每月用水量在什么范围内,水价调整后居民同等用水的水费比调整前增加?
(2)用一个流程图描述水价调整后计算水费的主要步骤.
12.(探究创新题)设等比数列z1,z2,z3,…，zn,…其中z1=1,z2=a+bi,z3=a-bi(a,b∈R且b＞0)，
(1 )求a，b的值;
(2)试求使z1+z2+…+zn=0的最小自然数n.
参考答案
1．【解析】选D.
2．【解析】选A.
3．【解析】选D.运行程序框图
A=1,A≤5第一次执行循环体
B=2×1+1=3,A=2,此时A≤5;
第二次执行循环体
B=2×3+1=7,A=3,此时A≤5;
第三次执行循环体
B=2×7+1=15,A=4,此时A≤5;
第四次执行循环体
B=2×15+1=31,A=5,此时A≤5;
第五次执行循环体
B=2×31+1=63,A=6,此时A＞5;
输出63.
4．【解析】选B.由程序框图知
S=1×2×3×…×n.
又1 ×2×3×4×5=120＜200,
1×2 ×3×4×5×6=720＞200.
故语句“S=S×n”被执行了5次.
5．答案：A
6．【解析】选B.运行程序框图x=22,i=2,此时需第二次执行循环体：x=24,i=3，此时需第三次执行循环体：x=28=256，i=4，此时需结束循环，故判断框内应填 i≥4.
7．【解析】
答案：
8．【解析】
答案：
9．
10．解析：（１）∵ ，
∵ ，
，
∴cos(α β)= .
（２）∵ ,∴0<α-β<π,由（1）得cos (α β)= ,
∴sin(α β)= . 又sinβ= ,∴cosβ= .
∴ sinα=sin［(α β)+β］
=sin(α β)cosβ+cos(α β)sinβ
= × ．
11．【解析】(1)由待定系数法求得
p=0.05x+1(x>30).
依题意:x≤20时,y=1.8x.
20
x>30时,y=1.8×20+2.4×(30-20)+p×(x-30)
=0.05x2-0.5x+30.
所以,水价调整后居民每月水费总额y(元)与用水
量x(立方米)的函数关系式是
用水量为30立方米时,水价调整前水费为2.25×30=67.5(元),
水价调整后水费为f(30)=60(元),水价
调整前水费更高.设用水量为x(x>30)立方米时,
水价调整后水费更高,依题意得
0.05x2-0.5x+30>2.25x，
解得x>40或x<15(舍去),即每月用水量超过40立方米时,水价调整后居民同等用水的水费比调整前增加.
(2)流程图是:
12．
【备课资源】
4.已知i是虚数单位,实数x,y满足(x+i)i+y=1+2i,则x-y的值为( )
(A)-1(B)0(C)1(D)2
【解析】选B.∵(x+i)i+y=1+2i.
∴(-1+y)+xi=1+2i.
∴x-y=0.
5.设i为虚数单位,则1+ i+i2+i3+…+i10=( )
(A)i(B)-i(C)2i(D)-2i
【解析】选A.1+i+i2+i3+…+i10=1+i+i2=i.
6.复数(3+i)m-(2+i)对应的点在直线x+y=1上,则实数m的值是_____.
【解析】∵(3+i)m-(2+i)=(3m- 2)+(m- 1)i,
∴(3m-2)+(m-1)=1.∴m=1.
答案:1
7.运行如图所示的程序流程图则输出i的值为________.
【解析】运行程序：P=1,P＜100.
第一次执行循环体:
i=3,P=3,此时P＜100.
第二次执行循环体:
i=5,P=15,此时P＜100.
第三次执行循环体:
i=7,P=105,此时P＞100.
输出7.
答案：7
8.右面框图表示的程序所输出的结果是_____.
【解析】运行程序：
i=12,i≥10.
第一次执行循环体：
s=1×12=12,i=11，此时i≥10.
第二次执行循环体：
s=12×11=132,i=10,此时i≥10.
第三次执行循环体：
s=132×10=1 320，i=9,此时i＜10.
输出1 320.
答案：1 320
