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2012届高考数学第一轮立体几何专项复习 空间几何体的表面积

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§1.3 空间几何体的表面积和体积
1.3.1 空间几何体的表面积

【课时目标】 1.进一步认识柱体、锥体、台体及简单组合体的结构特征,了解它们的有关概念.2.了解柱体、锥体、台体的表面积的计算公式.3.会利用柱体、锥体、台体的表面积公式解决一些简单的实际问题.


1.常见的几个特殊多面体的定义
(1)__________________的棱柱叫做直棱柱.
(2)正棱柱是指底面为____________的直棱柱.
(3)如果一个棱锥的底面是____________,并且顶点在底面的正投影是底面中心,我们称这样的棱锥为正棱锥.正棱锥的侧棱长都相等.
(4)正棱锥被______________的平面所截,______________之间的部分叫做正棱台.
2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图及侧面积
(1)直棱柱的侧面展开图是____________(矩形的长等于直棱柱的底面周长c,宽等于直棱柱的高h),则S直棱柱侧=______;
(2)正棱锥的侧面展开图是由各个侧面均为全等等腰三角形组成的图形(正棱锥底面周长为c,斜高为h′),则S正棱锥侧=__________;
(3)正棱台的侧面展开图是由各个侧面均为全等等腰梯形组成的图形,(正棱台的上、下底面周长分别为c′,c,斜高为h′),则有:S正棱台侧=____________..
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积
圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是____________、________和________.
S圆柱侧=2πrl,S圆锥侧=12cl=πrl
S圆台侧=12(c+c′)l=π(r+r′)l


一、填空题
1.用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱,此圆柱的轴截面面积为________.
2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比为__________.
3.中心角为135°,面积为B的扇形围成一个圆锥,若圆锥的全面积为A,则A∶B=__________.
4.三视图如图所示的几何体的表面积是__________.

5.一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3,若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化,则孔的半径为________.
6.正六棱锥的高为4 cm,底面最长的对角线为43 cm,则它的侧面积为________ cm2.
7.底面是菱形的直棱柱,且侧棱长为5,它的体对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是________.
8.一个正四棱柱的体对角线的长是9 cm,全面积等于144 cm2,则这个棱柱的侧面积为________ cm2.
9.如图(1)所示,已知正方体面对角线长为a,沿阴影面将它切割成两块,拼成如图(2)所示的几何体,那么此几何体的表面积为________.


二、解答题
10.已知正四棱台(上、下底是正方形,上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6,高和下底面边长都是12,求它的侧面积.


11.圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,那么圆台的表面积是多少?(结果中保留π)


12.有一塔形几何体由3个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2,求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积).

能力提升
13.如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6米铁丝,再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).
(1)当圆柱底面半径r取何值时,S取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01平方米);
(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼,请作出用于制作灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等因素).



1.在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解,为此在解此类问题时,要注意直角三角形的应用.
2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面,就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥,再借助相似的相关知识求解.


§1.3 空间几何体的表面积和体积
1.3.1 空间几何体的表面积
答案
知识梳理
1.(1)侧棱和底面垂直 (2)正多边形 (3)正多边形
(4)平行于底面 截面和底面
2.(1)一个矩形 ch (2)12ch′ (3)12(c+c′)h′
3.矩形 扇形 扇环
作业设计
1.8π
解析 易知2πr=4,则2r=4π,
所以轴截面面积=4π×2=8π.
2.1+2π2π
解析 设底面半径为r,侧面积=4π2r2,全面积为=2πr2+4π2r2,其比为:1+2π2π.
3.11∶8
解析 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,
则2πr=34πl,则l=83r,所以
A=83πr2+πr2=113πr2,B=83πr2,
得A∶B=11∶8.
4.7+2
解析 图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱.直角梯形的上底为1,下底为2,高为1,棱柱的高为1.可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2,2,表面积S表面=2S底+S侧面=12(1+2)×1×2+(1+1+2+2)×1=7+2.
5.3
解析 由题意知,圆柱侧面积等于圆柱上、下底面和,即2πr×3=2πr2,所以r=3.
6.303
解析 由题意知,底面边长为23 cm,
侧棱长为l=16+12=27 cm,
斜高h′=28-3=5 (cm),
∴S侧=6?12?23?5=303 (cm2).
7.160
解析 设底面边长是a,底面的两条对角线分别为l1,l2,而l21=152-52,l22=92-52,而l21+l22=4a2,即152-52+92-52=4a2,a=8,S侧面积=ch=4×8×5=160.
8.112
解析 设底面边长、侧棱长分别为a、l,
a2+a2+l2=92a2+4al=144,∴a=4l=7,
∴S侧=4?4?7=112 (cm2).
9.(2+2)a2
解析 由已知可得正方体的边长为22a,新几何体的表面积为S表=2×22a×a+4×22a2
=(2+2)a2.
10.

解 如图,E、E1分别是BC、B1C1的中点,O、O1分别是下、上底面正方形的中心,则O1O为正四棱台的高,则O1O=12.
连结OE、O1E1,则OE=12AB
=12×12=6,O1E1=12A1B1=3.
过E1作E1H⊥OE,垂足为H,
则E1H=O1O=12,OH=O1E1=3,
HE=OE-O1E1=6-3=3.
在Rt△E1HE中,E1E2=E1H2+HE2=122+32
=32×42+32=32×17,
所以E1E=317.
所以S侧=4×12×(B1C1+BC)×E1E
=2×(12+6)×317=10817.
11.解 

如图所示,设圆台的上底面周长为c,因为扇环的圆心角是180°,
故c=π?SA=2π×10,
所以SA=20,
同理可得SB=40,
所以AB=SB-SA=20,
∴S表面积=S侧+S上+S下
=π(r1+r2)?AB+πr21+πr22
=π(10+20)×20+π×102+π×202
=1 100π(cm2).
故圆台的表面积为1 100π cm2.
12.解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2,2,1.
考虑该几何体在水平面的投影,可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍.
∴S表=2S下+S侧
=2×22+4×[22+(2)2+12]=36.
∴该几何体的表面积为36.
13.解 由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6-8×2r8=1.2-2r,
∴塑料片面积S=πr2+2πr(1.2-2r)=πr2+2.4πr-4πr2=-3πr2+2.4πr=-3π(r2-0.8r)=-3π(r-0.4)2+0.48π.
∴当r=0.4时,S有最大值0.48π,约为1.51平方米.
(2)若灯笼底面半径为0.3米,
则高为1.2-2×0.3=0.6(米).
制作灯笼的三视图如图.



1.3.2 空间几何体的体积

【课时目标】 1.了解柱、锥、台、球的体积公式.2.会利用柱体、锥体、台体的体积公式解决一些简单的实际问题.


1.柱体、锥体、台体的体积
柱体:V=______,V圆柱=________.
锥体:V=________,V圆锥=________.
台体:V=____________,
V圆台=13πh(r′2+r′r+r2).
其中S、S′为底面面积,h为高,r、r′为底面半径.
2.球的表面积和体积
S球=________,V球=__________
其中R是球的半径.


一、填空题
1.把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的________倍.
2.正方体的内切球和外接球的体积之比为__________.
3.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为________.
4.一个圆锥与一个球的体积相等,圆锥的底面半径是球半径的3倍,圆锥的高与球半径之比为________.
5.设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m).

则该几何体的体积为________m3.
6.棱长为a的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为________.
7.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球的体积是32π3,则这个三棱柱的体积是________.
8.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是______cm3.

9.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是______cm.

二、解答题
10.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成两部分,求这两部分的体积之比.


11.已知正三棱锥V―ABC的主视图,俯视图如图所示,其中VA=4,AC=23,求该三棱锥的表面积与体积.

能力提升
12.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.


13.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.


1.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形,进行相关计算.
2.解决球与其他几何体的切接问题,通常作截面,将球与几何体的各量体现在平面图形中,再进行相关计算.
3.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为
V柱体=Sh??→S′=SV台体=13h(S+SS′+S′)??→S′=0V锥体=13Sh.
4.“割补”是求体积的一种常用策略,运用时,要注意弄清割补前后几何体体积之间的数量关系.


1.3.2 空间几何体的体积 答案

知识梳理
1.Sh πr2h 13Sh 13πr2h 13(S′+S′S+S)h
2.4πR2 43πR3
作业设计
1.22
解析 由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的2倍,则体积扩大到原来的22倍.
2.1∶33
解析 关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a,外接球的直径等于3a.
两球体积之比为a3:(3a)3=1∶33.
3.50π
解析 外接球的直径2R=长方体的体对角线
=a2+b2+c2(a、b、c分别是长、宽、高).
4.4∶9
解析 设球半径为r,圆锥的高为h,
则13π(3r)2h=43πr3,可得h∶r=4∶9.
5.4
解析 由三视图可知原几何体是一个三棱锥,且三棱锥的高为2,底面三角形的一边长为4,且该边上的高为3,故所求三棱锥的体积为V=13×12×3×4×2=4 m3.
6.a36
解析 连结正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为22a的正四棱锥组成,正四棱锥的高为a2,则八面体的体积为V=2×13×(22a)2?a2=a36.
7.483
解析 由43πR3=32π3,得R=2.
∴正三棱柱的高h=4.
设其底面边长为a,则13?32a=2,∴a=43.
∴V=34(43)2?4=483.
8.144
解析 此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体,而V正四棱台=13(82+42+82×42)×3=112,V正四棱柱=4×4×2=32,故V=112+32=144.
9.4
解析 设球的半径为r cm,则πr2×8+43πr3×3
=πr2×6r.解得r=4.
10.解 截面EB1C1F将三棱柱分成两部分,一部分是三棱台AEF-A1B1C1,另一部分是一个不规则几何体,故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得.
设棱柱的底面积为S,高为h,则△AEF的面积为14S,由于V1=VAEF-A1B1C1=13?h?(S4+S+S2)=712hS,剩余的不规则几何体的体积为V2=V-V1=hS-712hS=512hS,所以两部分的体积之比为V1∶V2=7∶5.
11.解 

由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示,且VA=VB=VC=4,AB=BC=AC=23,
取BC的中点D,连结VD,
则VD=VB2-BD2=42-?3?2=13,
∴S△VBC=12×VD×BC
=12×13×23=39,
S△ABC=12×(23)2×32=33,
∴三棱锥V―ABC的表面积为
3S△VBC+S△ABC=339+33=3(39+3).
点V在底面ABC上的射影为H,则A,H,D三点共线,VH即为三棱锥V―ABC的高,
VH=VD2-HD2= VD2-13AD2
=?13?2-12=23,
∴VV―ABC=13S△ABC?VH
=13×33×23=6,
所以正三棱锥的体积是6.
12.解 由题意知,圆锥的轴截面为正三角形,如图所示为圆锥的轴截面.

根据切线性质知,当球在容器内时,水深为3r,水面的半径为3r,则容器内水的体积为V=V圆锥-V球=13π?(3r)2?3r-43πr3=53πr3,而将球取出后,设容器内水的深度为h,则水面圆的半径为33h,从而容器内水的体积是V′=13π?(33h)2?h=19πh3,
由V=V′,得h=315r.
即容器中水的深度为315r.
13.解 设正方体的棱长为a.如图所示.
①正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是正方体六个面的中心,经过四个切点及球心作截面,所以有2r1=a,r1=a2,
所以S1=4πr21=πa2.

②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,
2r2=2a,
r2=22a,所以S2=4πr22=2πa2.
③正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,所以有2r3=3a,
r3=32a,所以S3=4πr23=3πa2.
综上可得S1∶S2∶S3=1∶2∶3.
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