专题二：三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
第二讲 三角变换与解三角形
【最新考纲透析】
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。
2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。
3．能利用两角差的余弦公式导出两角各的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
4．能运用和与差、二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。
5．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决 一些简单的三角形度量问题。
6．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。
【核心要点突破】
要点考向1：三角变换及求值
考情聚焦：1．利用两角和差的三角函数公式进行三角变换、求值是高考必考内容。
2．该类问题出题背景选择面广，解答题中易出现与新知识的交汇题。
3．该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现，属中、低档题。
考向链接： 1．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形
（1） ；
（2）角的变换 ；
（3） 。
2．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：
（1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；
（2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；
（3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。
例1：已知向量 ,且
(Ⅰ)求tan A的值；
(Ⅱ)求函数 R)的值域
解析：（Ⅰ）由题意得m?n=sinA- 2cosA=0,
因为cosA≠0,所以tanA=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得
因为x R,所以 .当 时，f(x)有最大值 ，
当sinx= -1时，f(x)有最小值-3
所以所求函数f(x)的值域是
要点考向2：正、余弦定理的应用
考情聚焦：1 ．利用正、余弦定理解决涉及三角形的问题，在近3年新课标高考中都有出现，预计将会成为今后高考的一个热点。
2．该类问题多数是以三角形或其他平面图形为背景，考查正、余弦定理及三角函数的化简与证明。
3．多以解答题的形式出现，有时也在选择、填空题中出现。
考向链接：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。
2．在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值。
例2：（2010?辽宁高考理科?Ｔ17）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求 的最大值.
【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。
【思路点拨】（I）根据正统 定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角
（II）由（I）知角C＝60°-B代入sinB+sinC中，看作关于角B的函数，进而求出最值
【规范解答】（Ⅰ）由已 知，根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故 ，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故当B＝30°时，sinB+sinC取得最大值1。
【方法技巧】
(1)利用正弦定理，实现角的正 弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c替换sinC。sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。
(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C＝60°
要点考向3：三角函数的实际应用
考情聚焦：1．有关解三角形及实际应用在高考中有时出现。
2．该类问题以实际问题为背景，其建模后为解三角形问题，与三角函数及三角变换等知识交汇。
3．多以解答题的形式出现，题目不会太难。
例3：（2010?江苏高考?Ｔ１7）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE= ，∠ADE= 。
(1)该小组已测得一组 、 的值，算出了tan =1.24，tan =1.20，请据此算出H的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使 与 之差较 大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时， - 最大？
【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及 不等式的 应用。
【思路点拨】（1）分别利用 表示AB、AD、BD，然后利用AD―AB=DB求解；
（2）利用基本不等式求解.
【规范解答】（1） ，同理： ， 。
AD―AB=DB，故得 ，解得： 。
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2）由题设知 ，得 ，
，（当且仅当 时，取等号）
故当 时， 最大。
因为 ，则 ，由 的单调性可知：当 时， - 最大。
故所求的 是 m。
【高考真题探究】
1．（2010?福建高考文科?Ｔ2）计算 的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【命题立意】本题考查利用余弦的倍角公式的逆用，即降幂公式，并进行三角的化简求值。
【思路点拨】 直接套用倍角公式的逆用公式，即降幂公式即可。
【规范解答】选B， 。
【方法技巧】对于三角公式的学习，要注意灵活掌握其变形公式，才能进行灵活的恒等变换。如倍角公式： ， 的逆用公式为“降幂公式”，即为 ， ，在三角函数的恒等变形中，降幂公式的起着重要的作用。
2．（2010 海南宁夏高考 理科T16）在 中，D为边BC上一点，BD= DC, =120°，AD=2，若 的面积为 ，则 = .
【命题立意】本题主要考查了余弦定理及其推论的综合应用.
【思路点拨】利用三角形中的余弦定理极其推论。列出边与角满足的关系式求解.
【规范解答】设 ，则 ，由 的面积为 可知
，可得 ，由余弦定理可知
，所以
，所以
由 ，及
可求得
【答案】60°
【方法技巧】熟练三角形中隐含的角的关系，利用余弦定理或正弦定理找边与角的关系，列出等式求解.
3．（2010?天津高考理科?Ｔ7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若 ， ，则A= ( )
（A） （B） （C） （D）
【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。
【规范解答】选A，根据正弦定理及 得：
，
。
【 方法技巧】根据所给 边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。
4．（2010?北京高考理科?Ｔ１0）在△ABC中，若b = 1，c = ， ，则a = 。
【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。
【思路点拨】对 利用余弦定理，通过解方程可解出 。
【规范解答】由余弦定理得， ，即 ，解得 或 （舍）。
【答案】1
【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。
5．（2010?天津高考理科?Ｔ１7）已知函数
（Ⅰ）求函数 的最小正周期及在区间 上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若 ，求 的值。
【命题立意】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦公式、函数 的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力。
【思路点拨】化成一个角的三角函数的形式；变角 ，
【规范解答】（1）由 ，得
所以函数 的最小正周期为
因为 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，又
，所以函数 在区间 上的最大值为2，最小值为-1
（Ⅱ）由（1）可知 又因为 ，所以
由 ，得 从而
所以
6．（2010?陕西高考理科?Ｔ１7）如图，A，B是海面上位于东西方向相距
海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°
的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南 偏西60°且与B点相距 海里的C点的 救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正、余弦定理，考查了解决三角形问题的能力，属于中档题。
【思路点拨】解三角形
【规范解答】
【跟踪模拟训练】
一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分）
1．（2010届?山东省实验高三一诊（文））已知点 在第四象限, 则角 的终边在 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
3．函数 的最小正周期T= （ ）
（A）2π（B）π（C） （D）
4．若函数y=f（x）同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为π，（2）图象关于直线 对称；（3）在区间 上是增函数，则y=f（x）的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2010届?广东高三六校联考（理））如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝（ ）
A．2B．5C．4D．1
二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）
7．在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 ，且 ，则 的面积等于_____
8．若定义在区间 上的函数 对 上的任意 个值 ， ，…， ，总满足 ≤ ，则称 为 上的凸函数．已知函数 在区间 上是“凸函数”，则在△ 中， 的最大值是____．
9.已知△ABC的三个内角A，B，C满足cosA(sinB+cosB)+cosC=0,则A=_______.
三、解答题（10、11题每小题15分，12题16分，总分46分）
10．（本小题满分12分）已知 ．
（1）求 ；
（2）求 的值．
11．已知函数 的最小正周期为 .
（1）求 在区间 上的最大值和最小值；
（2）求函数 图象上与坐标原点最近的对称中心的坐标.
12．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且
(Ⅰ)确定角C的大小
（Ⅱ）若c＝ ,且△ABC的面积为 ,求a＋b的值。
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．C
5．B
6．【解析】选A.依题意，画出图形.
△CAO是等腰三角形，
∴∠DCO=∠COA=π-2θ.
在Rt△COD中，
CD=CO?cos∠DCO
=c os（π-2θ）=-cos2θ，
过O作OH⊥AC于H点，则
CA=2AH=2OAcosθ=2cosθ.
∴f(θ)=AC+CD=2cosθ-cos2θ.
7．
8．
9．【解析】∵cosA(sinB+cosB)+cosC=0，
∴cosAsinB+cosAcosB+cos［π-(A+B)］=0，
∴cosAsinB+cosAcosB-cos(A+B)=0，
cosAsinB+cosAcosB-cosAcosB+sinAsinB=0，
即cosAsinB+sinAsinB=0.
又∵sinB≠0,∴cosA+sinA=0,
又 A是三角形的内角,∴A= .
答案：
10．解析：（1） ，
（2） 原式＝
= ．
11．解析: （1）
当 时，
当 时， 取得最大值为 ，最小值为
（2）令 ，得
当 时， ，当 时， ， 满足要求的对称中心为
12．解析：（1）由 及正弦定理得，
…………………………………… 3分
是锐角三角形， …………………………………… 6分
（2）解法1： 由面积公式得
…………………… 9分
由余弦定理得
由②变形得 …………………………………… 12分
解法2：前同解法1，联立①、②得
…………………………………… 9分
消去b并整理得 解得
所以 故 …………………………………… 12分
第二讲 三角变换与解三角形
【最新考纲透析】
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。
2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。
3．能利用两角差的余弦公式导出两角各的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
4．能运用和与差、二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。
5．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决 一些简单的三角形度量问题。
6．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。
【核心要点突破】
要点考向1：三角变换及求值
考情聚焦：1．利用两角和差的三角函数公式进行三角变换、求值是高考必考内容。
2．该类问题出题背景选择面广，解答题中易出现与新知识的交汇题。
3．该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现，属中、低档题。
考向链接： 1．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形
（1） ；
（2）角的变换 ；
（3） 。
2．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：
（1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；
（2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；
（3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。
例1：已知向量 ,且
(Ⅰ)求tan A的值；
(Ⅱ)求函数 R)的值域
解析：（Ⅰ）由题意得m?n=sinA- 2cosA=0,
因为cosA≠0,所以tanA=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得
因为x R,所以 .当 时，f(x)有最大值 ，
当sinx= -1时，f(x)有最小值-3
所以所求函数f(x)的值域是
要点考向2：正、余弦定理的应用
考情聚焦：1 ．利用正、余弦定理解决涉及三角形的问题，在近3年新课标高考中都有出现，预计将会成为今后高考的一个热点。
2．该类问题多数是以三角形或其他平面图形为背景，考查正、余弦定理及三角函数的化简与证明。
3．多以解答题的形式出现，有时也在选择、填空题中出现。
考向链接：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。
2．在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值。
例2：（2010?辽宁高考理科?Ｔ17）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求 的最大值.
【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。
【思路点拨】（I）根据正统 定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角
（II）由（I）知角C＝60°-B代入sinB+sinC中，看作关于角B的函数，进而求出最值
【规范解答】（Ⅰ）由已 知，根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故 ，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故当B＝30°时，sinB+sinC取得最大值1。
【方法技巧】
(1)利用正弦定理，实现角的正 弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c替换sinC。sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。
(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C＝60°
要点考向3：三角函数的实际应用
考情聚焦：1．有关解三角形及实际应用在高考中有时出现。
2．该类问题以实际问题为背景，其建模后为解三角形问题，与三角函数及三角变换等知识交汇。
3．多以解答题的形式出现，题目不会太难。
例3：（2010?江苏高考?Ｔ１7）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE= ，∠ADE= 。
(1)该小组已测得一组 、 的值，算出了tan =1.24，tan =1.20，请据此算出H的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使 与 之差较 大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时， - 最大？
【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及 不等式的 应用。
【思路点拨】（1）分别利用 表示AB、AD、BD，然后利用AD―AB=DB求解；
（2）利用基本不等式求解.
【规范解答】（1） ，同理： ， 。
AD―AB=DB，故得 ，解得： 。
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2）由题设知 ，得 ，
，（当且仅当 时，取等号）
故当 时， 最大。
因为 ，则 ，由 的单调性可知：当 时， - 最大。
故所求的 是 m。
【高考真题探究】
1．（2010?福建高考文科?Ｔ2）计算 的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【命题立意】本题考查利用余弦的倍角公式的逆用，即降幂公式，并进行三角的化简求值。
【思路点拨】 直接套用倍角公式的逆用公式，即降幂公式即可。
【规范解答】选B， 。
【方法技巧】对于三角公式的学习，要注意灵活掌握其变形公式，才能进行灵活的恒等变换。如倍角公式： ， 的逆用公式为“降幂公式”，即为 ， ，在三角函数的恒等变形中，降幂公式的起着重要的作用。
2．（2010 海南宁夏高考 理科T16）在 中，D为边BC上一点，BD= DC, =120°，AD=2，若 的面积为 ，则 = .
【命题立意】本题主要考查了余弦定理及其推论的综合应用.
【思路点拨】利用三角形中的余弦定理极其推论。列出边与角满足的关系式求解.
【规范解答】设 ，则 ，由 的面积为 可知
，可得 ，由余弦定理可知
，所以
，所以
由 ，及
可求得
【答案】60°
【方法技巧】熟练三角形中隐含的角的关系，利用余弦定理或正弦定理找边与角的关系，列出等式求解.
3．（2010?天津高考理科?Ｔ7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若 ， ，则A= ( )
（A） （B） （C） （D）
【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。
【规范解答】选A，根据正弦定理及 得：
，
。
【 方法技巧】根据所给 边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。
4．（2010?北京高考理科?Ｔ１0）在△ABC中，若b = 1，c = ， ，则a = 。
【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。
【思路点拨】对 利用余弦定理，通过解方程可解出 。
【规范解答】由余弦定理得， ，即 ，解得 或 （舍）。
【答案】1
【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。
5．（2010?天津高考理科?Ｔ１7）已知函数
（Ⅰ）求函数 的最小正周期及在区间 上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若 ，求 的值。
【命题立意】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦公式、函数 的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力。
【思路点拨】化成一个角的三角函数的形式；变角 ，
【规范解答】（1）由 ，得
所以函数 的最小正周期为
因为 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，又
，所以函数 在区间 上的最大值为2，最小值为-1
（Ⅱ）由（1）可知 又因为 ，所以
由 ，得 从而
所以
6．（2010?陕西高考理科?Ｔ１7）如图，A，B是海面上位于东西方向相距
海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°
的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南 偏西60°且与B点相距 海里的C点的 救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正、余弦定理，考查了解决三角形问题的能力，属于中档题。
【思路点拨】解三角形
【规范解答】
【跟踪模拟训练】
一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分）
1．（2010届?山东省实验高三一诊（文））已知点 在第四象限, 则角 的终边在 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
3．函数 的最小正周期T= （ ）
（A）2π（B）π（C） （D）
4．若函数y=f（x）同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为π，（2）图象关于直线 对称；（3）在区间 上是增函数，则y=f（x）的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2010届?广东高三六校联考（理））如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝（ ）
A．2B．5C．4D．1
二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）
7．在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 ，且 ，则 的面积等于_____
8．若定义在区间 上的函数 对 上的任意 个值 ， ，…， ，总满足 ≤ ，则称 为 上的凸函数．已知函数 在区间 上是“凸函数”，则在△ 中， 的最大值是____．
9.已知△ABC的三个内角A，B，C满足cosA(sinB+cosB)+cosC=0,则A=_______.
三、解答题（10、11题每小题15分，12题16分，总分46分）
10．（本小题满分12分）已知 ．
（1）求 ；
（2）求 的值．
11．已知函数 的最小正周期为 .
（1）求 在区间 上的最大值和最小值；
（2）求函数 图象上与坐标原点最近的对称中心的坐标.
12．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且
(Ⅰ)确定角C的大小
（Ⅱ）若c＝ ,且△ABC的面积为 ,求a＋b的值。
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．C
5．B
6．【解析】选A.依题意，画出图形.
△CAO是等腰三角形，
∴∠DCO=∠COA=π-2θ.
在Rt△COD中，
CD=CO?cos∠DCO
=c os（π-2θ）=-cos2θ，
过O作OH⊥AC于H点，则
CA=2AH=2OAcosθ=2cosθ.
∴f(θ)=AC+CD=2cosθ-cos2θ.
7．
8．
9．【解析】∵cosA(sinB+cosB)+cosC=0，
∴cosAsinB+cosAcosB+cos［π-(A+B)］=0，
∴cosAsinB+cosAcosB-cos(A+B)=0，
cosAsinB+cosAcosB-cosAcosB+sinAsinB=0，
即cosAsinB+sinAsinB=0.
又∵sinB≠0,∴cosA+sinA=0,
又 A是三角形的内角,∴A= .
答案：
10．解析：（1） ，
（2） 原式＝
= ．
11．解析: （1）
当 时，
当 时， 取得最大值为 ，最小值为
（2）令 ，得
当 时， ，当 时， ， 满足要求的对称中心为
12．解析：（1）由 及正弦定理得，
…………………………………… 3分
是锐角三角形， …………………………………… 6分
（2）解法1： 由面积公式得
…………………… 9分
由余弦定理得
由②变形得 …………………………………… 12分
解法2：前同解法1，联立①、②得
…………………………………… 9分
消去b并整理得 解得
所以 故 …………………………………… 12分
