复数的乘法与除法

复数的乘法与除法

教学目标
    (1)把握复数乘法与除法的运算法则,并能熟练地进行乘、除法的运算;
    (2)能应用i和 的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题;
    (3)让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法;
    (4)通过学习复数乘法与除法的运算法则,培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。
    教学建议
    一、知识结构
    二、重点、难点分析
    本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质.复数的代数形式相乘,与加减法一样,可以按多项式的乘法进行,但必须在所得的结果中把 换成-1,并且把实部与虚部分合并.很明显,两个复数的积仍然是一个复数,即在复数集内,乘法是永远可以实施的,同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律.规定复数的除法是乘法的逆运算,它同多项式除法类似,当两个多项式相除,可以写成分式,若分母含有理式时,要进行分母有理化,而两个复数相除时,要使分母实数化,即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数,使分母变成实数.
    三、教学建议
    1.在学习复数的代数形式相乘时,复数的乘法法则规定按照如下法则进行.设 是任意两个复数,那么它们的积:
    也就是说.复数的乘法与多项式乘法是类似的,注重有一点不同即必须在所得结果中把 换成一1,再把实部,虚部分别合并,而不必去记公式.
    2.复数的乘法不仅满足交换律与结合律,实数集r中整数指数幂的运算律,在复数集c中仍然成立,即对任何 , , 及 ,有:
    , , ;
    对于复数 只有在整数指数幂的范围内才能成立.由于我们尚未对复数的分数指数幂进行定义,因此假如把上述法则扩展到分数指数幂内运用,就会得到荒谬的结果。如 ,若由 ,就会得到 的错误结论,对此一定要重视。
    3.讲解复数的除法,可以按照教材规定它是乘法的逆运算,即求一个复数 ,使它满足 (这里 , 是已知的复数).列出上式后,由乘法法则及两个复数相等的条件得:
    ,
    由此
    ,
    于是
    得出商以后,还应当着重向学生指出:假如根据除法的定义,每次都按上述做来法逆运算的办法来求商,这将是很麻烦的.分析一下商的结构,从形式上可以得出两个复数相除的较为简捷的求商方法,就是先把它们的商写成分式的形式,然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数,再把结果化简即可.
    4.这道例题的目的之一是练习我们对于复数乘法运算、乘方运算及乘法公式的操作,要求我们做到熟练和准确。从这道例题的运算结果,我们应该看出, 也是1的一个立方根。因此,我们应该修正过去关于“1的立方根是1”的熟悉,想到1至少还有一个虚数根 。然后再回顾例2的解题过程,发现其中所有的号都可以改成“±”。这样就能找出1的另一个虚数根 。所以1在复数集c内至少有三个根:1, , 。以上对于一道例题或练习题的反思过程,看起来并不难,但对我们学习知识和提高能力却十分重要。它可以有效地锻炼我们的逆向思维,拓宽和加深我们的知识,使我们对一个问题的熟悉更加全面。