集合与简易逻辑
内容提要
一、集合概念及运算
一、集合的基本概念及运算
1.集合与元素：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集，通常用大写字母A、B、C…表示.集合中的每一对象叫做集合的一个元素，通常用小写字母a、b、c…表示
2.集合中元素的性质：确定性、互异性、无序性
二、集合与集合之间的关系
子集：如果x∈A，则x∈B，则集合A是集合B的子集
交集：
并集：
补集：设S是一集合，A是S的一子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集A在全集S中的补集(或余集)，记作CSA.
三、运算性质
1.交集的运算性质
A∩B＝B∩A,A∩A＝A,A∩Φ＝Φ,A B A∩B＝A
2.并集的运算性质
A∪B＝B∪A,A∪A＝A,A∪Φ＝A,A B A∪B＝B
3.补集的运算的性质
CS(CSA)=A，CSΦ=S，CS(A∩B)＝(CSA)∪(CSB)，CS(A∪B)＝(CSA)∩(CSB)
四、有限集合的子集个数公式
设有限集合A中有n个元素，则A的子集个数有：C0n+C1n+C2n+…+Cnn＝2n个，其中真子集的个数为2n-1个，非空子集个数为2n-1个，非空真子集个数为2n-2个
二、绝对值不等式及一元二次不等式的解法
1、绝对值不等式
①f(x)＜a (a>0)
②f(x)＜g(x)
③f(x)＞g(x)
2、二次不等式解法
三、简易逻辑、充要条件、反证法
1.命题的判断
可以判断真假的语句叫做命题；“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑连结词
判断复合命题的真假依据真值表
注：常见关键词的否定
2.四种命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题
在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题
在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题
3.充要条件
若A=>B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件
若A=>B且B=>A，则A是B的充要条件
4.反证法
①反设：假设命题的结论不成立
②归谬：从假设出发，推理，得出矛盾
③结论：判断假设不正确,肯定命题正确
基础训练
☆1.有n个元素的集合{a1 ,a2 … , an }有___个子集，真子集____个，非空真子集____个
☆2.设全集U=R，集合P={x x≥1}，集合Q={x0＜x＜5＝，则(CUP)∩Q=____
☆3.已知集合A={x x2- 5x+4≤0}，B={x x＜a＝，若A∩B= A ，则a范围______
☆4.不等式 1< 2x- 5≤ 9 解为___________;不等式 解集为_________
☆5.若B是A的充分不必要条件，则A是B的__________条件，┒B是┒A的_________条件
☆6. 若p： , q : 3x- 4 ＞ 2，则┒ p是┒q 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
☆7.方程 至少有一个负根，则( )
A、0 C、m<1 D、m≤1
☆8. 如图,I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A.（M∩P）∩SB.（M∩P）∪S
C.（M∩P）∩ ISD.（M∩P）∪ IS
☆9.“ ”是“x<1或x>4”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
☆10.设集合A= {5,log2(a+3)},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B= _________
☆11.设集合 ， ， 则集合 中元素的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
典例评析
2、已知集合A = {a,a＋b,a＋2b}，B = {a,ac,ac2}．若A = B，求c的值分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式
3、已知集合A={xx2－3x－10≤0}，集合B={xp＋1≤x≤2p－1}．若B A，求实数p的取值范围
注：空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
变式1、已知集合 ， ，
， ，且 ，求实数 的取值范围
变式2、已知集合 ，B={x-k
4、有下列四个命题：
①、命题“若 ，则 ， 互为倒数”的逆命题；
②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③、命题“若 ≤1，则 有实根”的逆否命题；
④、命题“若 ∩ = ，则 ”的逆否命题
其中是真命题的是
5、命题p：若a、b∈R，则a+b>1是a+b>1的充要条件；命题q：函数y= 的定义域是 .则（ ）
A．“p或q”为假 B．“p且q”为真 C．p真q假 D．p假q真
6、关于x的不等式 ax2 - 2ax + a2 - 2＞0，
（1）不等式的解集为R, 试求a的取值范围；
（2）若解集为Φ,试求a的取值范围
7、解下列关于x的不等式：① ②
变式：解不等式组
9、若p: ; q: x2-2x+1- m 2≤0(m >0),若┒ p是┒q的充分非必要条件,求m 范围
10、用反证法证明：若 、 、 ，且 ， ， ，则 、 、 中至少有一个不小于0
11、．设全集U=R（1）解关于x的不等式 （2）记A为（1）中不等式的解集，集合 ，若 恰有3个元素，求a的取值范围
内容提要
一、集合概念及运算
一、集合的基本概念及运算
1.集合与元素：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集，通常用大写字母A、B、C…表示.集合中的每一对象叫做集合的一个元素，通常用小写字母a、b、c…表示
2.集合中元素的性质：确定性、互异性、无序性
二、集合与集合之间的关系
子集：如果x∈A，则x∈B，则集合A是集合B的子集
交集：
并集：
补集：设S是一集合，A是S的一子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集A在全集S中的补集(或余集)，记作CSA.
三、运算性质
1.交集的运算性质
A∩B＝B∩A,A∩A＝A,A∩Φ＝Φ,A B A∩B＝A
2.并集的运算性质
A∪B＝B∪A,A∪A＝A,A∪Φ＝A,A B A∪B＝B
3.补集的运算的性质
CS(CSA)=A，CSΦ=S，CS(A∩B)＝(CSA)∪(CSB)，CS(A∪B)＝(CSA)∩(CSB)
四、有限集合的子集个数公式
设有限集合A中有n个元素，则A的子集个数有：C0n+C1n+C2n+…+Cnn＝2n个，其中真子集的个数为2n-1个，非空子集个数为2n-1个，非空真子集个数为2n-2个
二、绝对值不等式及一元二次不等式的解法
1、绝对值不等式
①f(x)＜a (a>0)
②f(x)＜g(x)
③f(x)＞g(x)
2、二次不等式解法
三、简易逻辑、充要条件、反证法
1.命题的判断
可以判断真假的语句叫做命题；“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑连结词
判断复合命题的真假依据真值表
注：常见关键词的否定
2.四种命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题
在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题
在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题
3.充要条件
若A=>B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件
若A=>B且B=>A，则A是B的充要条件
4.反证法
①反设：假设命题的结论不成立
②归谬：从假设出发，推理，得出矛盾
③结论：判断假设不正确,肯定命题正确
基础训练
☆1.有n个元素的集合{a1 ,a2 … , an }有___个子集，真子集____个，非空真子集____个
☆2.设全集U=R，集合P={x x≥1}，集合Q={x0＜x＜5＝，则(CUP)∩Q=____
☆3.已知集合A={x x2- 5x+4≤0}，B={x x＜a＝，若A∩B= A ，则a范围______
☆4.不等式 1< 2x- 5≤ 9 解为___________;不等式 解集为_________
☆5.若B是A的充分不必要条件，则A是B的__________条件，┒B是┒A的_________条件
☆6. 若p： , q : 3x- 4 ＞ 2，则┒ p是┒q 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
☆7.方程 至少有一个负根，则( )
A、0
☆8. 如图,I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A.（M∩P）∩SB.（M∩P）∪S
C.（M∩P）∩ ISD.（M∩P）∪ IS
☆9.“ ”是“x<1或x>4”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
☆10.设集合A= {5,log2(a+3)},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B= _________
☆11.设集合 ， ， 则集合 中元素的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
典例评析
2、已知集合A = {a,a＋b,a＋2b}，B = {a,ac,ac2}．若A = B，求c的值分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式
3、已知集合A={xx2－3x－10≤0}，集合B={xp＋1≤x≤2p－1}．若B A，求实数p的取值范围
注：空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
变式1、已知集合 ， ，
， ，且 ，求实数 的取值范围
变式2、已知集合 ，B={x-k
4、有下列四个命题：
①、命题“若 ，则 ， 互为倒数”的逆命题；
②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③、命题“若 ≤1，则 有实根”的逆否命题；
④、命题“若 ∩ = ，则 ”的逆否命题
其中是真命题的是
5、命题p：若a、b∈R，则a+b>1是a+b>1的充要条件；命题q：函数y= 的定义域是 .则（ ）
A．“p或q”为假 B．“p且q”为真 C．p真q假 D．p假q真
6、关于x的不等式 ax2 - 2ax + a2 - 2＞0，
（1）不等式的解集为R, 试求a的取值范围；
（2）若解集为Φ,试求a的取值范围
7、解下列关于x的不等式：① ②
变式：解不等式组
9、若p: ; q: x2-2x+1- m 2≤0(m >0),若┒ p是┒q的充分非必要条件,求m 范围
10、用反证法证明：若 、 、 ，且 ， ， ，则 、 、 中至少有一个不小于0
11、．设全集U=R（1）解关于x的不等式 （2）记A为（1）中不等式的解集，集合 ，若 恰有3个元素，求a的取值范围
