高中数学复习讲义 第四章 平面向量与复数
【知识图解】
Ⅰ.平面向量知识结构表
Ⅱ.复数的知识结构表
【方法点拨】
由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。
复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。
1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用.
2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.
3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决.
4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.
第1课 向量的概念及基本运算
【考点导读】
1.理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.
2.掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.
3.了解平面向量基本定理及其意义.
【基础练习】
1.出下列命题：①若 ，则 ；②若A、B、C、D是不共线的四点，则 是四边形为平行四边形的充要条件；③若 ，则 ；④ 的充要条件是 且 ；⑤若 ， ，则 。其中，正确命题材的序号是②③
2. 化简 得
3.在四边形ABCD中， =a+2b， =－4a－b， =－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为梯形
4.如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，
若 ＝a， ＝b，则 ＝ ，
＝ (用a、b表示)
【范例导析】
例1 .已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，
求证： .
分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明.
证明：如图，连接EB和EC ，
由 和 可得， （1）
由 和 可得， （2）
（1）+（2）得， （3）
∵E、F分别为AD和BC的中点，∴ ， ，
代入（3）式得，
点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.
例2.已知 不共线， ,求证：A,P,B三点共线的充要条件是
分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.
解：先证必要性：若A,P,B三点共线，则存在实数 ，使得 ,即 ,∴ ∵ ,∴ ，∴
再证充分性：若 则 = = ,∴
与 共线，∴A,P,B三点共线.
点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题.
【反馈练习】
1．已知向量a和b反向，则下列等式成立的是（C）
A. a－b=a－b B. a－b=a+b C.a＋b=a－b D. a＋b=a+b
2.设四边形ABCD中，有 则这个四边形是（C）
A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
3.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：
① ， ② ， ③ 。
解析：①原式= ；
②原式= ；
③原式= 。
4.设 为未知向量， 、 为已知向量， 满足方程2 -(5 +3 -4 )+ -3 =0，
则 = （用 、 表示）
5.在四面体O-ABC中， 为BC的中点，E为AD的中点，则 = （用a，b，c表示）
6如图平行四边形OADB的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN,设
解：
.
第2课 向量的数量积
【考点导读】
1.理解平面向量数量积的含义及几何意义.
2.掌握平面向量数量积的性质及运算律.
3.掌握平面向量数量积的坐标表达式.
4.能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题.
【基础练习】
1.已知 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么
2.在直角坐标系 中， 分别是与 轴， 轴平行的单位向量，若直角三角形 中， ， ，则 的可能值个数为2个
3. 若 , ， 与 的夹角为 ，若 ，则 的值为
4.若 ，且 ，则向量 与 的夹角为 120°
【范例导析】
例1.已知两单位向量 与 的夹角为 ，若 ，试求 与 的夹角的余弦值。
分析:利用 及 求解.
解：由题意， ，且 与 的夹角为 ，所以， ， ，同理可得 而 ，设 为 与 的夹角，则
点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。
例2.已知平面上三个向量 、 、 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，
（1）求证： ⊥ ；（2）若 ，求 的取值范围.
分析:问题（1）通过证明 证明 ,问题（2）可以利用
解：（1）∵ ，且 、 、 之间的夹角均为120°，
∴
∴
（2）∵ ，即
也就是
∵ ，∴
所以 或 ．
解:对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解决.
例3.如图，在直角△ABC中，已知 ，若长为 的线段 以点 为中点，问 的夹角 取
何值时 的值最大？并求出这个最大值
分析:本题涉及向量较多,可通过向量的加减法则得
,再结合直角三
角形和各线段长度特征法解决问题
解：
点拨:运用向量的方法解决几何问题,充分体现了向量的工具性,对于大量几何问题,不仅可以用向量语言加以叙述,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解,从而把抽象的问题转化为具体的向量运算.
【反馈练习】
1.已知向量 满足 则 与 的夹角为
2.如图，在四边形ABCD中，
，则 的值为4
3.若向量 满足 , 的夹角为60°，则 =
4.若向量 ,则
5.已知 a=4,b=5,a+b= ,求：① a?b ；②(2a－b) ?(a+3b)
解：（1）a+b2=（a+b）2=a2+2ab+b2=a2+2a?b+b2，∴
（2）（2a－b）?（a+3b）=2a2+5a?b－3b2=2a2+5a?b－3b2=2×42+5×（－10）－3×52=－93.
6.已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.
解：∵且a+3b与7a-5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，
∴（a+3b）?（7a-5b）=0，（a－4b）?（7a－2b）=0 ∴7a2＋16 a?b－15 b2=0，7a2－30 a?b＋8 b2=0，
∴b2=2 a?b，a=b ∴ ∴
第3课 向量的坐标运算
【考点导读】
1.掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
2.会用坐标表示平面向量的加减及数乘、数量积运算.
3.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示,并利用它解决向量平行的有关问题.
【基础练习】
1 若 = ， = ，则 =
2 平面向量 中，若 ， =1，且 ，则向量 =
3.已知向量 ，且A、B、C三点共线，则k=
4.已知平面向量 ， ，且 ，则 1
【范例导析】
例1.平面内给定三个向量 ，回答下列问题：
（1）求满足 的实数m,n；
（2）若 ，求实数k；
（3）若 满足 ，且 ，求
分析:本题主要考察向量及向量模的坐标表示和向量共线的充要条件.
解：（1）由题意得
所以 ，得
（2）
（3）设 ，则
由题意得
得 或 ∴
点拨:根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。
例2.已知△ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求 及点D的坐标、
分析:注意向量坐标法的应用,及平行、垂直的充要条件.
解：设点D的坐标为(x,y)
∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC，∴ ⊥
又∵C、B、D三点共线，
∴ ∥
又 =(x－2,y－1), =(－6,－3)
=(x－3,y－2)
∴
解方程组，得x= ,y=
∴点D的坐标为( ， )， 的坐标为(－ ， )
点拨:在解题中要注意综合运用向量的各种运算解决问题.
例3．已知向量 且
求（1） 及 ；（2）若 的最小值是 ，求 的值。
分析:利用向量的坐标运算转化为函数的最值问题求解.
解：（1）
，
。
（2）
（1）当 时，
（2）当 时，
（3）当 时，
综上所述： 。
点拨:注意运用不同章节知识综合处理问题,对于求二次函数得分最值问题,注意分类讨论.
【反馈练习】
1．已知向量 ， ，则 与 （A）
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
2.与向量a= b= 的夹解相等，且模为1的向量是
3.已知向量 且 则向量 等于
4.已知向量 120°
5.若 ，试判断则△ABC的形状____直角三角形_____
6.已知向量 ，向量 ，则 的最大值是 4
7.若 是非零向量且满足 ， ，则 与 的夹角是
8.已知： 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）
（1）若 ，且 ，求 的坐标；
（2）若 = 且 与 垂直，求 与 的夹角 .
解：（1）设 ，由 和 可得：
∴ 或
∴ ，或
（2） 即
∴ ， 所以
∴ ∵
∴ .
9.已知点 是 且 试用 .
解：以O为原点，OC，OB所在的直线为 轴和 轴建立如图3所示的坐标系.
由OA=2， ，所以 ，
易求 ，设
第4课 向量综合应用
【考点导读】
1.能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法解决向量知识内部综合问题和与函数、不等式、三角函数、数列等知识的综合问题.
2.能从实际问题中提炼概括数学模型,了解向量知识的实际应用.
【基础练习】
1.已知a＝（5，4），b＝（3，2），则与2a－3b平行的单位向量为
2.已知 ＝1， ＝1，a与b的夹角为60°，x＝2a－b,y＝3b－a，则x与y的夹角的余弦值为
【范例导析】
例1.已知平面向量a＝( ，－1)，b＝( , ).
(1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f（t）；
(2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间。
分析:利用向量知识转化为函数问题求解.
解:（1）法一：由题意知x＝( , ), y＝( t－ k， t＋k)，又x⊥y
故x ? y＝ ×（ t－ k）＋ ×( t＋k)＝0。
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝ t3－ t.
法二：∵a＝( ，－1)，b＝( , ), ∴. ＝2， ＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴x ? y＝0，即－k 2＋t(t2－3) 2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝ t3－ t
(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝ t3－ t ∴k＝f(t) ＝ t2－ ,
令k＜0得－1＜t＜1；令k＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
点拨:第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用。
例2.已知两个力（单位：牛） 与 的夹角为 ，其中 ，某质点在这两个力的共同作用下，由点 移动到点 （单位：米）
（1）求 ；
（2）求 与 的合力对质点所做的功
分析:理解向量及向量数量积的物理意义,将物理中的求力和功的问题转化为向量问题解决.
点拨:学习向量要了解向量的实际背景,并能用向量的知识解决方一些简单的实际问题.
【反馈练习】
1.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(－1, 3)， 若点C满足 ，其中 ， ∈R且 + =1，则点C的轨迹方程为x＋2y－5=0
2.已知a,b是非零向量且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是
3. 已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,且 + = - ,其中O为原点,则实数a的值为2或-2
4.已知向量a=( )，向量b=( )，则2a－b的最大值是 4
5．如图， ，
（1）若 ∥ ，求x与y间的关系；
（2）在（1）的条件下，若有 ，求x,y的值及四边形ABCD的面积.
解（1） 又 ∥
①
（2）由 ⊥ ，得（x－2）(6＋x)＋(y－3)?(y＋1)＝0,②
即x2＋y2＋4x－2y－15＝0 由①，②得 或
第5课 复数的概念和运算
【考点导读】
1.了解数系的扩充的基本思想,了解引入复数的必要性.
2.理解复数的有关概念,掌握复数的代数表示和几何意义.
【基础练习】
1.设 、 、 、 ，若 为实数，则
2.复数 的共轭复数是
3.在复平面内，复数 ＋(1＋ i)2对应的点位于第二象限
4.若复数 满足方程 ，则
【范例导析】
例 .m取何实数时，复数 （1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？
分析：本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数．由于所给复数z已写成标准形式，即 ，所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题．
解：（1）当 即 ∴ 时，z是实数．
（2）当 即 ∴当 且 时，z是虚数．
（3）当 即 ∴当 或 时，z是纯虚数．
点拨：研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，学生易忽略这一点．如本题易忽略分母不能为0的条件，丢掉 ，导致解答出错．
【反馈练习】
1.如果复数 是实数，则实数
2.已知复数z满足（ ＋3i）z＝3i，则z＝
3.若复数Z= ，则Z +Z +1+i的值为0
4.设 、 为实数，且 ，则 + =4.
【知识图解】
Ⅰ.平面向量知识结构表
Ⅱ.复数的知识结构表
【方法点拨】
由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。
复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。
1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用.
2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.
3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决.
4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.
第1课 向量的概念及基本运算
【考点导读】
1.理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.
2.掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.
3.了解平面向量基本定理及其意义.
【基础练习】
1.出下列命题：①若 ，则 ；②若A、B、C、D是不共线的四点，则 是四边形为平行四边形的充要条件；③若 ，则 ；④ 的充要条件是 且 ；⑤若 ， ，则 。其中，正确命题材的序号是②③
2. 化简 得
3.在四边形ABCD中， =a+2b， =－4a－b， =－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为梯形
4.如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，
若 ＝a， ＝b，则 ＝ ，
＝ (用a、b表示)
【范例导析】
例1 .已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，
求证： .
分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明.
证明：如图，连接EB和EC ，
由 和 可得， （1）
由 和 可得， （2）
（1）+（2）得， （3）
∵E、F分别为AD和BC的中点，∴ ， ，
代入（3）式得，
点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.
例2.已知 不共线， ,求证：A,P,B三点共线的充要条件是
分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.
解：先证必要性：若A,P,B三点共线，则存在实数 ，使得 ,即 ,∴ ∵ ,∴ ，∴
再证充分性：若 则 = = ,∴
与 共线，∴A,P,B三点共线.
点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题.
【反馈练习】
1．已知向量a和b反向，则下列等式成立的是（C）
A. a－b=a－b B. a－b=a+b C.a＋b=a－b D. a＋b=a+b
2.设四边形ABCD中，有 则这个四边形是（C）
A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
3.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：
① ， ② ， ③ 。
解析：①原式= ；
②原式= ；
③原式= 。
4.设 为未知向量， 、 为已知向量， 满足方程2 -(5 +3 -4 )+ -3 =0，
则 = （用 、 表示）
5.在四面体O-ABC中， 为BC的中点，E为AD的中点，则 = （用a，b，c表示）
6如图平行四边形OADB的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN,设
解：
.
第2课 向量的数量积
【考点导读】
1.理解平面向量数量积的含义及几何意义.
2.掌握平面向量数量积的性质及运算律.
3.掌握平面向量数量积的坐标表达式.
4.能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题.
【基础练习】
1.已知 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么
2.在直角坐标系 中， 分别是与 轴， 轴平行的单位向量，若直角三角形 中， ， ，则 的可能值个数为2个
3. 若 , ， 与 的夹角为 ，若 ，则 的值为
4.若 ，且 ，则向量 与 的夹角为 120°
【范例导析】
例1.已知两单位向量 与 的夹角为 ，若 ，试求 与 的夹角的余弦值。
分析:利用 及 求解.
解：由题意， ，且 与 的夹角为 ，所以， ， ，同理可得 而 ，设 为 与 的夹角，则
点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。
例2.已知平面上三个向量 、 、 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，
（1）求证： ⊥ ；（2）若 ，求 的取值范围.
分析:问题（1）通过证明 证明 ,问题（2）可以利用
解：（1）∵ ，且 、 、 之间的夹角均为120°，
∴
∴
（2）∵ ，即
也就是
∵ ，∴
所以 或 ．
解:对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解决.
例3.如图，在直角△ABC中，已知 ，若长为 的线段 以点 为中点，问 的夹角 取
何值时 的值最大？并求出这个最大值
分析:本题涉及向量较多,可通过向量的加减法则得
,再结合直角三
角形和各线段长度特征法解决问题
解：
点拨:运用向量的方法解决几何问题,充分体现了向量的工具性,对于大量几何问题,不仅可以用向量语言加以叙述,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解,从而把抽象的问题转化为具体的向量运算.
【反馈练习】
1.已知向量 满足 则 与 的夹角为
2.如图，在四边形ABCD中，
，则 的值为4
3.若向量 满足 , 的夹角为60°，则 =
4.若向量 ,则
5.已知 a=4,b=5,a+b= ,求：① a?b ；②(2a－b) ?(a+3b)
解：（1）a+b2=（a+b）2=a2+2ab+b2=a2+2a?b+b2，∴
（2）（2a－b）?（a+3b）=2a2+5a?b－3b2=2a2+5a?b－3b2=2×42+5×（－10）－3×52=－93.
6.已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.
解：∵且a+3b与7a-5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，
∴（a+3b）?（7a-5b）=0，（a－4b）?（7a－2b）=0 ∴7a2＋16 a?b－15 b2=0，7a2－30 a?b＋8 b2=0，
∴b2=2 a?b，a=b ∴ ∴
第3课 向量的坐标运算
【考点导读】
1.掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
2.会用坐标表示平面向量的加减及数乘、数量积运算.
3.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示,并利用它解决向量平行的有关问题.
【基础练习】
1 若 = ， = ，则 =
2 平面向量 中，若 ， =1，且 ，则向量 =
3.已知向量 ，且A、B、C三点共线，则k=
4.已知平面向量 ， ，且 ，则 1
【范例导析】
例1.平面内给定三个向量 ，回答下列问题：
（1）求满足 的实数m,n；
（2）若 ，求实数k；
（3）若 满足 ，且 ，求
分析:本题主要考察向量及向量模的坐标表示和向量共线的充要条件.
解：（1）由题意得
所以 ，得
（2）
（3）设 ，则
由题意得
得 或 ∴
点拨:根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。
例2.已知△ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求 及点D的坐标、
分析:注意向量坐标法的应用,及平行、垂直的充要条件.
解：设点D的坐标为(x,y)
∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC，∴ ⊥
又∵C、B、D三点共线，
∴ ∥
又 =(x－2,y－1), =(－6,－3)
=(x－3,y－2)
∴
解方程组，得x= ,y=
∴点D的坐标为( ， )， 的坐标为(－ ， )
点拨:在解题中要注意综合运用向量的各种运算解决问题.
例3．已知向量 且
求（1） 及 ；（2）若 的最小值是 ，求 的值。
分析:利用向量的坐标运算转化为函数的最值问题求解.
解：（1）
，
。
（2）
（1）当 时，
（2）当 时，
（3）当 时，
综上所述： 。
点拨:注意运用不同章节知识综合处理问题,对于求二次函数得分最值问题,注意分类讨论.
【反馈练习】
1．已知向量 ， ，则 与 （A）
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
2.与向量a= b= 的夹解相等，且模为1的向量是
3.已知向量 且 则向量 等于
4.已知向量 120°
5.若 ，试判断则△ABC的形状____直角三角形_____
6.已知向量 ，向量 ，则 的最大值是 4
7.若 是非零向量且满足 ， ，则 与 的夹角是
8.已知： 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）
（1）若 ，且 ，求 的坐标；
（2）若 = 且 与 垂直，求 与 的夹角 .
解：（1）设 ，由 和 可得：
∴ 或
∴ ，或
（2） 即
∴ ， 所以
∴ ∵
∴ .
9.已知点 是 且 试用 .
解：以O为原点，OC，OB所在的直线为 轴和 轴建立如图3所示的坐标系.
由OA=2， ，所以 ，
易求 ，设
第4课 向量综合应用
【考点导读】
1.能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法解决向量知识内部综合问题和与函数、不等式、三角函数、数列等知识的综合问题.
2.能从实际问题中提炼概括数学模型,了解向量知识的实际应用.
【基础练习】
1.已知a＝（5，4），b＝（3，2），则与2a－3b平行的单位向量为
2.已知 ＝1， ＝1，a与b的夹角为60°，x＝2a－b,y＝3b－a，则x与y的夹角的余弦值为
【范例导析】
例1.已知平面向量a＝( ，－1)，b＝( , ).
(1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f（t）；
(2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间。
分析:利用向量知识转化为函数问题求解.
解:（1）法一：由题意知x＝( , ), y＝( t－ k， t＋k)，又x⊥y
故x ? y＝ ×（ t－ k）＋ ×( t＋k)＝0。
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝ t3－ t.
法二：∵a＝( ，－1)，b＝( , ), ∴. ＝2， ＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴x ? y＝0，即－k 2＋t(t2－3) 2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝ t3－ t
(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝ t3－ t ∴k＝f(t) ＝ t2－ ,
令k＜0得－1＜t＜1；令k＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
点拨:第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用。
例2.已知两个力（单位：牛） 与 的夹角为 ，其中 ，某质点在这两个力的共同作用下，由点 移动到点 （单位：米）
（1）求 ；
（2）求 与 的合力对质点所做的功
分析:理解向量及向量数量积的物理意义,将物理中的求力和功的问题转化为向量问题解决.
点拨:学习向量要了解向量的实际背景,并能用向量的知识解决方一些简单的实际问题.
【反馈练习】
1.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(－1, 3)， 若点C满足 ，其中 ， ∈R且 + =1，则点C的轨迹方程为x＋2y－5=0
2.已知a,b是非零向量且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是
3. 已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,且 + = - ,其中O为原点,则实数a的值为2或-2
4.已知向量a=( )，向量b=( )，则2a－b的最大值是 4
5．如图， ，
（1）若 ∥ ，求x与y间的关系；
（2）在（1）的条件下，若有 ，求x,y的值及四边形ABCD的面积.
解（1） 又 ∥
①
（2）由 ⊥ ，得（x－2）(6＋x)＋(y－3)?(y＋1)＝0,②
即x2＋y2＋4x－2y－15＝0 由①，②得 或
第5课 复数的概念和运算
【考点导读】
1.了解数系的扩充的基本思想,了解引入复数的必要性.
2.理解复数的有关概念,掌握复数的代数表示和几何意义.
【基础练习】
1.设 、 、 、 ，若 为实数，则
2.复数 的共轭复数是
3.在复平面内，复数 ＋(1＋ i)2对应的点位于第二象限
4.若复数 满足方程 ，则
【范例导析】
例 .m取何实数时，复数 （1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？
分析：本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数．由于所给复数z已写成标准形式，即 ，所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题．
解：（1）当 即 ∴ 时，z是实数．
（2）当 即 ∴当 且 时，z是虚数．
（3）当 即 ∴当 或 时，z是纯虚数．
点拨：研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，学生易忽略这一点．如本题易忽略分母不能为0的条件，丢掉 ，导致解答出错．
【反馈练习】
1.如果复数 是实数，则实数
2.已知复数z满足（ ＋3i）z＝3i，则z＝
3.若复数Z= ，则Z +Z +1+i的值为0
4.设 、 为实数，且 ，则 + =4.
