4.应用举例
一、知识归纳
1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路
（1）分析，（2）建模，（3）求解，（4）检验；
2、实际问题中的有关术语、名称：
（1）仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角；
（2）方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角；
（3）方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等；
3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：
测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等；
二、例题讨论
一）利用方向角构造三角形
例1、在海岸A处，发现北偏东450方向，距离A处 的B处有一艘走私船，在A处北偏西750的方向，距离A处2n mile 的C处的缉私船奉命以 n mile /h的速度追截走私船，此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东300方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
解：先根据题意画出图，设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD= ，BD=10t，在三角形ABC中， ，由余弦定理得 ，从而计算 ， ，即B在C正东，因为 ，在三角形BCD中，由正弦定理得：
，即缉私船应沿北偏东600方向能最快追上走私船。
二）测量距离问题
例2、某观测站C在城A的南偏西200的方向，由城出发的一条公路，走向是南偏东400，在C处测得公路上B处有一人距C为31公理，正沿公路向A城走去，走了20公里后到达D处，此时CD间的距离为21公里，问此人还要走多少公里才能到达A城？
解：在三角形CBD中由余弦定理解得： ，所以 ，设AD=x，在三角形ABC中，由正弦定理得： ，所以此人还要走15公里才能到达A城；
三）测量高度问题
例3、地平面有一旗杆OP，为测量它的高度h，在地平面上取一基线AB=200m，在A处测得P点的仰角为 ，在B处测得P点的仰角为 ，又测得 ，求旗杆的高h（精确到0.1m）
解：先在三角形AOP中，求得AO=OPcot300= ，同理在三角形BOP中，求得OB=h，在三角形AOB中，由余弦定理得： ，解得： ，即旗杆的高约为132.8m；
四）测量角度问题
例4、在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东 且与点A相距40 海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东 + (其中sin = ， )且与点A相距10 海里的位置C.
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.
解 ：（I）如图，AB=40 ，AC=10 ，
由于0< < ,所以cos =
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为 （海里/小时）.
（II）如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是
B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1= AB=40,
x2=ACcos ,y2=ACsin .
所以过点B、C的直线l的斜率k= ,直线l的方程为y=2x-40.
又点E（0，-55）到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.
一、知识归纳
1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路
（1）分析，（2）建模，（3）求解，（4）检验；
2、实际问题中的有关术语、名称：
（1）仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角；
（2）方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角；
（3）方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等；
3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：
测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等；
二、例题讨论
一）利用方向角构造三角形
例1、在海岸A处，发现北偏东450方向，距离A处 的B处有一艘走私船，在A处北偏西750的方向，距离A处2n mile 的C处的缉私船奉命以 n mile /h的速度追截走私船，此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东300方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
解：先根据题意画出图，设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD= ，BD=10t，在三角形ABC中， ，由余弦定理得 ，从而计算 ， ，即B在C正东，因为 ，在三角形BCD中，由正弦定理得：
，即缉私船应沿北偏东600方向能最快追上走私船。
二）测量距离问题
例2、某观测站C在城A的南偏西200的方向，由城出发的一条公路，走向是南偏东400，在C处测得公路上B处有一人距C为31公理，正沿公路向A城走去，走了20公里后到达D处，此时CD间的距离为21公里，问此人还要走多少公里才能到达A城？
解：在三角形CBD中由余弦定理解得： ，所以 ，设AD=x，在三角形ABC中，由正弦定理得： ，所以此人还要走15公里才能到达A城；
三）测量高度问题
例3、地平面有一旗杆OP，为测量它的高度h，在地平面上取一基线AB=200m，在A处测得P点的仰角为 ，在B处测得P点的仰角为 ，又测得 ，求旗杆的高h（精确到0.1m）
解：先在三角形AOP中，求得AO=OPcot300= ，同理在三角形BOP中，求得OB=h，在三角形AOB中，由余弦定理得： ，解得： ，即旗杆的高约为132.8m；
四）测量角度问题
例4、在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东 且与点A相距40 海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东 + (其中sin = ， )且与点A相距10 海里的位置C.
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.
解 ：（I）如图，AB=40 ，AC=10 ，
由于0< < ,所以cos =
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为 （海里/小时）.
（II）如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是
B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1= AB=40,
x2=ACcos ,y2=ACsin .
所以过点B、C的直线l的斜率k= ,直线l的方程为y=2x-40.
又点E（0，-55）到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.
