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2012届高考数学应用举例知识归纳复习教案

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4.应用举例
一、知识归纳
1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路
(1)分析,(2)建模,(3)求解,(4)检验;
2、实际问题中的有关术语、名称:
(1)仰角与俯角:均是指视线与水平线所成的角;
(2)方位角:是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角;
(3)方向角:常见的如:正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等;
3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有:
测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等;

二、例题讨论

一)利用方向角构造三角形
例1、在海岸A处,发现北偏东450方向,距离A处 的B处有一艘走私船,在A处北偏西750的方向,距离A处2n mile 的C处的缉私船奉命以 n mile /h的速度追截走私船,此时,走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东300方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?
解:先根据题意画出图,设缉私船用th在D处追上走私船,则有CD= ,BD=10t,在三角形ABC中, ,由余弦定理得 ,从而计算 , ,即B在C正东,因为 ,在三角形BCD中,由正弦定理得:
,即缉私船应沿北偏东600方向能最快追上走私船。

二)测量距离问题
例2、某观测站C在城A的南偏西200的方向,由城出发的一条公路,走向是南偏东400,在C处测得公路上B处有一人距C为31公理,正沿公路向A城走去,走了20公里后到达D处,此时CD间的距离为21公里,问此人还要走多少公里才能到达A城?
解:在三角形CBD中由余弦定理解得: ,所以 ,设AD=x,在三角形ABC中,由正弦定理得: ,所以此人还要走15公里才能到达A城;

三)测量高度问题
例3、地平面有一旗杆OP,为测量它的高度h,在地平面上取一基线AB=200m,在A处测得P点的仰角为 ,在B处测得P点的仰角为 ,又测得 ,求旗杆的高h(精确到0.1m)
解:先在三角形AOP中,求得AO=OPcot300= ,同理在三角形BOP中,求得OB=h,在三角形AOB中,由余弦定理得: ,解得: ,即旗杆的高约为132.8m;




四)测量角度问题
例4、在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东 且与点A相距40 海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东 + (其中sin = , )且与点A相距10 海里的位置C.
(I)求该船的行驶速度(单位:海里/时);
(II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.
解 :(I)如图,AB=40 ,AC=10 ,
由于0< < ,所以cos =
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为 (海里/小时).
(II)如图所示,以A为原点建立平面直角坐标系,设点B、C的坐标分别是
B(x1,y2), C(x1,y2),BC与x轴的交点为D.由题设有,x1=y1= AB=40,
x2=ACcos ,y2=ACsin .
所以过点B、C的直线l的斜率k= ,直线l的方程为y=2x-40.
又点E(0,-55)到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.
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