简单的三角恒等变换

3．2 简单的三角恒等变换

【教学目标】
会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、
和差化积公式（公式不要求记忆），使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。
【教学重点、难点】
教学重点：引导学生以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，三角变换的特点，提高推理、运算能力。
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。
【教学过程】
复习引入：复习倍角公式 、 、
先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意 。既然能用单角
表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？
半角公式的推导及理解 ：
例1、试以 表示 ．
解析：我们可以通过二倍角 和 做此题．（二倍角公式中以代2， 代）
解：因为 ，可以得到 ；
因为 ，可以得到 ．
两式相除可以得到 ．
点评：⑴以上结果还可以表示为：

并称之为半角公式（不要求记忆），符号由 角的象限决定。
⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。
⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。
变式训练1：求证
积化和差、和差化积公式的推导（公式不要求记忆）：
例2：求证：
（１） ；
（２） ．
解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系。
证明：（１）因为 和 是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
； ．
两式相加得 ；
即 ；
（２）由（１）得 ①；设 ，
那么 ．
把 的值代入①式中得 ．
点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．
变式训练2：本p142 2（2）、3（3）
例３、求函数 的周期，最大值和最小值．
解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值。
解： ，
所以，所求的周期 ，最大值为２，最小值为 ．
点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数 的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．
变式训练3：本p142 4、（1）（2）（3）
探究：求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最小值．
小结：我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．
作业布置：本p143 习题3.2 A组1、（1）（5） 3 、5