课时3 向量的减法
【学习目标】
1．掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。
2．能正确作出两个向量的差向量，并且能掌握差向量的起点和终点的规律。
3．知道向量的减法运算可以转化为加法，是加法的逆运算。
4．通过本节学习，渗透化归思想和数形结合的思想，继续培养识图和作图的能力及用图形解题的能力。
【知识梳理】
1．向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。
即：a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b
【例题选讲】
例1．化简：
例2．如图，O是平行四边形ABCD的对角线的交点，若 ，试证： + - =
例3．如图，ABCD是一个梯形，AB//CD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知 ， ，试用 ， 表示 和
【归纳反思】
1．向量和它的相反向量的和为零向量。
2．向量的减法是加法的逆运算。
3．减去一个向量，等于加上它的相反向量。
4．重要不等式：
【课内练习】
1．下面有四个等式：①-（- ）= ；② - = ；③ +（- ）= - ；④ - = ，其中正确的等式为
2．在平行四边形ABCD中， ， ， ， ，则下列等式不成立的是
A B C D
3．若 ， 为非零向量，则在下列命题中真命题为
① = ， ， 同向共线； ② = ， ， 反向共线
③ = ， ， 有相等的模； ④ ， 同向共线
4．已知 =10， =8，则 的取值范围为
5．在矩形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，且 , , ,
证明：
【巩固提高】
1．下列四式中不能化为 的是
A B
C D
2．如图，在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则 等于
A B
C D
3．在平行四边形ABCD中，设 ，记 ， ，则 为
A B C D
4．正六边形ABCDEF，若 ， ，则 为
A B C D
5．在平面上有三点A、B、C，设 ， ，若 的长度相等，则有
A A、B、C三点在一条直线上 B 必为等腰三角形且B为顶角
C 必为直角三角形且B为直角 D 必为等腰直角三角形
6．在四边形ABCD中， ， ，则四边形ABCD为 形
7．已知向量 的终点与向量 的起点重合，向量 的起点与向量 的终点重合，则下列结论正确的为
①以 的起点为终点， 的起点为起点的向量为 -（ + ）
②以 的起点为终点， 的终点为起点的向量为- - -
③以 的起点为终点， 的终点为起点的向量为- -
8.在 中，若 ，则边AB与边AD所夹的角=
9．已知两个合力 的夹角是直角，且知它们的合力 与 的夹角为 ， =10N，求 的大小。
10．如图，P、Q是 ABC的边BC上的两点，且BP=QC，
求证：
11．若 ， 是给定的不共线向量，试求满足下列条件的向量 ， 使
2 - =
并作图用 ， 表示 ，
+2 =
【学习目标】
1．掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。
2．能正确作出两个向量的差向量，并且能掌握差向量的起点和终点的规律。
3．知道向量的减法运算可以转化为加法，是加法的逆运算。
4．通过本节学习，渗透化归思想和数形结合的思想，继续培养识图和作图的能力及用图形解题的能力。
【知识梳理】
1．向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。
即：a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b
【例题选讲】
例1．化简：
例2．如图，O是平行四边形ABCD的对角线的交点，若 ，试证： + - =
例3．如图，ABCD是一个梯形，AB//CD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知 ， ，试用 ， 表示 和
【归纳反思】
1．向量和它的相反向量的和为零向量。
2．向量的减法是加法的逆运算。
3．减去一个向量，等于加上它的相反向量。
4．重要不等式：
【课内练习】
1．下面有四个等式：①-（- ）= ；② - = ；③ +（- ）= - ；④ - = ，其中正确的等式为
2．在平行四边形ABCD中， ， ， ， ，则下列等式不成立的是
A B C D
3．若 ， 为非零向量，则在下列命题中真命题为
① = ， ， 同向共线； ② = ， ， 反向共线
③ = ， ， 有相等的模； ④ ， 同向共线
4．已知 =10， =8，则 的取值范围为
5．在矩形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，且 , , ,
证明：
【巩固提高】
1．下列四式中不能化为 的是
A B
C D
2．如图，在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则 等于
A B
C D
3．在平行四边形ABCD中，设 ，记 ， ，则 为
A B C D
4．正六边形ABCDEF，若 ， ，则 为
A B C D
5．在平面上有三点A、B、C，设 ， ，若 的长度相等，则有
A A、B、C三点在一条直线上 B 必为等腰三角形且B为顶角
C 必为直角三角形且B为直角 D 必为等腰直角三角形
6．在四边形ABCD中， ， ，则四边形ABCD为 形
7．已知向量 的终点与向量 的起点重合，向量 的起点与向量 的终点重合，则下列结论正确的为
①以 的起点为终点， 的起点为起点的向量为 -（ + ）
②以 的起点为终点， 的终点为起点的向量为- - -
③以 的起点为终点， 的终点为起点的向量为- -
8.在 中，若 ，则边AB与边AD所夹的角=
9．已知两个合力 的夹角是直角，且知它们的合力 与 的夹角为 ， =10N，求 的大小。
10．如图，P、Q是 ABC的边BC上的两点，且BP=QC，
求证：
11．若 ， 是给定的不共线向量，试求满足下列条件的向量 ， 使
2 - =
并作图用 ， 表示 ，
+2 =
