1．正弦定理
(1)形式一： =2R；
形式二： ； ； ；（角到边的转换）
形式三： ， ， ；（边到角的转换）
形式四： ；（求三角形的面积）
(2)解决以下两类问题： 1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）
2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。
(3)若给出 那么解的个数为：若 ，则无解；若 ，则一解；
若 ，则两解；
2．余弦定理：txjy
（1）形式一： ， ，
形式二： ， ， ，（角到边的转换）
(2)解决以下两类问题： 1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
【精典范例】
【例1】根据下列条件判断三角形ABC的形状：
(1)若a2tanB=b2tanA；
(2)b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC;
解(1)由已知及正弦定理
(2RsinA)2 = (2RsinB)2 2sinAcosA=2sinBcosB sin2A=sin2B
2cos(A + B)sin(A ? B)=0
∴ A + B=90o 或 A ? B=0所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
(2)由正弦定理得
sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC ∵ sinBsinC≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC,
即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o, A=90o,故△ABC是直角三角形.
【例2】3．△ABC中已知∠A=30°cosB=2sinB－
①求证：△ABC是等腰三角形
②设D是△ABC外接圆直径BE与AC的交点,且AB=2 求： 的值
【例3】在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为 、b、c，且 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，求bc的最大值.
【解】(Ⅰ) =
= = =
(Ⅱ) ∵ ∴ ,
又∵ ∴ 且仅当 b=c= 时,bc= ,故bc的最大值是 .
【追踪训练】
1、在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,则c等于 （ ）
A． B． C． D．
2、在△ABC中，a＝ ，b＝ ，B＝45°，则A等于（）
A．30° B．60° C．60°或120°D． 30°或150°
3、在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（ ）
A．无解B．一解C．二解D．不能确定
4、在△ABC中，已知 ，则角A为（）
A． B． C． D． 或
5、在△ABC中，若 ，则△ABC的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
6、在△ABC中，已知 ,那么△ABC一定是 ()
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形
7、在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：
① ②
③ ④
其中成立的个数是 ( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
8、在△ABC中， , ,∠A＝30°，则△ABC面积为 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
9、已知△ABC的面积为 ，且 ，则∠A等于 （ ）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
10、已知△ABC的三边长 ，则△ABC的面积为 （ ）
A． B． C． D．
11、在△ABC中，若 ，则△ABC是（ ）
A．有一内角为30°的直角三角形 B．等腰直角三角形
C．有一内角为30°的等腰三角形D．等边三角形
§2.数列
1、数列
[数列的通项公式] [数列的前n项和]
2、等差数列 [等差数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
[等差数列的判定方法]
1．定义法：若 2．等差中项：若
[等差数列的通项公式]
如果等差数列 的首项是 ，公差是 ，则等差数列的通项为 。
[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。
[等差数列的前n项和] 1． 2.
[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。
[等差中项]如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项。即： 或
[等差数列的性质]
1．等差数列任意两项间的关系：如果 是等差数列的第 项， 是等差数列的第 项，且 ，公差为 ，则有
2．对于等差数列 ，若 ，则 。
3．若数列 是等差数列， 是其前n项的和， ，那么 ， ， 成等差数列。
3、等比数列
[等比数列的概念][定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（ ）。
[等比中项]如果是的等比中项，那么 ，即 。
[等比数列的判定方法]1定义法：若 2．等比中项法：若 ，
2[等比数列的通项公式] 的首项是 ，公比是 ，则等比数列的通项为 。
3[等比数列的前n项和]
[等比数列的性质]
1．等比数列任意两项间的关系：如果 是等比数列的第 项， 是等差数列的第 项，且 ，公比为 ，则有
3．对于等比数列 ，若 ，则
4．若数列 是等比数列， 是其前n项的和， ，那么 ， ， 成等比数列。
4、数列前n项和
（1）重要公式： ； ；
（2）等差数列中，
（3）等比数列中， （4）裂项求和： ；
【追踪训练】
2、已知 为等差数列 的前 项和， ，则 .
3.已知 个数成等差数列，它们的和为 ，平方和为 ，求这 个数.
4、已知 为等差数列， ，则
5、已知 为等比数列， ，则
6、已知 为等差数列 的前 项和， ，求 .
7、已知下列数列 的前 项和 ，分别求它们的通项公式 .⑴ ； ⑵ .
8、数列 中， ，求 ，并归纳出 .
9、数列 中， .
⑴ 是数列中的第几项？ ⑵ 为何值时， 有最小值？并求最小值.
§3.不等式
一、不等式的基本性质：
（1）对称性： （2）传递性：
（2）同加性：若 （3）同乘性：若 若
如何比较两个实数（代数式）的大小――作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论
二、一元二次不等式解法：
解一元二次不等式的步骤：（用具体不等式比较好理解）
① 将二次项系数化为“+”：A= >0(或<0)(a>0)
② 计算判别式 ，分析不等式的解的情况：
?. >0时，求根 < ，
?. =0时，求根 ＝ ＝ ，
?. <0时，方程无解，
③ 写出解集.
设相应的一元二次方程 的两根为 ， ，则不等式的解的各种情况如下表：
二次函数
（ ）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
1、已知二次不等式 的解集为 ，求关于 的不等式 的解集.
2、若关于 的不等式 的解集为空集，求 的取值范围.
追踪训练
1、设 ，且 ，求 的取值范围.
2、已知二次不等式 的解集为 ，求关于 的不等式 的解集.
3、若关于 的不等式 的解集为空集，求 的取值范围.
三、二元一次不等式（组）与平面区域
四、简单的线性规划
典型例题：求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解：不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（ ）的直线所对应的t最大.
所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.
zmax=3× +5× =14
五、基本不等式
1．重要不等式：
如果
2．基本不等式：如果a,b是正数，那么
??我们称 的算术平均数，称 的几何平均数?
（注意： 成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。）
不等式应用：
（1）.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤ ，等号当且仅当a＝b时成立.(简记为：和为定值积最大)
(2）.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2 ，等号当且仅当a＝b时成立.（简记为：积为定值和最小）
典型例题：例1(1) 若x>0,求 的最小值;(2)若x<0,求 的最大值.
[点拨]本题(1)x>0和 =36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化.
解1) 因为 x>0 由基本不等式得
,当且仅当 即x= 时,
有最小值为12.
(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:
,
所以 .
当且仅当 即x=- 时, 取得最大-12.
例2将一块边长为 的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？
解：设剪去的小正方形的边长为 则其容积为
当且仅当 即 时取“=”
即当剪去的小正方形的边长为 时，铁盒的容积为
【追踪训练】
3、已知函数 ,满足 , ,那么
的取值范围是 .
4、解不等式：（1） ；（2）
6、 画出不等式组 表示的平面区域。7、已知x、y满足不等式 ,求z=3x+y的最小值。
（利用基本不等式证明不等式 ） 求证
（利用基本不等式求最值）若x>0,y>0,且 ,求xy的最小值
(1)形式一： =2R；
形式二： ； ； ；（角到边的转换）
形式三： ， ， ；（边到角的转换）
形式四： ；（求三角形的面积）
(2)解决以下两类问题： 1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）
2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。
(3)若给出 那么解的个数为：若 ，则无解；若 ，则一解；
若 ，则两解；
2．余弦定理：txjy
（1）形式一： ， ，
形式二： ， ， ，（角到边的转换）
(2)解决以下两类问题： 1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
【精典范例】
【例1】根据下列条件判断三角形ABC的形状：
(1)若a2tanB=b2tanA；
(2)b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC;
解(1)由已知及正弦定理
(2RsinA)2 = (2RsinB)2 2sinAcosA=2sinBcosB sin2A=sin2B
2cos(A + B)sin(A ? B)=0
∴ A + B=90o 或 A ? B=0所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
(2)由正弦定理得
sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC ∵ sinBsinC≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC,
即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o, A=90o,故△ABC是直角三角形.
【例2】3．△ABC中已知∠A=30°cosB=2sinB－
①求证：△ABC是等腰三角形
②设D是△ABC外接圆直径BE与AC的交点,且AB=2 求： 的值
【例3】在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为 、b、c，且 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，求bc的最大值.
【解】(Ⅰ) =
= = =
(Ⅱ) ∵ ∴ ,
又∵ ∴ 且仅当 b=c= 时,bc= ,故bc的最大值是 .
【追踪训练】
1、在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,则c等于 （ ）
A． B． C． D．
2、在△ABC中，a＝ ，b＝ ，B＝45°，则A等于（）
A．30° B．60° C．60°或120°D． 30°或150°
3、在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（ ）
A．无解B．一解C．二解D．不能确定
4、在△ABC中，已知 ，则角A为（）
A． B． C． D． 或
5、在△ABC中，若 ，则△ABC的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
6、在△ABC中，已知 ,那么△ABC一定是 ()
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形
7、在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：
① ②
③ ④
其中成立的个数是 ( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
8、在△ABC中， , ,∠A＝30°，则△ABC面积为 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
9、已知△ABC的面积为 ，且 ，则∠A等于 （ ）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
10、已知△ABC的三边长 ，则△ABC的面积为 （ ）
A． B． C． D．
11、在△ABC中，若 ，则△ABC是（ ）
A．有一内角为30°的直角三角形 B．等腰直角三角形
C．有一内角为30°的等腰三角形D．等边三角形
§2.数列
1、数列
[数列的通项公式] [数列的前n项和]
2、等差数列 [等差数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
[等差数列的判定方法]
1．定义法：若 2．等差中项：若
[等差数列的通项公式]
如果等差数列 的首项是 ，公差是 ，则等差数列的通项为 。
[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。
[等差数列的前n项和] 1． 2.
[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。
[等差中项]如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项。即： 或
[等差数列的性质]
1．等差数列任意两项间的关系：如果 是等差数列的第 项， 是等差数列的第 项，且 ，公差为 ，则有
2．对于等差数列 ，若 ，则 。
3．若数列 是等差数列， 是其前n项的和， ，那么 ， ， 成等差数列。
3、等比数列
[等比数列的概念][定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（ ）。
[等比中项]如果是的等比中项，那么 ，即 。
[等比数列的判定方法]1定义法：若 2．等比中项法：若 ，
2[等比数列的通项公式] 的首项是 ，公比是 ，则等比数列的通项为 。
3[等比数列的前n项和]
[等比数列的性质]
1．等比数列任意两项间的关系：如果 是等比数列的第 项， 是等差数列的第 项，且 ，公比为 ，则有
3．对于等比数列 ，若 ，则
4．若数列 是等比数列， 是其前n项的和， ，那么 ， ， 成等比数列。
4、数列前n项和
（1）重要公式： ； ；
（2）等差数列中，
（3）等比数列中， （4）裂项求和： ；
【追踪训练】
2、已知 为等差数列 的前 项和， ，则 .
3.已知 个数成等差数列，它们的和为 ，平方和为 ，求这 个数.
4、已知 为等差数列， ，则
5、已知 为等比数列， ，则
6、已知 为等差数列 的前 项和， ，求 .
7、已知下列数列 的前 项和 ，分别求它们的通项公式 .⑴ ； ⑵ .
8、数列 中， ，求 ，并归纳出 .
9、数列 中， .
⑴ 是数列中的第几项？ ⑵ 为何值时， 有最小值？并求最小值.
§3.不等式
一、不等式的基本性质：
（1）对称性： （2）传递性：
（2）同加性：若 （3）同乘性：若 若
如何比较两个实数（代数式）的大小――作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论
二、一元二次不等式解法：
解一元二次不等式的步骤：（用具体不等式比较好理解）
① 将二次项系数化为“+”：A= >0(或<0)(a>0)
② 计算判别式 ，分析不等式的解的情况：
?. >0时，求根 < ，
?. =0时，求根 ＝ ＝ ，
?. <0时，方程无解，
③ 写出解集.
设相应的一元二次方程 的两根为 ， ，则不等式的解的各种情况如下表：
二次函数
（ ）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
1、已知二次不等式 的解集为 ，求关于 的不等式 的解集.
2、若关于 的不等式 的解集为空集，求 的取值范围.
追踪训练
1、设 ，且 ，求 的取值范围.
2、已知二次不等式 的解集为 ，求关于 的不等式 的解集.
3、若关于 的不等式 的解集为空集，求 的取值范围.
三、二元一次不等式（组）与平面区域
四、简单的线性规划
典型例题：求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解：不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（ ）的直线所对应的t最大.
所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.
zmax=3× +5× =14
五、基本不等式
1．重要不等式：
如果
2．基本不等式：如果a,b是正数，那么
??我们称 的算术平均数，称 的几何平均数?
（注意： 成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。）
不等式应用：
（1）.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤ ，等号当且仅当a＝b时成立.(简记为：和为定值积最大)
(2）.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2 ，等号当且仅当a＝b时成立.（简记为：积为定值和最小）
典型例题：例1(1) 若x>0,求 的最小值;(2)若x<0,求 的最大值.
[点拨]本题(1)x>0和 =36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化.
解1) 因为 x>0 由基本不等式得
,当且仅当 即x= 时,
有最小值为12.
(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:
,
所以 .
当且仅当 即x=- 时, 取得最大-12.
例2将一块边长为 的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？
解：设剪去的小正方形的边长为 则其容积为
当且仅当 即 时取“=”
即当剪去的小正方形的边长为 时，铁盒的容积为
【追踪训练】
3、已知函数 ,满足 , ,那么
的取值范围是 .
4、解不等式：（1） ；（2）
6、 画出不等式组 表示的平面区域。7、已知x、y满足不等式 ,求z=3x+y的最小值。
（利用基本不等式证明不等式 ） 求证
（利用基本不等式求最值）若x>0,y>0,且 ,求xy的最小值
