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双曲线第一定义在解题中的应用

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双曲线的第一定义是圆锥曲线部分的重要概念,在解题中有着重要的应用,本文将双曲线的第一定义在解题中的应用作以介绍,供同学们学习时参考.
一、利用双曲线第一定义求轨迹方程
例1已知 中,C(-2,0),B(2,0), ,求顶点A的轨迹方程.
分析:用正弦定理将 化为 ,由双曲线的第一定义知顶点A的轨迹是以C、B为焦点,长轴长为2的双曲线的右支.
解析:由正弦定理及 得,∴
由双曲线的第一定义知顶点A的轨迹是以C、B为焦点,长轴长为2的双曲线的右支
∴ , ,∴ =3
∴顶点A的轨迹方程为 ( ).
点评:本题考查了双曲线的第一定义、正弦定理及双曲线的标准方程,利用定义求轨迹是求轨迹问题的一种重要方法.
二、利用双曲线第一定义解决焦点三角形问题
例2 已知 , 是双曲线的两个焦点,过 与椭圆实轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若△ 是正三角形,求双曲线的离心率.
分析:本题关键在于寻找 、 间关系,结合图形,容易找到此关系.
解析:由△ 是正三角形,得 是 为 的直角三角形,设 = ,则 ,则 = ,由双曲线第一定义知, = ,又 = = = = .
点评:本题考查了双曲线的第一定义与椭圆性质,对焦点三角形问题,常用到第一定义.
例3 已知双曲线 ( )的焦点分别为 , ,P是双曲线上异于顶点的任意一点, = ( ),求 的面积.
分析:已知 = ,关键是求 的值,联系 = ,使我们想到余弦定理,配方后用双曲线第一定义即可求得.
解析:设双曲线的焦距为 ,有双曲线的第一定义知, = ,
在 中,由余弦定理得, = = ,
∴ = =
∴ = = = .
点评:解决双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题时,要充分利用正弦定理、余弦定理、双曲的第一定义,关键是配凑出 的形式,注意点P在双曲线的哪一支上.
三、利用第一定义计算双曲线上一点到两焦点的距离问题
例4已知 , 分别是双曲线 的左右焦点,过 的直线与双曲线左支交于 , ,弦AB=4,求 的周长.
分析:本题涉及双曲线上一点到两焦点的距离问题,利用双曲线的第一定义求解.
解析:因为 , 在双曲线上,所以 =8, =8,
∴ =16,而 ,
∴ ,∴ ,即 的周长为24.
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